Esercizi: Termine generale

Data la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcola i suoi primi cinque termini.

Trova l'espressione del termine generale della seguente progressione aritmetica:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Trova l'espressione del termine generale della seguente progressione geometrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Scrivi il termine generale $f_n$ della seguente successione di frazioni:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Data la legge di ricorrenza $a_1 = 2$ e $a_n = 3a_{n-1} - 1$ per $n \ge 2$, calcola i primi quattro termini della successione.

Se il termine generale di una successione è $b_n = n^2 - 5n + 6$, trova il valore esatto del termine che occupa la ventesima posizione ($b_{20}$).

Scrivi il termine generale di una successione i cui termini sono numeri interi consecutivi ma con segni alterni:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Verifica matematicamente se il numero $47$ appartiene alla successione di termine generale $c_n = 3n + 2$. In caso affermativo, indica quale posto occupa in tale successione.

Marco vuole trovare il termine generale della successione di frazioni:

Nel compito scrive la seguente giustificazione:

«Il numeratore avanza di 2 in 2 partendo da 3, quindi è $2n+1$. Il denominatore sono i quadrati di $2, 3, 4, 5\ldots$, quindi è $(n+1)^2$. Poiché i segni si alternano tra positivo e negativo, moltiplico per $(-1)^n$. Pertanto, il termine generale è $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$».

1. a) Calcola i primi due termini ($a_1$ e $a_2$) con la formula di Marco e individua con precisione l'errore che ha commesso.
2. b) Spiega come deve essere modificato l'esponente della potenza di base $-1$ per correggere il segno e scrivi l'espressione corretta del termine generale.
3. c) Marco afferma che il valore $-\frac{21}{121}$ appartiene a questa successione e che occupa una posizione pari. Utilizza il termine generale corretto per stabilire se la sua affermazione è vera o falsa.

Progetta l'espressione algebrica del termine generale $a_n$ di una successione che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:

1. Il primo termine ($n=1$) è negativo e il segno si alterna tra ogni termine e il successivo.

2. Tutti i suoi termini sono frazioni il cui valore assoluto è strettamente minore di 1.

3. Al crescere dell'indice $n$, il valore assoluto dei termini si avvicina progressivamente a 1 (cioè numeratore e denominatore si avvicinano in valore assoluto).

4. Il numero $-\frac{5}{6}$ appartiene alla successione.

Una volta definita la tua formula:

1. a) Scrivi i suoi primi tre termini ($a_1, a_2, a_3$) per verificare che siano soddisfatte le condizioni 1, 2 e 3.
2. b) Imposta e risolvi l'equazione che permette di trovare quale posizione $n$ occupa il numero $-\frac{5}{6}$, giustificando perché il risultato garantisce che tale valore appartiene alla successione.

Una popolazione di alghe microscopiche in un lago controllato triplica la superficie coperta ogni settimana. Se nella prima settimana (settimana $n=1$) coprono una superficie di $2 \text{ m}^2$:

1. a) Scrivi il termine generale $S_n$ che rappresenta la superficie coperta dopo $n$ settimane.
2. b) Calcola quante settimane complete devono trascorrere affinché la superficie coperta superi per la prima volta $1000 \text{ m}^2$.

Trova il termine generale $a_n$ della seguente successione combinando i modelli che regolano il suo numeratore e il suo denominatore in modo indipendente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Osserva la seguente sequenza di figure formate da esagoni adiacenti che condividono uno o più lati. La Figura 1 è formata da 6 stecchini, la Figura 2 da 11 stecchini e la Figura 3 da 16 stecchini. Scrivi il termine generale del numero di stecchini $P_n$ necessari per costruire la Figura $n$.

Il valore di mercato di un'auto nuova è di $24\,000$ €. Si stima che ogni anno perda il $15\,\%$ del suo valore rispetto all'anno immediatamente precedente. Trova il termine generale $V_n$ che esprime il valore dell'auto dopo $n$ anni (considerando $n=0$ il momento dell'acquisto) e determina il suo valore stimato dopo $5$ anni.

