Funzione logaritmica

Determina il dominio della funzione logaritmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Esprimi il risultato utilizzando gli intervalli.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Presta particolare attenzione ai punti che annullano il numeratore, il denominatore e l'argomento del logaritmo.

Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto $x = 1$. Se esiste una discontinuità, classificala indicando di che tipo è.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, sviluppa la seguente espressione scrivendola come somma e differenza di logaritmi più semplici:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Determina i valori di $x$ e $y$ che soddisfano il seguente sistema di equazioni non lineari:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Determina i punti di intersezione con gli assi coordinati (asse X e asse Y, se esistono) della funzione $g(x) = \ln(x - 2)$.

Data la funzione $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica motivando se è crescente o decrescente in tutto il suo dominio e calcola il valore esatto di $h(1)$ e $h(4)$.

Descrivi in modo preciso quali trasformazioni geometriche (traslazioni) occorre applicare al grafico della funzione elementare $f(x) = \ln(x)$ per ottenere il grafico della funzione $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Determina l'espressione algebrica di una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b) + c$ sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Il suo dominio è l'intervallo $(-3, +\infty)$ e la retta $x = -3$ è il suo asintoto verticale.

2. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nel punto $(5, 0)$.

3. Il grafico passa per il punto $(1, -1)$.

Per risolvere:

1. a) Deduci in modo motivato il valore del parametro $b$ a partire dalle informazioni sul dominio e sull'asintoto.
2. b) Imposta un sistema di equazioni con le condizioni 2 e 3 e risolvilo utilizzando le proprietà dei logaritmi per trovare i valori esatti della base $a$ e del termine noto $c$.
3. c) Giustifica se la funzione ottenuta è strettamente crescente o decrescente nel suo dominio e calcola le coordinate del punto di intersezione del suo grafico con l'asse delle ordinate.

Scrivi l'espressione analitica della funzione inversa $f^{-1}(x)$ della funzione esponenziale $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

A partire dalla seguente rappresentazione grafica della funzione $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analiticamente il suo dominio, il suo codominio, l'equazione del suo asintoto verticale e le coordinate esatte dei punti di intersezione con gli assi X e Y.

Il valore contabile di un server informatico ad alta capacità si deprezza nel tempo secondo la funzione esponenziale $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, dove $V$ è il valore in euro e $t$ è il tempo trascorso in anni dall'acquisto. Trova l'espressione analitica della funzione inversa $t(V)$ e spiega brevemente quale grandezza permette di calcolare questa nuova funzione.

Analizza la relazione di simmetria tra le funzioni $f(x) = e^{x-1}$ e $g(x) = \ln(x) + 1$. Osserva il grafico a lato che mostra entrambe le curve e la bisettrice del primo quadrante. Dimostra analiticamente che sono funzioni inverse calcolando la composizione $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica applicando la definizione di logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Risolvi la seguente equazione logaritmica, verificando la validità delle soluzioni ottenute:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Risolvi la seguente equazione logaritmica. Assicurati di verificare le possibili soluzioni nell'equazione originale per scartare le radici false:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

Risolvi il seguente sistema che combina equazioni esponenziali e logaritmiche, determinando i valori di $x$ e $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

In chimica, il pH di una soluzione è definito dall'espressione $pH = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ rappresenta la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. Calcola il pH di una spremuta d'arancia la cui concentrazione di ioni idrogeno è $[H^+] = 10^{-3,2}$.

Il livello di intensità sonora $\beta$, misurato in decibel (dB), si calcola con la formula acustica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, dove $I$ è l'intensità del suono in $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ è la soglia standard di udibilità. Se il decollo di un aereo a reazione genera un livello di rumore di $140 \text{ dB}$, qual è l'intensità $I$ di quel suono in $\text{W/m}^2$?

Nella scala sismologica Richter, la magnitudo $M$ di un terremoto è legata all'energia rilasciata $E$ (in erg) dall'equazione empirica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcola quante volte è maggiore l'energia rilasciata da un terremoto di magnitudo $7,0$ rispetto all'energia rilasciata da uno di magnitudo $5,0$.

La legge del decadimento radioattivo del Carbonio-14 è data dalla funzione $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, dove $N_0$ è la quantità iniziale di isotopo, $N(t)$ è la quantità residua all'istante $t$ (in anni) e $\lambda$ è la costante di decadimento. Sapendo che il tempo di dimezzamento (tempo necessario affinché la quantità iniziale si riduca esattamente alla metà) è di $5730$ anni, calcola il valore esatto della costante $\lambda$. Successivamente, determina l'età approssimativa di un fossile osseo che conserva solo il $15\%$ del suo Carbonio-14 originale.