Equazioni della retta nel piano
Sulla mappa di una stazione sciistica delle Dolomiti il tracciato di una pista è quasi rettilineo: come si descrive con un'equazione la retta su cui si trova? In questa pagina vediamo le diverse forme dell'equazione di una retta e come passare dall'una all'altra.
Forma vettoriale e parametriche
Una retta è determinata da un punto $A(a_1; a_2)$ e da un vettore direttore $\vec{v}=(v_1; v_2)$. Ogni punto $P$ della retta si ottiene da $A$ spostandosi lungo $\vec{v}$: $P = A + t\,\vec{v}$, con $t \in \mathbb{R}$. In coordinate: $x = a_1 + t v_1$, $y = a_2 + t v_2$.
Se la retta è data in forma esplicita $y=mx+q$, un suo punto è $A(0; q)$ e un vettore direttore è $\vec{v}=(1; m)$ (o un suo multiplo): basta scrivere $P=A+t\,\vec{v}$.
Le rette parallele agli assi hanno equazioni particolari: la retta orizzontale per $H(h_1; k)$ è $y=k$, cioè $y-k=0$ in forma implicita; la retta verticale per $V(h; k_1)$ è $x=h$, cioè $x-h=0$.
Per trovare quando e dove una retta incontra gli assi, nelle parametriche si impone $x=0$ oppure $y=0$, si ricava $t$ e lo si sostituisce nell'altra equazione.
Scrivi l'equazione vettoriale e le equazioni parametriche della retta che passa per il punto $A(3, -2)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (-1, 4)$.
Scrivi l'equazione vettoriale e le equazioni parametriche della retta che passa per il punto $A(3, -2)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (-1, 4)$.
Scrivi le equazioni implicite della retta orizzontale che passa per il punto $H(-7, 4)$ e della retta verticale che passa per il punto $V(3, -9)$.
Scrivi le equazioni implicite della retta orizzontale che passa per il punto $H(-7, 4)$ e della retta verticale che passa per il punto $V(3, -9)$.
Un drone di sorveglianza si muove in linea retta e a velocità costante dal punto $A(10, 20)$ al punto $B(50, 80)$, con le coordinate misurate in metri. Scrivi le…
Un drone di sorveglianza si muove in linea retta e a velocità costante dal punto $A(10, 20)$ al punto $B(50, 80)$, con le coordinate misurate in metri. Scrivi le equazioni parametriche della sua traiettoria e indica quali saranno le sue coordinate quando avrà percorso esattamente metà del tragitto.
Una tubatura sotterranea segue la traiettoria data dalle equazioni parametriche $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (in km). Determina in quali punti esatti la tubatura…
Una tubatura sotterranea segue la traiettoria data dalle equazioni parametriche $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (in km). Determina in quali punti esatti la tubatura interseca gli assi coordinati.
Forma continua e implicita
Eliminando $t$ dalle parametriche si ottiene la forma continua $\dfrac{x-a_1}{v_1}=\dfrac{y-a_2}{v_2}$, valida se $v_1\neq0$ e $v_2\neq0$ (se una componente è nulla la retta è orizzontale o verticale e si scrive direttamente $y=k$ oppure $x=h$). Sviluppando si arriva alla forma implicita $ax+by+c=0$, con vettore direttore $(-b; a)$ e vettore normale $(a; b)$.
Un fascio di rette è l'insieme delle rette di equazione $(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0$, con $k$ parametro. Se le due rette date si incontrano in un punto, tutte le rette del fascio passano per quel punto, detto centro del fascio: si trova risolvendo il sistema formato dalle due equazioni di partenza.
Per trovare un parametro $k$ in una retta che passa per un punto, sostituisci le coordinate del punto nell'equazione e risolvi in $k$.
Data la retta in equazioni parametriche $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, esprimila in forma continua e in forma generale.
Data la retta in equazioni parametriche $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, esprimila in forma continua e in forma generale.
Data l'equazione implicita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vettore direttore, un vettore normale e un punto per cui passa la retta.
Data l'equazione implicita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vettore direttore, un vettore normale e un punto per cui passa la retta.
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $3x - ky + 5 = 0$ passi per il punto $P(-2, 1)$. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione della…
Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $3x - ky + 5 = 0$ passi per il punto $P(-2, 1)$. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione della retta in forma continua.
Considera il fascio di rette determinato dall'equazione $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Trova il centro del fascio (il punto per cui passano tutte le rette…
Considera il fascio di rette determinato dall'equazione $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Trova il centro del fascio (il punto per cui passano tutte le rette indipendentemente dal valore di $k$) e determina il valore di $k$ per il quale la retta del fascio ha coefficiente angolare $\frac{3}{5}$.
Forma esplicita e retta per un punto
La forma esplicita è $y=mx+q$, con $m$ coefficiente angolare e $q$ ordinata all'origine. La retta per $P(x_0; y_0)$ con coefficiente angolare $m$ è $y-y_0=m(x-x_0)$. Per due punti: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Per scrivere la forma implicita della retta per due punti, calcola $m$, scrivi $y-y_0=m(x-x_0)$ e porta tutto a sinistra.
