Disequazioni di secondo grado
Il Comune di Cuneo vuole sapere in quali ore della giornata la temperatura scende sotto zero, oppure un'azienda vuole capire quante unità produrre per non andare in perdita. In situazioni così il modello è un polinomio di secondo grado e la domanda è: per quali valori di $x$ il polinomio è positivo o negativo? Una disequazione di secondo grado non si "risolve per isolamento": si studia il segno di una parabola.
Il metodo: radici e schema dei segni
Risolvi la seguente disequazione di secondo grado ed esprimi la soluzione sotto forma di intervallo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Risolvi la seguente disequazione di secondo grado ed esprimi la soluzione sotto forma di intervallo:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Risolvi la disequazione incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$
Risolvi la disequazione incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Per risolvere la disequazione di secondo grado $x^2 \ge 6x$, Marco scrive nel suo compito il seguente ragionamento: «Divido entrambi i membri per $x$ e ottengo…
Per risolvere la disequazione di secondo grado $x^2 \ge 6x$, Marco scrive nel suo compito il seguente ragionamento:
«Divido entrambi i membri per $x$ e ottengo $x \ge 6$. Quindi l'insieme delle soluzioni è l'intervallo $[6, +\infty)$».
- a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco. Perché non è lecito dividere una disequazione per un'incognita senza conoscerne prima il segno?
- b) Correggi l'esercizio risolvendo la disequazione con il procedimento generale (portare tutto al primo membro, trovare le radici e studiare il segno negli intervalli risultanti) ed esprimi l'insieme delle soluzioni corretto sotto forma di intervallo.
Quando $\Delta\le 0$
Non sempre ci sono due radici distinte. Se $\Delta<0$ la parabola non incontra l'asse $x$: ha sempre il segno di $a$. Se $\Delta=0$ c'è una sola radice (doppia) e il segno è lo stesso da entrambe le parti.
| Caso ($a>0$) | $>0$ | $\ge0$ | $<0$ | $\le0$ |
|---|---|---|---|---|
| $\Delta<0$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\emptyset$ | $\emptyset$ |
| $\Delta=0$ (radice $x_0$) | $x\ne x_0$ | $\mathbb{R}$ | $\emptyset$ | $\{x_0\}$ |
Se $a<0$ i ruoli di "positivo" e "negativo" si scambiano.
Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indica l'insieme delle soluzioni della disequazione, motivando la risposta: $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indica l'insieme delle soluzioni della disequazione, motivando la risposta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza: $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza:
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Sistemi, problemi e dominio
Un sistema di disequazioni si risolve così: si risolve ogni disequazione e si fa l'intersezione delle soluzioni, perché devono valere tutte insieme. Nei problemi la disequazione nasce da una funzione quadratica (altezza di un proiettile, guadagno di un'azienda, area di un recinto). Il dominio di $\sqrt{f(x)}$ richiede $f(x)\ge0$.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado in un'incognita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado in un'incognita:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 - x \ge 0$
L'altezza $h$ in metri di un proiettile lanciato verticalmente verso l'alto in funzione del tempo $t$ in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
L'altezza $h$ in metri di un proiettile lanciato verticalmente verso l'alto in funzione del tempo $t$ in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Imposta e risolvi la disequazione corrispondente per determinare in quale intervallo di tempo il proiettile si trova a un'altezza strettamente superiore a $17$ metri.
Trova il dominio della seguente funzione reale di variabile reale: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Trova il dominio della seguente funzione reale di variabile reale:
$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Il cavo principale di sospensione di un ponte ha la forma di una parabola. Prendendo come origine delle coordinate il punto più basso del cavo, l'altezza $y$ (in metri)…
Il cavo principale di sospensione di un ponte ha la forma di una parabola. Prendendo come origine delle coordinate il punto più basso del cavo, l'altezza $y$ (in metri) del cavo rispetto alla carreggiata a una distanza orizzontale $x$ (in metri) dal centro è data dalla funzione $y = 0,005x^2 + 2$. Per ragioni di sicurezza aeronautica, devono essere installate luci di segnalazione nei tratti del cavo la cui altezza rispetto alla carreggiata è compresa tra $10 \text{ m}$ e $22 \text{ m}$. Imposta il sistema di disequazioni e calcola in quali intervalli di distanza orizzontale dal centro verranno installate queste luci.
