Suriettività e biiettività · Matematica 3° scientifico

Iniettive, suriettive, biiettive

Sia $f\colon A \to B$ una funzione: $A$ è il dominio, $B$ il codominio. L'insieme dei valori che $f$ assume davvero è l'immagine $f(A)=\{f(x) : x\in A\}$, ed è sempre contenuta in $B$, ma non è detto che coincida con $B$.

Dalla prima media ti serve già l'idea di funzione iniettiva. Ora la affianchiamo a quella nuova.

Nel primo diagramma un punto del codominio non è raggiunto da nessuna freccia (manca la suriettività). Nel secondo due frecce arrivano nello stesso punto (manca l'iniettività). Nel terzo ogni punto di arrivo riceve esattamente una freccia.

Esercitati★☆☆

Siano $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{a, b, c\}$ e $f$ definita da $f(1) = b$, $f(2) = c$, $f(3) = a$. Stabilisci se $f$ è biiettiva e scrivi la funzione inversa.

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Come si studia la suriettività

Per capire se $f\colon A\to B$ è suriettiva si deve trovare l'immagine e confrontarla con $B$. Il metodo algebrico è questo: fissa un $y\in B$ qualsiasi e prova a risolvere l'equazione $f(x)=y$ nell'incognita $x$.

Se l'equazione ha soluzione in $A$ per ogni $y\in B$, la funzione è suriettiva.
Se esiste un $y$ per cui non ha soluzione, la funzione non è suriettiva, e quel $y$ è un controesempio.
Per l'iniettività conta il numero di soluzioni: se ne ha al più una per ogni $y$, la funzione è iniettiva; se ne ha due diverse per qualche $y$, non lo è.

Esercitati★☆☆

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$, stabilisci se è suriettiva e se è iniettiva, motivando la risposta.

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Il test della retta orizzontale

Sul grafico l'equazione $f(x)=y$ si legge così: la retta orizzontale all'altezza $y$ interseca il grafico in tutti i punti di ascissa $x$ con $f(x)=y$.

Suriettiva: ogni retta orizzontale $y=k$, con $k$ nel codominio, incontra il grafico almeno una volta.
Iniettiva: ogni retta orizzontale lo incontra al più una volta.

La retta $y=4$ incontra la parabola due volte (in $x=-2$ e $x=2$): quindi $f(x)=x^2$ non è iniettiva. La retta $y=-1$ non la incontra mai: quindi non è suriettiva.

Esercitati★☆☆

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, spiega perché non è suriettiva. Quale insieme di arrivo la renderebbe suriettiva?

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Esercitati★★☆

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - x$, stabilisci se è suriettiva e se è iniettiva. Giustifica la risposta con valori espliciti.

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Funzioni biiettive: restringere per invertire

Una funzione biiettiva $f\colon A\to B$ ha un'ottima proprietà: ogni $y\in B$ ha una e una sola controimmagine. Questo permette di definire la funzione inversa $f^{-1}\colon B\to A$, che a ogni $y$ associa quell'unico $x$. Le due funzioni si «annullano» a vicenda: $f^{-1}(f(x))=x$ e $f(f^{-1}(y))=y$. Vale anche il viceversa: solo le funzioni biiettive sono invertibili.

Quando una funzione non è biiettiva, spesso la si può rendere tale con due mosse:

restringere il dominio, per ottenere l'iniettività, scegliendo una parte in cui la funzione è strettamente monotòna;
restringere il codominio all'immagine, per ottenere la suriettività.

Una parabola resa invertibile

Data $f(x)=x^2-4x+3$, stabilisci se $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è biiettiva; poi rendila tale e calcola l'inversa.

Completiamo il quadrato: $f(x)=(x-2)^2-1$. Il vertice è $V(2;\,-1)$ e la parabola è simmetrica rispetto a $x=2$. Per esempio $f(1)=f(3)=0$: $f$ non è iniettiva.

Il minimo è $-1$, quindi l'immagine è $[-1;\,+\infty[$. Per esempio $y=-5$ non ha controimmagine: $f$ non è suriettiva. Perciò $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ non è biiettiva.

