Esercizi: Funzione logaritmica

Determina il dominio della funzione logaritmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determina i punti di intersezione con gli assi coordinati (asse X e asse Y, se esistono) della funzione $g(x) = \ln(x - 2)$.

Data la funzione $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica motivando se è crescente o decrescente in tutto il suo dominio e calcola il valore esatto di $h(1)$ e $h(4)$.

Scrivi l'espressione analitica della funzione inversa $f^{-1}(x)$ della funzione esponenziale $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica applicando la definizione di logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

In chimica, il pH di una soluzione è definito dall'espressione $pH = -\log[H^+]$, dove $[H^+]$ rappresenta la concentrazione di ioni idrogeno in moli per litro. Calcola il pH di una spremuta d'arancia la cui concentrazione di ioni idrogeno è $[H^+] = 10^{-3,2}$.

Descrivi in modo preciso quali trasformazioni geometriche (traslazioni) occorre applicare al grafico della funzione elementare $f(x) = \ln(x)$ per ottenere il grafico della funzione $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, sviluppa la seguente espressione scrivendola come somma e differenza di logaritmi più semplici:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Nel calcolare il dominio e l'asintoto verticale della funzione $f(x) = \log_5(8 - 2x)$, Matteo scrive nel compito:

«Passo 1: Perché il logaritmo esista, il suo argomento non può essere negativo, quindi pongo $8 - 2x \geq 0 \implies 8 \geq 2x \implies x \leq 4$. Il dominio è $(-\infty, 4]$.»

«Passo 2: Poiché il logaritmo si annulla o tende all'infinito nell'estremo del dominio, la retta $x = 4$ è il suo asintoto verticale, e la curva interseca tale asintoto nel punto $(4, 0)$.»

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Matteo e spiega perché sono in contraddizione tra loro secondo la definizione di asintoto verticale.
2. b) Correggi la risoluzione: scrivi il dominio corretto sotto forma di intervallo, calcola in modo motivato l'equazione dell'asintoto verticale e determina il punto di intersezione reale del grafico con l'asse delle ascisse.

Considera la funzione logaritmica $f(x) = \log_2(x - 3)$.

1. a) Senza usare la calcolatrice, stima tra quali due numeri interi consecutivi si trova il valore di $f(25)$. Giustifica la tua previsione limitando l'argomento tra due potenze consecutive di base $2$ e argomenta se il valore sarà più vicino all'intero minore o al maggiore.
2. b) Calcola il valore numerico di $f(25)$ con la calcolatrice mediante la formula del cambiamento di base (usando logaritmi decimali o naturali), arrotonda il risultato a due decimali e verifica se conferma la tua stima.
3. c) Uno studente afferma che se $f(x)$ assume un valore negativo, allora $x$ deve necessariamente essere negativo. Risolvi in modo esatto l'equazione $f(x) = -2$ e usa il risultato per smentire tale affermazione, verificando che la soluzione appartiene al dominio della funzione.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Esprimi il risultato utilizzando gli intervalli.

A partire dalla seguente rappresentazione grafica della funzione $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analiticamente il suo dominio, il suo codominio, l'equazione del suo asintoto verticale e le coordinate esatte dei punti di intersezione con gli assi X e Y.

Il livello di intensità sonora $\beta$, misurato in decibel (dB), si calcola con la formula acustica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, dove $I$ è l'intensità del suono in $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ è la soglia standard di udibilità. Se il decollo di un aereo a reazione genera un livello di rumore di $140 \text{ dB}$, qual è l'intensità $I$ di quel suono in $\text{W/m}^2$?

Nella scala sismologica Richter, la magnitudo $M$ di un terremoto è legata all'energia rilasciata $E$ (in erg) dall'equazione empirica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcola quante volte è maggiore l'energia rilasciata da un terremoto di magnitudo $7,0$ rispetto all'energia rilasciata da uno di magnitudo $5,0$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica, verificando la validità delle soluzioni ottenute:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Il valore contabile di un server informatico ad alta capacità si deprezza nel tempo secondo la funzione esponenziale $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, dove $V$ è il valore in euro e $t$ è il tempo trascorso in anni dall'acquisto. Trova l'espressione analitica della funzione inversa $t(V)$ e spiega brevemente quale grandezza permette di calcolare questa nuova funzione.

