Esercizi: Funzione con radicali

Determina il dominio di definizione della seguente funzione con radice di indice pari:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Calcola il dominio di definizione della funzione con radice di indice dispari:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Determina il dominio della funzione quadratica sotto radice quadrata:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Trova le intersezioni con gli assi coordinati della funzione:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

A partire dalla funzione $f(x) = \sqrt{x}$, scrivi l'espressione analitica della funzione $g(x)$ il cui grafico si ottiene traslando $f(x)$ di tre unità verso sinistra e di due unità verso l'alto. Qual è il dominio di $g(x)$?

La relazione tra l'area $A$ di un cerchio e il suo raggio $r$ è data dalla formula $A = \pi r^2$. Esprimi il raggio in funzione dell'area, $r(A)$, e indica il dominio di definizione valido in questo contesto geometrico.

Determina il dominio della funzione irrazionale che contiene un'espressione razionale:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determina il dominio e il codominio della funzione con coefficiente principale negativo:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

In una verifica di liceo, Ugo deve calcolare il dominio e le intersezioni con gli assi della funzione $f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{6 - 2x}}$. Ugo scrive sul foglio:

«Poiché c'è una radice quadrata, il radicando non può essere negativo: $6 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -6 \implies x \le 3$. Quindi $\text{Dom}(f) = (-\infty, 3]$. Inoltre, per trovare l'intersezione con l'asse $X$, pongo $6 - 2x = 0$, il che dà $x = 3$; quindi la curva interseca l'asse delle ascisse in $(3, 0)$».

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Ugo e spiega con ragionamento perché sono sbagliati secondo la definizione di funzione con radicali a denominatore.
2. b) Fornisci la risoluzione corretta: determina il dominio esatto in forma di intervallo e dimostra se il grafico interseca o no ciascuno degli assi coordinati.

Si vuole progettare una funzione della forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ (con $a, b, c \in \mathbb{R}$) il cui grafico sia una semiparabola e che soddisfi simultaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo dominio di definizione è l'intervallo $[4, +\infty)$.

2. Il suo codominio o insieme immagine è $(-\infty, 5]$.

3. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nel punto $(13, 0)$.

1. a) Basandoti esclusivamente sulle condizioni di dominio e codominio, deduci le coordinate del vertice $(b, c)$ della semiparabola e giustifica, senza fare calcoli numerici, quale segno deve avere obbligatoriamente il coefficiente $a$.
2. b) Imposta l'equazione corrispondente con il punto di intersezione $(13, 0)$ e calcola il valore esatto del parametro $a$.
3. c) Con la formula completa di $f(x)$, giustifica analiticamente se la funzione è crescente o decrescente nel suo dominio.

Il periodo $T$ (in secondi) di un pendolo semplice si può approssimare mediante la funzione $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, dove $L$ è la lunghezza del pendolo in metri. Calcola la lunghezza necessaria affinché il periodo sia esattamente di $2$ secondi e indica il dominio teorico della funzione $T(L)$ in questo contesto fisico.

Determina il dominio di definizione della funzione formata dalla somma di due radici:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Calcola i punti di intersezione tra la funzione irrazionale $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ e la funzione affine $g(x) = x + 1$.

Determina il dominio della funzione irrazionale il cui radicando è una frazione algebrica con numeratore quadratico:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$

Il costo di produzione $C(x)$, in euro, di $x$ pezzi di un componente elettronico per satelliti segue un modello di rendimenti decrescenti dato da $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determina il dominio valido per la funzione dei costi e calcola quanti pezzi sono stati fabbricati se il costo totale è stato di $4900$ euro.

Data la funzione $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ e indica il dominio e il codominio di tale funzione inversa.

Calcola il dominio della funzione che contiene una radice di indice pari al denominatore:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Osserva il grafico allegato che rappresenta una funzione della forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ sapendo che il vertice della semiparabola si trova nel punto $(2, 1)$ e che passa per il punto $(6, -3)$.

Secondo le perizie di sicurezza stradale della Polizia Stradale, la velocità stimata $v$ (in $\text{km/h}$) a cui circolava un veicolo prima di una frenata di emergenza su carreggiata asciutta si può approssimare mediante la funzione $v(d) = 15{,}8 \cdot \sqrt{d}$, dove $d$ è la lunghezza dell'impronta di frenata segnata sull'asfalto (in metri).

In un verbale della polizia relativo a un incidente su una strada con limite di $90\text{ km/h}$, l'impronta di frenata misurata è esattamente $d = 30\text{ m}$.

1. a) Prima di calcolare il valore esatto con la calcolatrice, stima con ragionamento la velocità limitando il valore di $v(30)$ tra due decine consecutive (suggerimento: approssima $\sqrt{30}$ confrontandolo con i quadrati perfetti interi più vicini).
2. b) Calcola ora il valore numerico di $v(30)$ arrotondato ai decimi, confrontalo con la tua stima e determina se il veicolo superava il limite di velocità della strada.
3. c) Se l'impronta di frenata fosse stata il doppio più lunga ($d = 60\text{ m}$), significa forse che l'auto viaggiava al doppio della velocità? Motiva la risposta analizzando come varia il tasso di crescita della funzione radice quadrata all'aumentare della variabile indipendente.