Restringiamo il dominio al ramo destro, $[2;\,+\infty[$, dove $f$ è strettamente crescente, e il codominio all'immagine $[-1;\,+\infty[$. Ora $f\colon[2;\,+\infty[\,\to[-1;\,+\infty[$ è biiettiva.

Per l'inversa risolviamo $y=(x-2)^2-1$ in $x$: $(x-2)^2=y+1$, e poiché $x\ge2$ si prende la radice positiva, $x-2=\sqrt{y+1}$. Quindi $x=2+\sqrt{y+1}$.

Scambiando i nomi delle variabili: $f^{-1}\colon[-1;\,+\infty[\,\to[2;\,+\infty[$, $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+1}$.

Una funzione omografica

Data $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ definita su $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, trova l'immagine e l'inversa.

Fissiamo $y$ e risolviamo $\dfrac{x+1}{x-2}=y$, con $x\ne2$. Si ottiene $x+1=y(x-2)$, cioè $x(1-y)=-2y-1$, quindi $x(y-1)=2y+1$.

Se $y=1$ l'equazione diventa $0=3$, impossibile: il valore $1$ non viene mai assunto. Se $y\ne1$, $x=\dfrac{2y+1}{y-1}$.

Questo $x$ è accettabile? Dobbiamo controllare che sia diverso da $2$: $\dfrac{2y+1}{y-1}=2$ darebbe $2y+1=2y-2$, impossibile. Dunque va bene per ogni $y\ne1$ ed è unico.

L'immagine è $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Con codominio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ la funzione è iniettiva (la soluzione è unica) e suriettiva, quindi biiettiva.

L'inversa è $f^{-1}\colon\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}$, $f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

Verifica che $f^{-1}(f(0))=0$. (Suggerimento: calcola prima $f(0)$.)

Si ha $f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12$ e $f^{-1}\!\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{-1+1}{-\frac12-1}=0$. ✔

Esercitati★★☆

Data $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ definita su $\mathbb{R} \setminus \{2\}$: a) trova l'immagine di $f$; b) restringi l'insieme di arrivo in modo che $f$ sia biiettiva; c)…

Data $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ definita su $\mathbb{R} \setminus \{2\}$:

a) trova l'immagine di $f$;

b) restringi l'insieme di arrivo in modo che $f$ sia biiettiva;

c) determina $f^{-1}$.

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Esercitati★★☆

Data $f(x) = x^2 - 4x + 3$: a) stabilisci se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è biiettiva; b) restringi dominio e codominio in modo che lo sia, e calcola l'inversa.

Data $f(x) = x^2 - 4x + 3$:

a) stabilisci se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è biiettiva;

b) restringi dominio e codominio in modo che lo sia, e calcola l'inversa.

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Funzioni definite a tratti

Per una funzione definita a tratti si studia ogni tratto separatamente, poi si confrontano le immagini dei diversi tratti.

Se due tratti assumono lo stesso valore, la funzione non è iniettiva.
Se l'unione delle immagini dei tratti non copre il codominio, non è suriettiva.
Se le immagini dei tratti sono disgiunte e la loro unione è tutto il codominio, e ogni tratto è biiettivo sulla propria immagine, allora la funzione è biiettiva.

Due tratti che si sovrappongono

Sia $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x)=2x$ per $x\ge0$ e $f(x)=x^2$ per $x<0$. Studiala e correggila.

Immagine del primo tratto: per $x\ge0$, $2x$ assume tutti i valori di $[0;\,+\infty[$. Immagine del secondo: per $x<0$, $x^2$ assume tutti i valori di $]0;\,+\infty[$.

I due insiemi si sovrappongono: per esempio $f(-1)=1$ e $f\!\left(\tfrac12\right)=1$. Quindi $f$ non è iniettiva.

L'unione delle immagini è $[0;\,+\infty[$: nessun numero negativo viene raggiunto, per esempio $-3$. Quindi $f$ non è suriettiva.

Per correggerla, il secondo tratto deve coprire $]-\infty;\,0[$ in modo iniettivo: scegliamo $f(x)=x$ per $x<0$. Ora i due tratti hanno immagini $]-\infty;\,0[$ e $[0;\,+\infty[$, disgiunte e con unione $\mathbb{R}$: $f$ è biiettiva.