Con un parametro
A volte la disequazione contiene una lettera, per esempio $m$, e si chiede per quali valori di $m$ è verificata per ogni $x$ reale. Succede quando la parabola non incontra mai l'asse $x$ e ha il verso giusto.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni e dai la soluzione finale sotto forma di intervallo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Risolvi il seguente sistema di disequazioni e dai la soluzione finale sotto forma di intervallo:
$x^2 - 3x - 10 < 0$
$2x + 5 \ge 1$
Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione di secondo grado $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ è verificata per ogni numero reale $x$.
Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione di secondo grado $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ è verificata per ogni numero reale $x$.
Oltre il secondo grado
Il metodo del segno si estende: se il polinomio si scompone in fattori di primo e secondo grado, si studia il segno di ogni fattore e si compongono in uno schema dei segni. La disequazione biquadratica $x^4-13x^2+36\le0$ si risolve con $t=x^2$ oppure scomponendo.
Il vertice della parabola
Quando servono il minimo o il massimo del polinomio, o si devono ricostruire i coefficienti, serve il vertice $V\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{\Delta}{4a}\right)$. Il vertice sta a metà tra le due radici (se ci sono): la sua ordinata è il valore minimo se $a>0$, massimo se $a<0$.
Costruisci una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c < 0$ che soddisfi contemporaneamente due condizioni: 1) Il suo insieme delle soluzioni è…
Costruisci una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c < 0$ che soddisfi contemporaneamente due condizioni:
1) Il suo insieme delle soluzioni è esattamente l'intervallo aperto $(-4, 1)$.
2) Il coefficiente di grado massimo è $a = 2$.
- a) Determina in modo motivato i valori numerici dei coefficienti $b$ e $c$.
- b) Spiega, usando il segno di $a$ e la forma della parabola associata, perché il polinomio ottenuto assume valori strettamente negativi solo nel tratto interno compreso tra le due radici e non all'esterno.
Risolvi la seguente disequazione biquadratica mediante un cambio di variabile ed esprimi la soluzione finale come unione di intervalli: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Risolvi la seguente disequazione biquadratica mediante un cambio di variabile ed esprimi la soluzione finale come unione di intervalli:
$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Risolvi la disequazione con valore assoluto trasformandola prima in un sistema di disequazioni di secondo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$
Risolvi la disequazione con valore assoluto trasformandola prima in un sistema di disequazioni di secondo grado:
$|x^2 - 4x| \le 5$
Si vogliono determinare in modo univoco i coefficienti di una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c \le 0$ a partire dalle seguenti informazioni sul…
Si vogliono determinare in modo univoco i coefficienti di una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c \le 0$ a partire dalle seguenti informazioni sul polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$:
1) L'insieme delle soluzioni della disequazione $P(x) \le 0$ è esattamente l'intervallo chiuso $[-1, 5]$.
2) Il vertice della parabola associata a $P(x)$ raggiunge un valore minimo assoluto pari a $-18$.
- a) Giustifica in modo motivato il segno del coefficiente di grado massimo $a$ a partire dalla geometria della parabola e dal fatto che la soluzione sia un unico intervallo limitato e non l'unione di due semirette disgiunte.
- b) Trova i valori numerici esatti di $a$, $b$ e $c$.
- c) Senza eseguire ulteriori calcoli algebrici né costruire nuove tabelle dei segni, deduci con giustificazione l'insieme delle soluzioni delle seguenti tre disequazioni:
-
$ax^2 + bx + c < -18$
-
$ax^2 + bx + c \ge -18$
-
$ax^2 + bx + c > 0$