In uno studio tecnico per mitigare l'impatto acustico di una linea ferroviaria ad alta velocità in Piemonte, gli ingegneri modellizzano l'attenuazione acustica $A(x)$ (in decibel, $\text{dB}$) fornita da una barriera vegetale mediante la funzione:

dove $x$ rappresenta la distanza di separazione tra la barriera e l'asse del binario (in metri).

1. a) Modella le condizioni matematiche che la radice richiede per esistere in $\mathbb{R}$: imposta e risolvi la disequazione fratta che determina il dominio di definizione di $A(x)$. Spiega in dettaglio perché l'estremo $x = 5$ deve essere escluso dal dominio mentre l'estremo $x = 25$ è incluso.
2. b) Interpreta il significato fisico del valore estremo $x = 25\text{ m}$: quale attenuazione sonora fornisce la barriera a quella distanza secondo il modello?
3. c) Un tecnico suggerisce di installare la barriera deflettente a $x = 30\text{ m}$ dal binario per facilitare il passaggio dei macchinari. Usa la teoria delle funzioni con radicali per giustificare perché tale proposta non è realizzabile secondo il modello matematico adottato.

Determina i valori del parametro $k$ per i quali il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ è l'intero insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.

Nella teoria della relatività ristretta, il fattore di Lorentz $\gamma$ dipende dalla velocità $v$ di un oggetto secondo la funzione $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto (circa $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina il dominio della funzione $\gamma(v)$ e interpreta fisicamente che cosa accade alla funzione quando $v$ si avvicina agli estremi di tale dominio.

Determina il dominio di definizione della funzione annidata:

$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$

Si inscrive un rettangolo nella regione delimitata dall'asse delle ascisse e dalla semicirconferenza superiore di raggio $R = 5$, la cui equazione è $y = \sqrt{25 - x^2}$. Esprimi il perimetro del rettangolo $P(x)$ in funzione della coordinata $x$ del vertice situato nel primo quadrante. Determina il dominio valido di $P(x)$ in questo contesto geometrico e calcola il suo valore per $x = 3$.

Determina il dominio della funzione irrazionale che contiene un'espressione razionale in cui numeratore e denominatore hanno radici in comune:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ restringendo il dominio originale all'intervallo $(-\infty, 0]$. Indica chiaramente il dominio e il codominio della funzione inversa ottenuta.

Risolvi la disequazione associata al dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ ed esprimilo in forma di intervallo.

Un'impresa di ingegneria stima che i ricavi $I(x)$ e i costi $C(x)$ giornalieri, in migliaia di euro, nella produzione di $x$ tonnellate di un materiale composito siano dati da $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ e $C(x) = 2x + 5$. Determina il dominio della funzione profitto $B(x) = I(x) - C(x)$ nel contesto del problema e calcola se l'impresa ottiene guadagni o perdite producendo $15$ tonnellate.

Per risolvere l'equazione irrazionale $\sqrt{2x - 6} = 4 - \sqrt{x - 1}$, due studenti di liceo propongono strade completamente diverse:

• Metodo di Lucia (algebrico): riscrivere l'equazione come $\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x - 1} = 4$, isolare un radicale, elevare al quadrato entrambi i membri due volte consecutive, risolvere l'equazione polinomiale di secondo grado risultante e verificare le soluzioni ottenute.

• Metodo di Marco (analitico e funzionale): studiare il dominio comune di esistenza di entrambe le espressioni, analizzare la monotonia (crescenza e decrescenza) delle funzioni $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ e $g(x) = 4 - \sqrt{x - 1}$ per dedurre quante soluzioni reali possono esserci al massimo, e a partire da lì provare direttamente valori interi all'interno dell'intervallo ammissibile.

1. a) Sviluppa completamente il metodo di Lucia: mostra il procedimento algebrico passo per passo, ottieni le due soluzioni dell'equazione di secondo grado finale e motiva perché una di esse è falsa (soluzione estranea) introdotta dal processo di elevamento al quadrato.
2. b) Sviluppa il metodo di Marco: determina il dominio comune, dimostra perché $f$ è strettamente crescente e $g$ è strettamente decrescente in quel dominio, giustifica quanti punti di intersezione possono avere al massimo e trova la soluzione esatta.
3. c) Confronta i due metodi: valuta quali rischi algebrici presenta la strada di Lucia rispetto alla strada funzionale di Marco e giustifica in quale tipo di problemi con radici il metodo funzionale risulta più potente.

Considera la famiglia di funzioni con radice annidata definita da:

dove $k$ è un parametro reale costante.

1. a) Dimostra formalmente che se $k < 0$, il dominio della funzione è l'insieme vuoto ($\text{Dom}(f_k) = \emptyset$). Analizza poi che cosa accade nel caso limite $k = 0$: il dominio è ancora vuoto o è formato da punti isolati? Giustifica la risposta risolvendo le disequazioni corrispondenti.
2. b) Per qualsiasi valore fissato $k > 0$, deduci l'espressione generale del dominio di $f_k(x)$ in funzione di $k$, esprimendolo come unione di due intervalli chiusi simmetrici rispetto all'origine delle coordinate.
3. c) (Problema inverso) Determina con ragionamento il valore esatto del parametro $k > 0$ necessario affinché il dominio della funzione sia formato da due intervalli chiusi disgiunti la cui lunghezza totale combinata (somma delle ampiezze dei due intervalli) sia esattamente uguale a $6$ unità.