Esercizi: Funzione polinomiale

Determina le coordinate del vertice e l'equazione dell'asse di simmetria della funzione quadratica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Determina l'espressione analitica della funzione lineare che passa per i punti $A(2, -3)$ e $B(5, 6)$.

Calcola analiticamente le intersezioni con gli assi coordinati della funzione polinomiale $p(x) = x^3 - 4x$.

L'altezza in metri di un drone di osservazione in funzione del tempo in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcola l'altezza a cui si trova il drone negli istanti $t = 1$ e $t = 3$.

Indica se la parabola data dalla funzione $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ ha la concavità rivolta verso il basso o verso l'alto e calcola le coordinate esatte del suo vertice.

Analizza il comportamento all'infinito della funzione polinomiale $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando il valore dei suoi limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$.

Trova le radici della funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Calcola il valore del parametro $c$ affinché la funzione quadratica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi per il punto $(-1, 10)$.

Marco vuole determinare il codominio della funzione polinomiale quadratica $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$. Per farlo, calcola l'ascissa del vertice applicando la formula $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$, ne trova l'ordinata calcolando $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$, e conclude nel suo compito: «Poiché il vertice è in $(1, 3)$, la funzione parte da $y = 3$ e sale indefinitamente, quindi il suo codominio è $[3, +\infty)$».\n\na) Indica l'errore concettuale commesso da Marco e spiega quale proprietà della parabola ha trascurato.\nb) Correggi il suo ragionamento giustificando la concavità a partire dal segno del coefficiente direttivo.\nc) Scrivi il codominio corretto della funzione.

In una stazione meteorologica dell'Aeronautica Militare in provincia di L'Aquila, la temperatura $T$ (in gradi Celsius) durante una notte gelida è modellizzata dalla funzione quadratica $T(t) = 0,5t^2 - 4t + 3$, dove $t$ rappresenta il tempo in ore trascorse dalla mezzanotte ($0 \le t \le 8$).\n\na) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo motivato, a partire dai segni e dalle grandezze dei coefficienti, se la temperatura minima verrà raggiunta all'inizio della notte (prima delle 2:00) o verso la metà del periodo, e se tale temperatura diventerà negativa.\nb) Calcola con esattezza le coordinate del vertice della parabola per determinare l'ora in cui si registra il valore minimo e la temperatura esatta raggiunta.\nc) Confronta il risultato analitico ottenuto con la tua stima iniziale e valuta se il modello rispecchia un comportamento meteorologico verosimile per quella fascia oraria.

Determina l'equazione della parabola che ha vertice nel punto $V(3, -2)$ e passa per il punto $P(5, 6)$. Esprimi il risultato nella forma $y = ax^2 + bx + c$.

Un agricoltore dispone di $100$ metri di recinzione per recintare un orto rettangolare sfruttando la riva rettilinea di un fiume, per cui non occorre recintare quel lato. Esprimi l'area dell'orto in funzione della larghezza $x$ perpendicolare al fiume e determina le dimensioni che rendono massima tale area.

Si lancia un proiettile verso l'alto in modo che la sua altezza in metri in funzione del tempo in secondi segua la funzione $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcola l'altezza massima raggiunta dal proiettile e l'istante in cui avviene.

Determina i coefficienti $a$, $b$ e $c$ della funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sapendo che il suo grafico passa per i punti $(0, 3)$, $(1, 4)$ e $(-1, 6)$.

Il prezzo di vendita in euro di un articolo in funzione del numero di unità $x$ richieste sul mercato è dato dalla funzione $p(x) = 120 - 2x$. Scrivi la funzione dei ricavi totali $R(x)$ e calcola quante unità devono essere vendute per massimizzare i ricavi.

Calcola analiticamente i punti di intersezione tra la parabola $y = x^2 - 4x + 3$ e la retta $y = 2x - 5$.

Data la funzione quadratica $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determina in modo motivato i suoi intervalli di crescenza e decrescenza.

Trova le radici della funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ e studia il suo segno su tutta la retta reale, indicando gli intervalli in cui la funzione è positiva e negativa.

Determina l'espressione analitica di una funzione polinomiale $P(x)$ di grado 4 che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:\n\n1. È una funzione pari.\n2. Ha esattamente tre radici reali distinte, una delle quali è $x = 2$.\n3. Il suo grafico interseca la retta orizzontale $y = 12$ nel punto di ascissa $x = 1$.\n\na) Deduci quali devono essere necessariamente le altre due radici reali di $P(x)$, giustificando la deduzione a partire dalla simmetria delle funzioni pari e dalla definizione di radice.\nb) Scrivi la forma scomposta di $P(x)$ e calcola il valore del suo coefficiente direttivo usando la condizione del punto dato.\nc) Sviluppa il polinomio e descrivi il suo comportamento agli estremi (per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$), giustificandolo mediante il grado e il segno del coefficiente direttivo.

Una compagnia di trasporto interurbano che copre la tratta tra Roma e Viterbo fa pagare attualmente $10\text{ euro}$ per biglietto e registra una media di $1200$ viaggiatori al giorno. Secondo uno studio di mercato, per ogni riduzione di $0,50\text{ euro}$ del prezzo del biglietto, l'azienda attira $100$ nuovi viaggiatori ogni giorno.\n\na) Modellizza la funzione dei ricavi giornalieri $I(x)$ in funzione del numero $x$ di riduzioni di $0,50\text{ euro}$ applicate. Determina il dominio di $x$ che ha senso fisico ed economico in questo contesto reale.\nb) Giustifica analiticamente, utilizzando le proprietà del vertice della funzione polinomiale ottenuta, quale deve essere il prezzo finale del biglietto per massimizzare i ricavi giornalieri e a quanto ammonteranno tali ricavi.\nc) Se la compagnia decidesse di fissare una tariffa promozionale aggressiva di soli $2\text{ euro}$ a biglietto, quali ricavi prevederebbe il modello? Spiega perché questo modello quadratico smette di essere realistico per riduzioni di prezzo così estreme.

