Equazioni binomie
Un cubo di marmo ha volume $8\ \text{m}^3$: quanto è lungo lo spigolo? Se chiamiamo $x$ lo spigolo, dobbiamo risolvere $x^3 = 8$. E se invece cercassimo un numero il cui quadrato è $-4$? In questa pagina capiremo perché le due situazioni sono molto diverse.
Che cos'è un'equazione binomia
Si chiama «binomia» perché, portando tutto a sinistra, resta un binomio: $x^n - k = 0$. Per esempio $x^3 = 27$, $x^4 = 16$ e $2x^4 - 162 = 0$ sono binomie. Quest'ultima si riporta alla forma $x^n = k$ isolando la potenza: $2x^4 = 162$, cioè $x^4 = 81$.
La retta $y = k$ taglia la curva $y = x^3$ sempre in un solo punto; taglia $y = x^4$ in due punti, in uno solo o in nessuno, a seconda di $k$. Vediamo perché.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^3 = 27$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^3 = 27$.
Esponente dispari ed esponente pari
Dipende dal segno di $x^n$.
$n$ dispari. La funzione $x \mapsto x^n$ è crescente e assume tutti i valori reali: per ogni $k$ esiste una sola soluzione, $x = \sqrt[n]{k}$. L'equazione ha dunque sempre una soluzione, positiva se $k>0$, negativa se $k<0$.
$n$ pari. Elevando a potenza pari un numero positivo o negativo si ottiene sempre un numero positivo, quindi:
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se $k > 0$: due soluzioni opposte, $x = \pm\sqrt[n]{k}$;
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se $k = 0$: una sola soluzione, $x = 0$;
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se $k < 0$: nessuna soluzione reale, $S = \emptyset$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ le equazioni: a) $x^4 = 16$ b) $x^4 = -16$
Risolvi in $\mathbb{R}$ le equazioni:
- a) $x^4 = 16$
- b) $x^4 = -16$
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^5 + 32 = 0$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^5 + 32 = 0$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $2x^4 - 162 = 0$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $2x^4 - 162 = 0$.
Binomie e scomposizione
Un altro modo di risolvere $x^n = k$ è portare tutto a sinistra e scomporre. Usiamo i prodotti notevoli: differenza di quadrati $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ e differenza di cubi $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^6 - 64 = 0$ scomponendo il polinomio in fattori irriducibili.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^6 - 64 = 0$ scomponendo il polinomio in fattori irriducibili.
Un cubo di marmo ha volume 3,375 m³. Determina la lunghezza dello spigolo risolvendo un'equazione binomia. Un secondo cubo ha superficie totale 54 m²: trova il suo…
Un cubo di marmo ha volume 3,375 m³. Determina la lunghezza dello spigolo risolvendo un'equazione binomia. Un secondo cubo ha superficie totale 54 m²: trova il suo spigolo.
Discussione con un parametro
Quando $k$ dipende da un parametro, il numero di soluzioni dipende dal segno di $k$ e dalla parità di $n$: si applica la tabella della sezione precedente.
Discuti in $\mathbb{R}$, al variare del parametro $k$, il numero di soluzioni dell'equazione $x^n = k$ nei due casi $n$ pari e $n$ dispari, giustificando la risposta.…
Discuti in $\mathbb{R}$, al variare del parametro $k$, il numero di soluzioni dell'equazione $x^n = k$ nei due casi $n$ pari e $n$ dispari, giustificando la risposta. Applica la discussione a $x^4 = k^2 - 4k$.
Equazioni riconducibili a binomie
Molte equazioni di grado superiore diventano binomie con un passaggio algebrico o una sostituzione.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $(x-1)^3 = 8(x+1)^3$ riducendola a un'equazione binomia.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $(x-1)^3 = 8(x+1)^3$ riducendola a un'equazione binomia.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ con un'opportuna sostituzione, riconducendola a equazioni binomie.
Risolvi in $\mathbb{R}$ l'equazione $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ con un'opportuna sostituzione, riconducendola a equazioni binomie.
In sintesi
Vuelve al principio: il cubo da $8\ \text{m}^3$ ha spigolo $\sqrt[3]{8}=2\ \text{m}$, mentre $x^2=-4$ non ha soluzioni reali.
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Un'equazione binomia ha la forma $x^n=k$ (dopo aver isolato la potenza).
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$n$ dispari: sempre una soluzione, $x=\sqrt[n]{k}$.
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$n$ pari: due soluzioni opposte se $k>0$, $x=0$ se $k=0$, nessuna se $k<0$.
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Si può risolvere anche scomponendo (differenza di quadrati o di cubi) e usando la legge di annullamento del prodotto.
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Con un parametro si discute studiando il segno di $k$ e la parità di $n$.
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Equazioni come $x^6-7x^3-8=0$ si riducono a binomie con una sostituzione.