Data la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, trova l'espressione del termine generale della successione differenza definita come $d_n = a_{n+1} - a_n$ e semplifica al massimo il risultato.

Una successione per ricorrenza è definita dalle condizioni iniziali $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ e dalla legge di ricorrenza $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ per ogni $n \ge 3$. Calcola i termini della successione fino a $x_6$ e deduci una formula esplicita per il termine generale $x_n$ in funzione di potenze di $2$.

Un atleta amatoriale si prepara per una mezza maratona. Il primo giorno di allenamento corre $5$ km e decide di aumentare la distanza giornaliera di $500$ metri esatti rispetto al giorno precedente. Esprimi il termine generale $d_n$ della distanza in chilometri percorsa il giorno $n$. In quale giorno del suo allenamento correrà esattamente $15$ km?

Trova il termine generale della successione $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ e utilizzalo per calcolare il valore esatto del termine che occupa la cinquantesima posizione ($a_{50}$).

Considera la successione definita dal termine generale $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo esatto, fai una stima ragionata del valore a cui si avvicineranno i termini della successione quando la posizione $n$ è estremamente grande (ad esempio, per $n = 10\,000$). Giustifica a quali termini della frazione presti attenzione e perché gli altri influiscono appena sul risultato.
2. b) Verifica la tua stima calcolando il valore esatto (in forma di frazione irriducibile) e l'approssimazione decimale con tre cifre decimali per $n = 1$, $n = 10$ e $n = 100$. Questi valori numerici confermano la tua previsione iniziale?
3. c) Imposta l'equazione necessaria per stabilire se il numero $2,5$ è esattamente un termine della successione. Risolvila e argomenta perché, nonostante la stima del punto a), è impossibile che $2,5$ ne faccia parte.

Un atleta amatoriale si prepara a Roma per i 10 km della corsa San Silvestro seguendo un piano di allenamento di 16 settimane. Nella prima settimana ($n=1$) effettua un lungo di $4 \text{ km}$. L'allenatore stabilisce una progressione base lineare che aggiunge $0,5 \text{ km}$ a settimana (cioè: $4 \text{ km}$ nella settimana 1, $4,5 \text{ km}$ nella settimana 2, $5 \text{ km}$ nella settimana 3, ecc.). Tuttavia, per assimilare lo sforzo muscolare, introduce una regola di scarico periodico:

• Se la settimana $n$ è dispari, l'atleta corre l'intera distanza fissata dalla progressione base.

• Se la settimana $n$ è pari, l'atleta riduce di $1 \text{ km}$ il lungo che gli spetterebbe secondo la progressione base.

1. a) Modella la distanza reale $T_n$ (in chilometri) del lungo della settimana $n$ mediante un'unica formula esplicita unificata, utilizzando una potenza di base $-1$ per alternare la correzione tra settimane pari e dispari.
2. b) Determina algebricamente in quale settimana supererà per la prima volta i $9 \text{ km}$ nel suo lungo.
3. c) Quanti chilometri dovrà correre nella settimana $n=16$, ultima settimana di carico prima della gara?

Si costruisce un frattale geometrico a partire da un triangolo equilatero di area $A$. A ogni passo si uniscono i punti medi dei lati dei triangoli non ombreggiati per formare 4 triangoli più piccoli, e si ombreggia esclusivamente quello centrale. Trova il termine generale $T_n$ che esprime il numero di nuovi triangoli ombreggiati aggiunti al passo $n$, e il termine generale $A_n$ per l'area di uno solo di quei nuovi triangoli aggiunti al passo $n$.

Dimostra matematicamente, studiando il segno algebrico della differenza $a_{n+1} - a_n$, se la successione $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ è strettamente crescente o strettamente decrescente.

Una palla di gomma viene lasciata cadere da un'altezza iniziale di $10$ metri. A ogni rimbalzo sul suolo, la palla raggiunge un'altezza pari a $\frac{3}{4}$ dell'altezza massima raggiunta nel rimbalzo immediatamente precedente. Scrivi il termine generale $h_n$ dell'altezza raggiunta dopo l'$n$-esimo rimbalzo. Utilizzando i logaritmi, determina poi dopo quanti rimbalzi l'altezza massima sarà per la prima volta inferiore a $1$ metro.

