Trasformazioni geometriche e grafici

Data la funzione $f(x) = x^2 - 3x$, scrivi l'espressione algebrica della funzione $g(x)$ che si ottiene traslando il grafico di $f(x)$ di quattro unità verso sinistra e di due unità verso l'alto.

Una mongolfiera scende con velocità costante. La sua altitudine in metri è data da $A(t) = 800 - 50t$, dove $t$ è il tempo in minuti. Una seconda mongolfiera inizia la discesa $10$ minuti più tardi esattamente con lo stesso profilo di volo. Scrivi l'espressione dell'altitudine della seconda mongolfiera $B(t)$ in funzione di $A(t)$ e sviluppa la sua espressione algebrica finale.

L'utile mensile di una piccola azienda tecnologica, in migliaia di euro, è modellizzato dalla funzione $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, dove $x$ rappresenta il mese dell'anno ($x=1$ per gennaio, ecc.). L'azienda decide di posticipare di un mese il lancio della campagna di marketing, il che comporta una traslazione orizzontale della curva degli utili, e inoltre sostiene un aumento dei costi fissi di $3$ mila euro al mese. Trova la nuova espressione della funzione utile $N(x)$ e determina in quale mese verrà ora raggiunto l'utile massimo.

Il grafico di una funzione $f(x)$ passa per il punto $P(-3, 5)$. Determina le coordinate del punto corrispondente nei grafici delle seguenti funzioni trasformate:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Data la funzione elementare $f(x) = \frac{1}{x}$, indica quali trasformazioni geometriche (traslazioni, dilatazioni, simmetrie) occorre applicare successivamente, e in quale ordine, per ottenere la funzione $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La funzione $C(x)$ rappresenta il costo in euro di produzione di $x$ componenti elettronici. Grazie a un miglioramento tecnologico nella catena di montaggio, ora si può produrre il triplo dei componenti esattamente allo stesso costo totale. Esprimi la nuova funzione di costo $N(x)$ in termini della funzione originale $C(x)$.

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ definita nell'intervallo $[-4, 4]$. Determina il dominio e il codominio della funzione trasformata $g(x) = f(x-3) + 1$.

Il grafico della funzione $f(x)$ è formato da due segmenti che uniscono i punti $(-4, -2)$, $(0, 4)$ e $(4, -2)$. Si definisce una nuova funzione mediante la trasformazione $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descrivi la sequenza ordinata di trasformazioni geometriche applicate a $f(x)$.

• Calcola le coordinate esatte dei nuovi vertici del grafico di $g(x)$.

Data la funzione elementare $f(x) = \sqrt{x}$, vogliamo ottenere la funzione $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Spiega in dettaglio due diverse sequenze di trasformazioni geometriche (cambiando l'ordine delle traslazioni e delle dilatazioni orizzontali) che permettono di ottenere $g(x)$ a partire da $f(x)$. Dimostra algebricamente che entrambe le sequenze portano alla stessa espressione.

Data una funzione arbitraria $f(x)$ il cui dominio è l'intervallo $[-6, 8]$ e il cui codominio è l'intervallo $[-4, 12]$, si definisce una nuova funzione mediante l'espressione $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcola in modo motivato, specificando gli effetti di ciascuna trasformazione applicata, il dominio e il codominio della funzione $h(x)$.

A partire dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato in figura, descrivi i passaggi geometrici necessari per ottenere il grafico della funzione $g(x) = |f(x)|$ e calcola le coordinate dei nuovi vertici o punti di flesso.

Esprimi la funzione $g(x) = |-x^2 + 4|$ come funzione definita a tratti, eliminando il valore assoluto e indicando chiaramente gli intervalli in cui l'espressione originale cambia di segno.

Associa ciascuna delle espressioni analitiche al pannello corrispondente nella figura, sapendo che derivano tutte da trasformazioni con valore assoluto applicate alla funzione di base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Nella figura è mostrata la curva di luce di una stella variabile, modellizzata dalla funzione $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, dove $t$ è misurato in giorni e $L$ in unità di luminosità. Una densa nube di polvere cosmica oscura la stella in modo tale che la luminosità osservata $O(t)$ dalla Terra sia esattamente il valore assoluto della differenza tra $L(t)$ e la sua luminosità media.

Determina l'espressione analitica di $O(t)$, calcola il suo nuovo periodo e trova in quali istanti $t \in [0, 12]$ la luminosità osservata è massima.