L'ellisse

Data l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina le coordinate dei suoi vertici, quelle dei suoi fuochi e il valore della sua eccentricità.

Scrivi l'equazione canonica di un'ellisse centrata nell'origine delle coordinate, sapendo che uno dei suoi fuochi è il punto $F(4, 0)$ e che la lunghezza del suo asse maggiore è $10$.

Un'ellisse ha il centro nel punto $C(-2, 3)$, il suo asse maggiore è parallelo all'asse delle ascisse e misura $12$ unità, e il suo asse minore misura $8$ unità. Scrivi la sua equazione in forma canonica.

Un'ellisse è centrata nell'origine e i suoi assi di simmetria coincidono con gli assi cartesiani. Se si sa che l'ellisse passa per i punti $A(2, \sqrt{3})$ e $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, trova l'equazione dell'ellisse e calcola la distanza esatta tra i suoi fuochi.

Calcola l'eccentricità dell'ellisse la cui equazione è $16x^2 + 25y^2 = 400$.

L'orbita di Mercurio attorno al Sole è un'ellisse in cui il Sole occupa uno dei fuochi. La distanza minima di Mercurio dal Sole (perielio) è $46$ milioni di chilometri, e la distanza massima (afelio) è $70$ milioni di chilometri. Calcola l'eccentricità dell'orbita di Mercurio e la lunghezza del suo semiasse minore in milioni di chilometri.

A partire dall'equazione dell'ellisse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica le coordinate del suo centro e la lunghezza dei suoi semiassi.

Data l'equazione generale $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, dimostra che corrisponde a un'ellisse. Per farlo, esprimila in forma canonica e determina le coordinate del suo centro, dei suoi vertici e dei suoi fuochi.

Verifica se i punti $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ e $R(4, 2)$ sono interni, esterni o appartengono all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Studia la posizione reciproca della retta di equazione $2x + y - 5 = 0$ e dell'ellisse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Se si intersecano, trova le coordinate dei punti di intersezione.

Calcola i valori del parametro $k$ affinché la retta $x + 2y + k = 0$ sia tangente all'ellisse di equazione $x^2 + 4y^2 = 20$.

Trova le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ passanti per il punto esterno $P(0, 5)$.

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano $P(x, y)$ per i quali la somma delle distanze dai punti $F_1(-3, 0)$ e $F_2(3, 0)$ è sempre uguale a $10$. Semplifica l'espressione fino a ottenere l'equazione canonica di un'ellisse.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza dal punto $F(4, 0)$ è uguale alla metà della loro distanza dalla retta di equazione $x - 16 = 0$. Individua la conica ottenuta e calcola il suo centro e la lunghezza dei suoi semiassi.

Considera la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 100$. A ogni punto $A(x, y)$ della circonferenza si associa un punto $P(x, y')$ che ha la stessa ascissa, ma la cui ordinata è il $60\%$ dell'ordinata di $A$. Dimostra che il luogo geometrico dei punti $P$ è un'ellisse e determina la sua equazione, il suo centro e i suoi fuochi.

Un ponte di pietra su un fiume ha la forma di un semiarco ellittico. La larghezza del fiume (asse maggiore dell'ellisse) è $20\text{ m}$ e l'altezza massima dell'arco al centro del fiume è $6\text{ m}$. Calcola a che altezza si trova l'arco a una distanza di $4\text{ m}$ dal centro del fiume.

Si vuole progettare una finestra rettangolare inscritta in un vano ellittico di equazione $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. I lati del rettangolo devono essere paralleli agli assi dell'ellisse. Se si vuole che il rettangolo abbia un'area totale di $24\text{ m}^2$, quali devono essere le sue dimensioni esatte?