Successione crescente

Scrivi i primi quattro termini della successione $a_n = 3n - 5$ e verifica, calcolando la differenza $a_{n+1} - a_n$, che si tratta di una successione strettamente crescente.

Determina se la successione $c_n = n^2 + 2n$ è crescente. Per farlo, calcola algebricamente la differenza tra il termine $n+1$ e il termine $n$, e analizza il segno del risultato.

Dimostra in modo algebrico che la successione di termine generale $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ è strettamente crescente. Per farlo, sviluppa la disequazione $a_{n+1} - a_n > 0$ e giustifica il segno del numeratore e del denominatore risultanti.

Data la successione geometrica $d_n = 3^n$, usa il metodo del quoziente (cioè calcola $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) per dimostrare che è una successione strettamente crescente.

La popolazione di una colonia di batteri in una coltura controllata è modellizzata dalla successione $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, dove $n \geq 1$ rappresenta i giorni trascorsi. Usa il criterio del quoziente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ per dimostrare rigorosamente che la popolazione è in costante crescita.

Studia la monotonia della successione $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Dimostra che non è strettamente crescente per ogni $n$, indicando da quale termine specifico inizia a decrescere strettamente.

Considera la successione con radicali $c_n = \sqrt{n+5}$. Dimostra che è strettamente crescente. Per evitare di lavorare direttamente con disuguaglianze di radici, moltiplica e dividi l'espressione $c_{n+1} - c_n$ per la sua espressione coniugata.

Dimostra che la successione di termine generale $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ è strettamente crescente. Suggerimento: moltiplica e dividi per l'espressione coniugata prima di analizzare la differenza $a_{n+1} - a_n$.

Trova i valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ per i quali la successione definita da $a_n = (k-3)n + 5$ è strettamente crescente. Motiva la risposta a partire dalla differenza $a_{n+1} - a_n$.

Trova l'intervallo di valori di $x \in \mathbb{R}$ per i quali la successione geometrica $a_n = (2x - 1)^n$ è strettamente crescente e a termini esclusivamente positivi.

Data la successione di termine generale $b_n = \frac{n}{2} + 4$, dimostra che è crescente verificando che $b_{n+1} \geq b_n$ per ogni numero naturale $n$.

Verifica che la successione definita per ricorrenza come $a_1 = 3$ e $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$.

Una rete di server registra il tempo medio di latenza (in millisecondi) mediante la successione per ricorrenza $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sapendo che tutti i termini generati sono positivi e strettamente minori di $3$, dimostra analizzando il segno di $u_{n+1}^2 - u_n^2$ che la successione è strettamente crescente.