L'inversa si definisce a tratti: $f^{-1}(y)=\dfrac y2$ per $y\ge0$ e $f^{-1}(y)=y$ per $y<0$.

Esercitati★★★

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 2x & x \ge 0 \\ x^2 & x < 0 \end{cases}$. a) Studia iniettività e suriettività. b) Modifica la definizione per…

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 2x & x \ge 0 \\ x^2 & x < 0 \end{cases}$.

a) Studia iniettività e suriettività.

b) Modifica la definizione per $x<0$ in modo che $f$ sia biiettiva e scrivi $f^{-1}$.

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Composizione e insiemi finiti

Qui passiamo dai calcoli alle dimostrazioni. Un'ottima dimostrazione ripercorre la definizione parola per parola.

Che cosa dice $g\circ f$ su $f$ e $g$

Siano $f\colon A\to B$ e $g\colon B\to C$. La composta $g\circ f\colon A\to C$ è $x\mapsto g(f(x))$.

Esercitati★★★

Siano $f: A \to B$ e $g: B \to C$ due funzioni. Dimostra che se $g \circ f$ è suriettiva allora $g$ è suriettiva, e che se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è…

Siano $f: A \to B$ e $g: B \to C$ due funzioni. Dimostra che se $g \circ f$ è suriettiva allora $g$ è suriettiva, e che se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva. Fornisci un esempio in cui $g \circ f$ è biiettiva ma $f$ non è suriettiva.

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Insiemi finiti

Per un insieme con un numero finito di elementi succede qualcosa di sorprendente.

Questa proprietà non vale per gli insiemi infiniti, perché un insieme infinito può «entrare in sé stesso» con spazio di sobra. Prendiamo $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$:

$f(n)=n+1$ è iniettiva ma non suriettiva: il numero $1$ non è immagine di nessun $n$;
$g(n)=\left\lceil \dfrac n2\right\rceil$ (cioè $1,1,2,2,3,3,\dots$) è suriettiva ma non iniettiva: $g(1)=g(2)=1$.

Esercitati★★★

Sia $A = \{1, 2, \dots, n\}$. Dimostra che una funzione $f: A \to A$ è iniettiva se e solo se è suriettiva. Spiega poi perché la proprietà non vale per…

Sia $A = \{1, 2, \dots, n\}$. Dimostra che una funzione $f: A \to A$ è iniettiva se e solo se è suriettiva. Spiega poi perché la proprietà non vale per $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ fornendo un controesempio.

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Vuoi tornare al viaggio a Firenze? L'assegnazione è «perfetta» quando la funzione che manda ogni studente nel suo posto è biiettiva. Se studenti e posti sono in numero uguale, basta controllare una sola delle due condizioni: nessun posto doppio, oppure nessun posto vuoto.

Mettiti alla prova! 3 esercizi di livello medio in questa sezione

★★☆ Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - x$, stabilisci se è suriettiva e se è…★★☆ Data $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ definita su $\mathbb{R} \setminus \{2\}$: a) trova…★★☆ Data $f(x) = x^2 - 4x + 3$: a) stabilisci se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è biiettiva;…

In sintesi

$f\colon A\to B$ è suriettiva se $f(A)=B$: per ogni $y\in B$ l'equazione $f(x)=y$ ha almeno una soluzione in $A$. Dipende dal codominio.
È iniettiva se $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$; è biiettiva se è iniettiva e suriettiva.
Sul grafico, ogni retta orizzontale $y=k$ con $k$ nel codominio la incontra: almeno una volta (suriettiva), al più una volta (iniettiva), esattamente una volta (biiettiva).
Una funzione si rende biiettiva restringendo il dominio (per l'iniettività) e il codominio all'immagine (per la suriettività); solo allora esiste $f^{-1}$.
Per le funzioni a tratti, si confrontano le immagini dei tratti: disgiunte per l'iniettività, con unione uguale al codominio per la suriettività.
Se $g\circ f$ è suriettiva, lo è $g$; se $g\circ f$ è iniettiva, lo è $f$. Su un insieme finito, $f\colon A\to A$ è iniettiva se e solo se è suriettiva; su $\mathbb{N}$ no.