Determina i valori di $x$ e $y$ che soddisfano il seguente sistema di equazioni non lineari:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto $x = 1$. Se esiste una discontinuità, classificala indicando di che tipo è.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Determina l'espressione algebrica di una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(x + b) + c$ sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Il suo dominio è l'intervallo $(-3, +\infty)$ e la retta $x = -3$ è il suo asintoto verticale.

2. Il suo grafico interseca l'asse delle ascisse nel punto $(5, 0)$.

3. Il grafico passa per il punto $(1, -1)$.

Per risolvere:

1. a) Deduci in modo motivato il valore del parametro $b$ a partire dalle informazioni sul dominio e sull'asintoto.
2. b) Imposta un sistema di equazioni con le condizioni 2 e 3 e risolvilo utilizzando le proprietà dei logaritmi per trovare i valori esatti della base $a$ e del termine noto $c$.
3. c) Giustifica se la funzione ottenuta è strettamente crescente o decrescente nel suo dominio e calcola le coordinate del punto di intersezione del suo grafico con l'asse delle ordinate.

In Italia, la Legge quadro n. 447/1995 sull'inquinamento acustico regola i livelli di inquinamento acustico nelle città. Il livello di pressione sonora $L$, misurato in decibel ($\text{dB}$), si modellizza mediante la funzione logaritmica:

dove $I$ è l'intensità fisica del suono in watt per metro quadrato ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ rappresenta la soglia minima di udibilità umana.

Durante i lavori di ristrutturazione di un viale a Napoli, si misurano separatamente due sorgenti di emissione acustica continua: il traffico veicolare, che genera un'intensità $I_1 = 10^{-5}\text{ W/m}^2$, e un compressore da cantiere, che genera $I_2 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$.

1. a) Calcola il livello sonoro in decibel prodotto da ciascuna sorgente separatamente, $L(I_1)$ e $L(I_2)$, applicando la definizione di logaritmo senza usare la calcolatrice.
2. b) Un comitato di quartiere sostiene che quando entrambe le sorgenti sono in funzione contemporaneamente, il livello sonoro totale sarà la somma dei decibel di ciascuna ($L(I_1) + L(I_2)$). Sapendo che le intensità fisiche si sommano direttamente ($I_{\text{totale}} = I_1 + I_2$), dimostra mediante le proprietà dei logaritmi perché la somma dei decibel è matematicamente scorretta e calcola il livello di rumore reale complessivo $L(I_{\text{totale}})$. (Dato: $\log_{10}(1{,}1) \approx 0{,}041$).
3. c) Se il limite di legge consentito per quella zona in orario diurno è $85\text{ dB}$, stabilisci motivando se i lavori rispettano la legge o la violano.

Determina il dominio della funzione $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Presta particolare attenzione ai punti che annullano il numeratore, il denominatore e l'argomento del logaritmo.

Analizza la relazione di simmetria tra le funzioni $f(x) = e^{x-1}$ e $g(x) = \ln(x) + 1$. Osserva il grafico a lato che mostra entrambe le curve e la bisettrice del primo quadrante. Dimostra analiticamente che sono funzioni inverse calcolando la composizione $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Risolvi la seguente equazione logaritmica. Assicurati di verificare le possibili soluzioni nell'equazione originale per scartare le radici false:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

La legge del decadimento radioattivo del Carbonio-14 è data dalla funzione $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, dove $N_0$ è la quantità iniziale di isotopo, $N(t)$ è la quantità residua all'istante $t$ (in anni) e $\lambda$ è la costante di decadimento. Sapendo che il tempo di dimezzamento (tempo necessario affinché la quantità iniziale si riduca esattamente alla metà) è di $5730$ anni, calcola il valore esatto della costante $\lambda$. Successivamente, determina l'età approssimativa di un fossile osseo che conserva solo il $15\%$ del suo Carbonio-14 originale.

