Sistemi di tre equazioni in tre incognite

Verifica se la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ è soluzione del seguente sistema. Giustifica la tua risposta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

Scrivi un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite la cui unica soluzione sia la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, già ridotto a scala, utilizzando il metodo di sostituzione all'indietro:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Risolvi il seguente sistema in cui in ogni equazione manca un'incognita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Applica il metodo di Gauss per ridurre a scala e risolvere il seguente sistema di equazioni:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari che contiene coefficienti frazionari. Semplifica le equazioni prima di applicare il metodo di Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Per risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

due studentesse propongono strategie iniziali diverse:

• Strategia di Marta (Gauss diretto): Mantenere l'ordine delle equazioni e utilizzare direttamente la prima riga ($3x - y + 2z = 7$) come riga pivot per annullare la colonna delle $x$.

• Strategia di Irene (Gauss con pivot unitario): Scambiare preliminarmente la prima e la seconda equazione in modo che il coefficiente di $x$ nella riga pivot sia $1$, e da lì eseguire le combinazioni lineari per annullare i termini in $x$ delle altre due righe.

Analizza in modo motivato i vantaggi e gli svantaggi di ciascuna strategia (considerando la comparsa di coefficienti frazionari e la probabilità di commettere errori di calcolo). Giustifica quale delle due opzioni risulta più conveniente e applicala passo dopo passo fino a ridurre a scala il sistema e trovarne la soluzione.

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineare effettuando un opportuno cambio di variabile (ad esempio, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Riduci a scala il seguente sistema mediante il metodo di Gauss e indica se è un sistema impossibile (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Applica il metodo di Gauss al seguente sistema e verifica che si tratta di un sistema indeterminato (SCI) ottenendo un'equazione del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Risolvi il seguente sistema indeterminato ed esprimi le sue infinite soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

Marco sta risolvendo un sistema di tre equazioni in tre incognite e, dopo aver applicato correttamente le prime trasformazioni del metodo di Gauss, arriva al seguente sistema a scala:

Sul suo quaderno, Marco conclude quanto segue:

«Poiché l'ultima riga è $0z = 0$, ricavo e ottengo $z = \frac{0}{0} = 0$. Sostituendo nella seconda riga risulta $y + 3\cdot 0 = 4 \implies y = 4$. Infine, nella prima riga resta $x + 2\cdot 4 - 0 = 5 \implies x = -3$. Quindi il sistema è determinato e la sua unica soluzione è la terna $(-3, 4, 0)$».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco nell'interpretare la riga $0z = 0$, spiega in dettaglio perché la sua deduzione è matematicamente scorretta e correggi l'esercizio: classifica il sistema in modo appropriato e trova l'espressione generale di tutte le sue soluzioni in funzione di un parametro reale $\lambda$.

Trova i valori del parametro $k$ per cui il seguente sistema è impossibile:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Discuti il seguente sistema di equazioni al variare del parametro $m$. Indica per quali valori di $m$ il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il seguente sistema di equazioni sia indeterminato:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

La somma di tre numeri è $12$. Il primo più il secondo fanno $7$. Il secondo più il terzo fanno $9$. Imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite e determina il valore di tali numeri.

In un bar si vendono tre tipi di panini: al prosciutto, al formaggio e alla frittata. Un gruppo di amici ordina $3$ al prosciutto, $2$ al formaggio e $1$ alla frittata, pagando $14$ euro. Un altro gruppo ordina $2$ al prosciutto, $1$ al formaggio e $3$ alla frittata, pagando $13$ euro. Un terzo gruppo ordina $1$ al prosciutto, $3$ al formaggio e $2$ alla frittata, pagando $15$ euro. Imposta e risolvi un sistema per calcolare il prezzo di ciascun tipo di panino.

Geometricamente, un'equazione lineare in tre incognite rappresenta un piano nello spazio. Osserva la seguente rappresentazione grafica in cui tre piani si intersecano lungo un'unica retta, formando un fascio di piani.

Dato il sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcola il valore di $k$ affinché i tre piani si intersechino in un'unica retta (sistema indeterminato con un grado di libertà) ed esprimi l'equazione parametrica di tale retta di intersezione.

Dimostra algebricamente che se un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ammette due soluzioni distinte, ad esempio $S_{1} = (1, 0, 0)$ e $S_{2} = (0, 1, 0)$, allora ammette infinite soluzioni. A tal fine, verifica che qualsiasi combinazione lineare della forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ è anch'essa soluzione del sistema.