Per passare dalla forma implicita $ax+by+c=0$ a quella esplicita, con $b\neq0$, isola $y$: $by=-ax-c$, quindi $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$. Perciò $m=-\dfrac{a}{b}$ e $q=-\dfrac{c}{b}$.
Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare ($m=m'$); sono perpendicolari se $m\cdot m'=-1$, cioè $m'=-\frac1m$.
Per l'altezza a una data ascissa $x$, sostituisci $x$ nell'equazione esplicita e calcola $y$.
Determina il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine della retta la cui equazione generale è $4x - 2y + 8 = 0$.
Determina il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine della retta la cui equazione generale è $4x - 2y + 8 = 0$.
Scrivi l'equazione punto-coefficiente angolare della retta che passa per i punti $P(-1, 5)$ e $Q(2, -1)$.
Scrivi l'equazione punto-coefficiente angolare della retta che passa per i punti $P(-1, 5)$ e $Q(2, -1)$.
Il costo di produzione di un componente elettronico segue un modello lineare. Fabbricare $100$ unità costa $450$ €, e fabbricare $250$ unità costa $825$ €. Determina…
Il costo di produzione di un componente elettronico segue un modello lineare. Fabbricare $100$ unità costa $450$ €, e fabbricare $250$ unità costa $825$ €. Determina l'equazione esplicita che lega il costo $y$ al numero di unità $x$ e calcola il costo fisso di produzione (il costo quando si fabbricano $0$ unità).
Nella progettazione di un ponte sospeso, uno dei tiranti d'acciaio deve collegare il punto di ancoraggio $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordinate in metri). Trova…
Nella progettazione di un ponte sospeso, uno dei tiranti d'acciaio deve collegare il punto di ancoraggio $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordinate in metri). Trova l'equazione generale della retta che definisce il cavo e determina a quale altezza si trova quando la distanza orizzontale dall'asse $Y$ è di $16$ metri.
Trova l'equazione generale della retta che passa per il punto $A(-4, 6)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $B(1, 1)$ e $C(3, -5)$.
Trova l'equazione generale della retta che passa per il punto $A(-4, 6)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $B(1, 1)$ e $C(3, -5)$.
Si vuole trovare l'equazione generale della retta $s$ che passa per il punto $P(-3, 2)$ ed è perpendicolare alla retta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Due studenti propongono…
Si vuole trovare l'equazione generale della retta $s$ che passa per il punto $P(-3, 2)$ ed è perpendicolare alla retta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Due studenti propongono strategie diverse:
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Metodo di Sergio: Ricavare $y$ dalla retta $r$ per trovare il suo coefficiente angolare $m_r$; calcolare il coefficiente angolare perpendicolare $m_s = -\frac{1}{m_r}$; scrivere l'equazione in forma punto-coefficiente angolare con $P(-3, 2)$ e, infine, eliminare i denominatori e trasportare i termini per arrivare all'equazione generale.
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Metodo di Irene: Ottenere direttamente dai coefficienti di $r$ il suo vettore normale $\vec{n}_r = (2, -5)$; dedurre che tale vettore è un vettore direttore della retta perpendicolare $s$; ricavarne un vettore normale per $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; e impostare l'equazione $5x + 2y + C = 0$, trovando $C$ sostituendo le coordinate di $P$.
- a) Confronta i due percorsi analizzandone vantaggi e svantaggi: numero di passaggi, comparsa di frazioni intermedie e probabilità di commettere errori di calcolo con i segni.
- b) Giustifica quale dei due metodi è più efficiente e diretto per questo esercizio.
- c) Applica il metodo che hai scelto come preferibile per determinare l'equazione generale di $s$.
Forma segmentaria
Se la retta taglia gli assi in $(a; 0)$ e $(0; b)$, con $a,b\neq0$, la sua equazione è $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$: infatti i due punti la verificano.
Il triangolo formato dalla retta con gli assi è rettangolo, con cateti $|a|$ e $|b|$: area $=\frac{|a|\cdot|b|}{2}$.
Calcola l'area del triangolo formato dalla retta $2x + 5y - 20 = 0$ con gli assi cartesiani.
Calcola l'area del triangolo formato dalla retta $2x + 5y - 20 = 0$ con gli assi cartesiani.
Dimostra che se una retta interseca gli assi coordinati nei punti $(a, 0)$ e $(0, b)$, con $a \neq 0$ e $b \neq 0$, la sua equazione può essere scritta in forma…
Dimostra che se una retta interseca gli assi coordinati nei punti $(a, 0)$ e $(0, b)$, con $a \neq 0$ e $b \neq 0$, la sua equazione può essere scritta in forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Usa questo risultato per trovare l'equazione di una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo di area $12 \text{ u}^2$ sapendo che $a = 2b$ e che entrambe le intercette sono positive.