Trova un unico termine generale esplicito $a_n$ per la successione $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizzando l'espressione $(-1)^n$ per unificare il comportamento diverso dei termini di posto pari e di posto dispari.

In una rete di computer, il numero totale di connessioni dirette possibili tra $n$ dispositivi (se tutti sono collegati fisicamente con tutti) forma una successione $C_n$. Sapendo che $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$ e $C_4 = 6$, determina il termine generale $C_n$. Da esso, deduci quanti dispositivi compongono una rete che ha esattamente $1225$ connessioni dirette.

Si definisce la successione $a_n$ mediante la relazione di ricorrenza $a_1 = 3$ e $a_n = 2a_{n-1} + 1$ per $n \ge 2$. Per trovare il suo termine generale esplicito, definisci una nuova successione ausiliaria $b_n = a_n + 1$. Dimostra che $b_n$ è una progressione geometrica, determina il suo termine generale $b_n$ e, a partire da esso, deduci il termine generale di $a_n$.

Studia la limitatezza della successione $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. A tal fine, dimostra algebricamente che la successione è limitata inferiormente da $\frac{7}{3}$ e superiormente da $\frac{5}{2}$.

Si investono $5\,000$ € in un fondo di investimento che offre un interesse composto annuo del $4\,\%$. Tuttavia, alla fine di ogni anno e dopo aver applicato gli interessi, l'ente trattiene $50$ € fissi a titolo di commissioni di gestione. Scrivi la legge di ricorrenza per il capitale $C_n$ accumulato alla fine dell'anno $n$ (con $C_0 = 5000$), e calcola il capitale nei primi tre anni ($C_1, C_2, C_3$).

Una successione è definita per ricorrenza mediante $a_1 = 2$ e $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ per ogni $n \geq 1$. Due studenti devono svolgere due compiti: calcolare il termine $a_3$ e verificare se il valore $\frac{1}{152}$ appartiene alla successione.

• Lucia propone di applicare la ricorrenza successivamente termine a termine fino a rispondere a entrambe le domande.

• Sergio propone di calcolare i primi quattro termini, studiare la successione ausiliaria dei loro inversi $b_n = \frac{1}{a_n}$ per trovare una regola generale, dedurre l'espressione esplicita di $a_n$ in funzione di $n$ e lavorare a partire da essa.

1. a) Sviluppa il metodo di Sergio: determina $a_1, a_2, a_3, a_4$, scrivi i valori corrispondenti di $b_n$, deduci in modo motivato la formula del termine generale esplicito $a_n$ e verifica che coincide con i valori trovati.
2. b) Confronta i due procedimenti per il calcolo esclusivo di $a_3$. Quale risulta più economico in tempo e operazioni per questo caso particolare? Giustifica la tua risposta.
3. c) Utilizza il termine generale esplicito per determinare con rigore matematico se il numero $\frac{1}{152}$ appartiene alla successione. Poi spiega perché il metodo di ricorrenza di Lucia risulterebbe inefficiente o inattuabile per rispondere con certezza a questa domanda.

Si considera la successione i cui primi termini sono:

1. a) Analizza la regolarità seguita dai termini di posto dispari ($n=1, 3, 5, \ldots$) e quella seguita dai termini di posto pari ($n=2, 4, 6, \ldots$). Scrivi la legge che determina ciascun gruppo di termini in funzione dell'indice globale $n$.
2. b) Per esprimere la successione con un'unica formula chiusa senza ricorrere a una funzione definita a tratti, si utilizzano «interruttori algebrici» costruiti con potenze di base $-1$. Giustifica quali valori assumono le espressioni $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ e $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ a seconda della parità di $n$, e usale per dedurre una formula unificata e semplificata del termine generale $a_n$.
3. c) Indaga algebricamente se il numero 100 fa parte di questa successione. Imposta le equazioni corrispondenti e spiega quante volte e in quale o quali posizioni esatte compare tale valore.