Rette e punti notevoli di un triangolo

Calcola le coordinate del baricentro del triangolo i cui vertici sono $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Determina l'equazione esplicita della mediana che parte dal vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Verifica analiticamente se il punto $P(1, 2)$ è il baricentro del triangolo di vertici $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ e $C(5, 1)$.

In un triangolo di vertici $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(a, b)$, si sa che il baricentro è il punto $G(2, 1)$. Calcola le coordinate del vertice $C$ e l'equazione, in forma continua, della mediana che parte da tale vertice.

Determina l'equazione generale dell'altezza condotta dal vertice $B$ nel triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Determina le coordinate dell'ortocentro del triangolo rettangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

In una verifica di Matematica di terzo liceo, si chiede di determinare l'equazione generale dell'altezza relativa al vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

Marco consegna la seguente risoluzione:

1. Determina il punto medio del lato $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2. Calcola il coefficiente angolare del lato $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3. Deduce il coefficiente angolare perpendicolare: $m_\perp = 3$.

4. Scrive la retta con coefficiente angolare $3$ passante per $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco: quale retta notevole ha calcolato in realtà al posto dell'altezza? Quindi, scrivi il procedimento corretto e ottieni l'equazione generale dell'altezza richiesta.

Un edificio ha una pianta triangolare con vertici nei punti $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcola le coordinate dell'ortocentro di tale triangolo.

L'ortocentro di un triangolo è il punto $H(2, 2)$. Sono noti due dei suoi vertici, che sono $A(-1, 3)$ e $B(4, 1)$. Calcola le coordinate del vertice $C$.

Calcola l'equazione generale dell'asse del lato $AB$ di un triangolo sapendo che i suoi vertici corrispondenti sono $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Calcola le coordinate del circocentro del triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ e $C(0, 6)$.

Tre alberi in una piantagione agricola si trovano nei punti $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ e $C(1, 5)$ (coordinate espresse in decine di metri). Si vuole installare un irrigatore equidistante dai tre alberi. Calcola le coordinate del punto in cui deve essere collocato (circocentro) e il raggio d'azione dell'acqua necessario per irrigarli.

Tre rifugi di montagna si trovano nelle coordinate $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (espresse in chilometri). Un elicottero di soccorso rimane in volo stazionario nel circocentro del triangolo formato dai rifugi. Calcola le coordinate dell'elicottero e il raggio della circonferenza che comprende i tre rifugi.

Dato un triangolo rettangolo generico i cui vertici si trovano in $A(0,0)$, $B(a,0)$ e $C(0,b)$ con $a, b > 0$, dimostra analiticamente che il suo ortocentro coincide con l'origine del sistema di coordinate e che il suo circocentro è esattamente il punto medio dell'ipotenusa.

Calcola le equazioni delle due bisettrici degli angoli formati dalle rette che contengono i lati di un triangolo, le cui equazioni sono $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

Tre strade si incrociano formando un triangolo delimitato dalle rette $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcola le coordinate dell'incentro per collocare una rotonda tangente alle tre strade, e il raggio di tale rotonda.

Tre antenne di telecomunicazioni formano un triangolo con vertici in $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 5)$. Calcola la posizione del centro di gravità (baricentro) per collocare un trasmettitore centrale, e determina la distanza esatta da tale trasmettitore all'antenna $C$.

Dato il triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, determina le coordinate del suo baricentro e del suo ortocentro. Quindi, ottieni l'equazione generale della retta di Eulero che passa per entrambi i punti.

Dati i vertici di un triangolo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, determina le coordinate dell'ortocentro $H$, del baricentro $G$ e del circocentro $O$. Dimostra analiticamente che la distanza tra l'ortocentro e il baricentro è il doppio della distanza tra il baricentro e il circocentro ($HG = 2GO$).

In un triangolo non equilatero $\triangle ABC$, sul piano di lavoro si sono smarrite le coordinate dei vertici $B$ e $C$, ma si conoscono con certezza i seguenti dati:

• Il circocentro del triangolo è $O(1, -2)$.

• L'ortocentro del triangolo è $H(7, 4)$.

• Uno dei vertici è $A(-1, 2)$.

1. a) Deduci in modo motivato le coordinate del baricentro $G$ utilizzando la proprietà vettoriale della retta di Eulero ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), dimostrando che non è necessario conoscere previamente i vertici $B$ e $C$.
2. b) Sapendo che il baricentro divide la mediana che parte da $A$ nel rapporto $2:1$ a partire da tale vertice (cioè $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, dove $M_A$ è il punto medio del lato $BC$), determina le coordinate di $M_A$.
3. c) Giustifica perché la retta che passa per il circocentro $O$ e per il punto medio $M_A$ è necessariamente l'asse del segmento $BC$. Scrivi la sua equazione generale e deduci da essa il coefficiente angolare della retta che contiene il lato $BC$.
4. d) Spiega in modo motivato come si potrebbero determinare con esattezza le coordinate dei due vertici mancanti, $B$ e $C$, a partire dall'intersezione della retta che contiene il lato $BC$ con la circonferenza circoscritta di centro $O$ e raggio $R = d(O, A)$ (non è necessario risolvere l'equazione di secondo grado risultante, basta formulare il procedimento e giustificare perché fornisce esattamente due soluzioni).