Posizione reciproca di due rette
Due raggi laser, due strade, due traiettorie di droni: possono non incontrarsi mai, incrociarsi in un punto oppure essere in realtà la stessa linea. Come si decide quale dei tre casi si presenta, senza disegnare nulla? Lo scopriremo con i coefficienti delle equazioni.
Tre posizioni possibili
Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ confrontando direttamente i loro coefficienti.
Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ confrontando direttamente i loro coefficienti.
Il criterio con i coefficienti
Date le rette $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica la loro posizione reciproca giustificando la risposta a partire dal valore dei loro…
Date le rette $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica la loro posizione reciproca giustificando la risposta a partire dal valore dei loro coefficienti angolari.
Trova il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ siano parallele distinte.
Trova il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ siano parallele distinte.
Rette date con vettori direttori
Se le rette sono date in forma parametrica o in forma continua $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$, non serve passare all'equazione implicita: basta confrontare i vettori direttori $\vec v_r=(l_1;\,m_1)$ e $\vec v_s=(l_2;\,m_2)$.
Determina la posizione reciproca delle rette date in forma parametrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e…
Determina la posizione reciproca delle rette date in forma parametrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.
Studia la posizione reciproca della retta $r$, che passa per i punti $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e della retta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Studia la posizione reciproca della retta $r$, che passa per i punti $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e della retta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Il punto di intersezione
Se le rette sono incidenti, il punto comune si trova risolvendo il sistema formato dalle due equazioni.
Calcola le coordinate esatte del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.
Calcola le coordinate esatte del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.
Due droni da esplorazione seguono traiettorie rettilinee descritte dalle equazioni $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcola le coordinate del punto del piano in…
Due droni da esplorazione seguono traiettorie rettilinee descritte dalle equazioni $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcola le coordinate del punto del piano in cui le loro traiettorie si incrociano.
In un sistema di sicurezza, due raggi laser sono modellati in un piano cartesiano. Il primo raggio segue la retta $r: x + y - 6 = 0$ e il secondo passa per gli…
In un sistema di sicurezza, due raggi laser sono modellati in un piano cartesiano. Il primo raggio segue la retta $r: x + y - 6 = 0$ e il secondo passa per gli emettitori situati in $P(2, 1)$ e $Q(-2, -1)$. Determina se i raggi laser sono paralleli, coincidenti o si incrociano. Se si incrociano, trova il punto esatto di intersezione.
Posizione al variare di un parametro
Quando un'equazione contiene un parametro, si impone la condizione di parallelismo sui coefficienti e si ricava il valore del parametro.
Trova il valore di $m$ affinché le rette $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ siano incidenti e non parallele.
Trova il valore di $m$ affinché le rette $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ siano incidenti e non parallele.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ al variare del parametro $m$.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ al variare del parametro $m$.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ effettuando un'analisi completa al variare simultaneo dei parametri $a$ e $b$.
Discuti la posizione reciproca delle rette $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ effettuando un'analisi completa al variare simultaneo dei parametri $a$ e $b$.
Tre rette e il fascio di rette
Tre rette formano un triangolo solo se sono a due a due incidenti e non passano per lo stesso punto. Altrimenti due sono parallele oppure le tre sono concorrenti. Per vedere se tre rette sono concorrenti si trova l'intersezione di due e si verifica che la terza passi per quel punto.
Calcola il valore di $k$ affinché le rette $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ si incontrino esattamente nello stesso punto del piano.
Calcola il valore di $k$ affinché le rette $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ si incontrino esattamente nello stesso punto del piano.
Tre strade rettilinee sono modellate in una mappa topografica dalle equazioni $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determina i valori del…
Tre strade rettilinee sono modellate in una mappa topografica dalle equazioni $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determina i valori del parametro $a$ per i quali le tre strade si incontrano in un unico punto o sono parallele tra loro, impedendo che si formi un triangolo delimitato da esse.
Si consideri la famiglia, o fascio, di rette definita dall'espressione $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Dimostra che tutte le rette che compongono questo fascio…
Si consideri la famiglia, o fascio, di rette definita dall'espressione $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Dimostra che tutte le rette che compongono questo fascio passano per uno stesso punto fisso e calcolane le coordinate. Successivamente, trova l'equazione generale della retta di questo fascio che è parallela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.
Tornando all'inizio: per sapere se due raggi laser si incrociano basta confrontare i coefficienti delle loro equazioni, e, se si incrociano, risolvere il sistema.