Secondo la legge del raffreddamento di Newton, la temperatura $T$ di un corpo all'istante $t$ (in minuti) è data dall'espressione $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, dove $T_a$ è la temperatura ambiente costante e $T_0$ è la temperatura iniziale del corpo. Una tazza di tè a $90^\circ\text{C}$ viene lasciata riposare in una stanza la cui temperatura è $20^\circ\text{C}$. Se dopo $10$ minuti la temperatura del tè è scesa a $60^\circ\text{C}$, determina il valore esatto della costante di raffreddamento $k$. Calcola poi quanto tempo totale deve trascorrere dall'inizio perché la temperatura scenda a $35^\circ\text{C}$.

Determina i valori numerici dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione logaritmica $f(x) = \ln(ax + b)$ soddisfi contemporaneamente due condizioni: avere un asintoto verticale nella retta di equazione $x = -3$ e passare per il punto di coordinate $(2, 0)$.

Risolvi il seguente sistema che combina equazioni esponenziali e logaritmiche, determinando i valori di $x$ e $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

Data la funzione $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ il cui dominio è l'intervallo $x \in (-1, 1)$, dimostra analiticamente, utilizzando le proprietà dei logaritmi, che vale l'identità $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ per qualsiasi valore $a$ e $b$ appartenente al dominio che renda l'espressione sensata.

Per risolvere l'equazione logaritmica $\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2$ si propongono tre strategie di lavoro:

• Metodo 1 (Raggruppamento per prodotto): Applicare la proprietà della somma di logaritmi per trasformare l'equazione in $\log_2((x+2)(x-1)) = 2$, passare alla forma esponenziale $(x+2)(x-1) = 2^2$ e risolvere l'equazione di secondo grado risultante.

• Metodo 2 (Uguaglianza degli argomenti): Scrivere il termine noto come $2 = \log_2(4)$, raggruppare il primo membro in un unico logaritmo e uguagliare direttamente gli argomenti: $(x+2)(x-1) = 4$.

• Metodo 3 (Isolamento e quoziente): Isolare un logaritmo, $\log_2(x+2) = 2 - \log_2(x-1)$, trasformare il secondo membro in $\log_2(4) - \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{4}{x-1}\right)$, e uguagliare gli argomenti: $x+2 = \frac{4}{x-1}$.

1. a) Risolvi l'equazione sviluppando tutti i passaggi algebrici con il Metodo 1 e il Metodo 3.
2. b) In tutti e tre i metodi compare la soluzione algebrica $x = -3$. Spiega in modo rigoroso perché tale soluzione è spuria (non accettabile), precisando in quale passaggio esatto della manipolazione algebrica si amplia l'insieme di validità rispetto al dominio originale dell'equazione.
3. c) Confronta i tre metodi analizzando quale risulti algebricamente più sicuro per evitare errori di calcolo o denominatori nulli, e giustifica quale verifica irrinunciabile debba sempre essere eseguita, indipendentemente dal metodo scelto.

Una funzione logaritmica della forma $f(x) = \log_a(b \cdot x + c)$, con base $a>0$, $a \neq 1$ e coefficiente $b>0$, ha come funzione inversa la funzione esponenziale $f^{-1}(x) = \frac{3^x - 7}{4}$.

1. a) Determina in modo motivato i valori esatti delle costanti $a$, $b$ e $c$. A tal fine, ricava la variabile indipendente dall'espressione di $f^{-1}$ utilizzando la definizione di logaritmo e la proprietà di reciprocità tra funzioni inverse.
2. b) Determina con rigore il dominio e il codominio di $f(x)$, nonché l'equazione del suo asintoto verticale. Spiega come questi elementi corrispondono al codominio e al dominio di $f^{-1}(x)$ attraverso la simmetria grafica rispetto alla retta $y = x$.
3. c) Ottieni le espressioni algebriche semplificate delle funzioni composte $(f \circ f^{-1})(x)$ e $(f^{-1} \circ f)(x)$. Giustifica per quale insieme di numeri reali ciascuna di esse è valida e spiega perché il fatto che i loro domini non coincidano non contraddice la definizione di funzioni inverse.