Determina l'espressione analitica di un polinomio di terzo grado $P(x)$ le cui uniche radici sono $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sapendo inoltre che il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, 16)$.

Un'azienda tecnologica vende $x$ unità di un determinato componente elettronico. Il prezzo unitario di vendita modellizzato in euro è $p(x) = 200 - 0,5x$. I costi totali di produzione seguono la funzione $C(x) = 5000 + 20x$. Esprimi la funzione di utile $B(x)$, determina il numero di unità che massimizza l'utile e calcola a quanto ammonta tale utile massimo.

Determina i valori del parametro $m$ per i quali la retta di equazione $y = mx - 4$ è tangente alla parabola $y = x^2 - 3x + 5$.

Il cavo principale di un ponte sospeso ha la forma di una parabola. La distanza orizzontale tra le torri di sostegno è di $120$ metri e il punto più basso del cavo si trova a $20$ metri sotto il punto di aggancio alle torri. Assumendo come origine del sistema di coordinate il punto più basso del cavo, determina l'equazione della parabola e calcola l'altezza del cavo a $30$ metri dal centro.

Una funzione polinomiale di terzo grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ è dispari. Sapendo che passa per i punti $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determina la sua espressione analitica e calcola tutte le sue intersezioni con gli assi coordinati.

Si dispone di un cartone rettangolare di $40$ cm di lunghezza per $30$ cm di larghezza. Si vuole costruire una scatola senza coperchio ritagliando un quadrato di lato $x$ in ciascun angolo e piegando le alette risultanti. Esprimi il volume $V(x)$ della scatola come funzione polinomiale, indica qual è il suo dominio valido nel contesto di questo problema geometrico e calcola il volume se si ritaglia un quadrato di $5$ cm di lato.

Calcola l'insieme dei valori del parametro $k$ affinché la funzione polinomiale $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ abbia esattamente due radici reali distinte.

Considera la famiglia di funzioni quadratiche della forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sapendo che il grafico passa per l'origine e che il suo vertice si trova sulla retta $y = -x - 2$, trova l'espressione analitica della funzione o delle funzioni che soddisfano tali condizioni.

Per studiare la crescenza, la decrescenza e il codominio della funzione quadratica $f(x) = 3(x - 5)^2 - 12$, tre studenti propongono metodi diversi:\n\n- Lucia propone di sviluppare l'espressione nella forma generale $f(x) = ax^2 + bx + c$, calcolare l'ascissa del vertice con la formula $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, e poi determinare $f(x_v)$.\n- Davide sostiene che non serve sviluppare nulla: osserva che $(x - 5)^2 \ge 0$ per ogni numero reale e propone di leggere direttamente le coordinate del vertice dall'espressione data in forma canonica.\n- Alberto propone di risolvere l'equazione $f(x) = 0$ per trovare i due punti di intersezione con l'asse $X$ e calcolare la media aritmetica di entrambi per individuare l'asse di simmetria della parabola.\n\na) Applica i tre procedimenti per determinare il vertice e il codominio di $f(x)$.\nb) Confronta i tre metodi in termini di economia di calcolo e robustezza. Giustifica quale sia il più efficiente in questo caso specifico.\nc) Considera ora la funzione $g(x) = 3(x - 5)^2 + 12$. Analizza quale dei tre metodi risulterebbe non applicabile se lavoriamo esclusivamente con numeri reali e spiega perché il ragionamento di Davide è concettualmente superiore per giustificare il minimo assoluto della parabola.

In una sessione di ripasso sulle funzioni polinomiali cubiche del tipo $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ con $a \neq 0$, Daniele formula due affermazioni categoriche:\n\n- Affermazione 1: «Poiché qualsiasi polinomio cubico con $a > 0$ tende a $-\infty$ a sinistra e a $+\infty$ a destra, il suo grafico deve sempre intersecare tre volte l'asse delle ascisse».\n- Affermazione 2: «Se annulliamo il termine noto ($d = 0$), la funzione risultante $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ passa per l'origine e, quindi, è sempre una funzione dispari con simmetria rispetto all'origine».\n\na) Confuta l'Affermazione 1 proponendo un controesempio esplicito di polinomio cubico con $a > 0$ che intersechi l'asse $X$ in un unico punto, e giustifica mediante il suo comportamento crescente perché non può avere altre radici reali.\nb) Dimostra analiticamente che l'Affermazione 2 è falsa verificando se vale o no l'identità $f(-x) = -f(x)$ per $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. Quale condizione necessaria e sufficiente deve soddisfare il coefficiente $b$ affinché la funzione sia davvero dispari?\nc) Costruisci l'espressione algebrica di un polinomio cubico con coefficiente direttivo $a = 1$ che sia simmetrico rispetto al punto $(2, 5)$ e la cui unica radice reale sia $x = 0$. Giustifica passo per passo come traduci le condizioni geometriche nei coefficienti del polinomio.