Esercizi: Progressioni geometriche

Scrivi i primi cinque termini e determina l'espressione del termine generale di una progressione geometrica sapendo che il suo primo termine è $a_1 = 3$ e la sua ragione è $r = 2$.

Data la successione definita dal termine generale $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcola il valore dei termini $a_3$ e $a_6$.

Determina se la seguente successione è una progressione geometrica. In caso affermativo, trova la sua ragione e il suo termine generale: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$

Calcola la somma dei primi $8$ termini di una progressione geometrica in cui il primo termine è $a_1 = 4$ e la ragione è $r = 3$.

Determina la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica il cui primo termine è $a_1 = 10$ e la cui ragione è $r = \frac{1}{5}$.

In una progressione geometrica di termini positivi, si sa che $a_2 = 6$ e $a_4 = 54$. Calcola il valore della ragione $r$ e del primo termine $a_1$.

Calcola il prodotto dei primi sei termini di una progressione geometrica che ha come primo termine $a_1 = 2$ e come ragione $r = 2$.

Esprimi il numero decimale periodico semplice $0,4444\dots$ come somma degli infiniti termini di una progressione geometrica e ricava la sua frazione generatrice.

Lucia cerca di calcolare il quinto termine ($a_5$) di una progressione geometrica il cui primo termine è $a_1 = 8$ e la cui ragione è $r = 0,5$. Nel suo quaderno scrive il seguente svolgimento:

1. a) Senza fare calcoli analitici, spiega un motivo concettuale per cui il risultato $256$ è incoerente con i dati di partenza ($a_1 = 8$ e $r = 0,5$).
2. b) Individua l'errore commesso da Lucia nell'applicazione della priorità delle operazioni o della formula generale $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
3. c) Correggi il procedimento e determina il valore esatto di $a_5$ in forma frazionaria e decimale.

Considera la progressione geometrica di primo termine $a_1 = 18$ e ragione $r = \frac{1}{3}$.

1. a) Scrivi i suoi primi quattro termini. A partire da essi, fai una stima ragionata: tra quali due numeri interi consecutivi ritieni che si troverà la somma dei suoi infiniti termini ($S_\infty$)? Spiega la tua intuizione prima di usare qualsiasi formula.
2. b) Applica la formula teorica della somma infinita $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ per calcolarne il valore esatto e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Calcola la somma finita dei primi quattro termini ($S_4$) e determina quale percentuale della somma infinita totale ($S_\infty$) si è già raggiunta sommando soltanto quei primi quattro termini.

Un macchinario industriale costa $24\,000$ euro e si svaluta del $12\%$ ogni anno rispetto al valore dell'anno precedente. Scrivi il termine generale della successione che modella il suo valore e calcola quanto varrà dopo $6$ anni.

In una coltura di laboratorio, una popolazione di batteri si triplica ogni $4$ ore. Se inizialmente vengono introdotti $100$ batteri nella piastra, quanti batteri ci saranno dopo $24$ ore? Esprimi il risultato utilizzando le potenze.

Determina il valore del numero reale $x$ affinché i termini $x-1$, $2x$ e $5x+4$ formino, in quest'ordine, una progressione geometrica.

Si lascia cadere una palla elastica da un'altezza iniziale di $5$ metri. A ogni rimbalzo, la palla raggiunge il $80\%$ dell'altezza del rimbalzo precedente. Imposta la successione delle altezze raggiunte e calcola la distanza totale percorsa dalla palla (sommando le discese e le salite) fino a quando si ferma teoricamente.

Si depositano $5000$ euro in un istituto finanziario a un interesse composto annuo del $3,5\%$. Scrivi l'espressione generale del capitale accumulato alla fine dell'anno $n$. Quanto denaro ci sarà sul conto dopo $8$ anni se non si preleva nulla?

In una progressione geometrica si sa che $a_2 = 12$ e $a_5 = 324$. Calcola la ragione della progressione e la somma dei primi sei termini.

La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica è $18$ e il suo primo termine è $6$. Determina la ragione della progressione e il valore del quarto termine.

Si ha un quadrato di lato $10$ cm. Unendo i punti medi dei suoi lati si forma un secondo quadrato. Unendo i punti medi dei lati di questo secondo quadrato si forma un terzo quadrato, e così via. Calcola la somma delle aree degli infiniti quadrati formati con questo procedimento.

Secondo i rapporti dell'ISTAT sulla sfida demografica nelle aree interne d'Italia, un comune di montagna aveva $3\,125$ abitanti residenti al 1° gennaio 2020. A causa dell'invecchiamento della popolazione e della mancanza di ricambio generazionale, la popolazione residente diminuisce ogni anno del $4\%$ in modo costante rispetto all'anno immediatamente precedente.

1. a) Modella la popolazione del comune al 1° gennaio di ciascun anno successivo mediante una progressione geometrica. Giustifica il valore del primo termine $a_1$ (anno 2020) e ricava la ragione $r$.
2. b) Scrivi il termine generale $a_n$ della successione e calcola la popolazione prevista per il 1° gennaio 2026.
3. c) La normativa considera una località a «rischio estremo di spopolamento» se i suoi residenti scendono sotto i $2\,000$ abitanti. Imposta una disequazione e risolvila applicando i logaritmi per determinare da quale anno questo comune entrerà in tale condizione se la tendenza si mantiene.

Per tarare un sensore fisico occorre ricostruire una progressione geometrica di termini reali strettamente positivi. Di essa si conoscono solo due dati globali: la somma dei suoi primi due termini è $a_1 + a_2 = 24$ e la somma dei suoi infiniti termini converge a $S_\infty = 32$.

1. a) Imposta un sistema di equazioni in funzione del primo termine $a_1$ e della ragione $r$ utilizzando le espressioni formali di $a_2$ e di $S_\infty$.
2. b) Risolvi il sistema e dimostra che si ottengono due possibili valori algebrici per la ragione $r$. Giustifica in dettaglio perché uno dei due deve essere scartato in base alle condizioni del testo.
3. c) A partire dalla soluzione valida, scrivi il termine generale $a_n$ e calcola il valore esatto della somma dei primi sei termini ($S_6$).

La curva nota come «fiocco di neve di Koch» si costruisce a partire da un triangolo equilatero di lato $L$. A ogni passo, il terzo centrale di ogni segmento viene sostituito da due segmenti della stessa lunghezza che formano una punta verso l'esterno. Sia $P_n$ il perimetro della figura al passo $n$ (dove $P_0 = 3L$). Dimostra che $P_n$ è una progressione geometrica, trova il suo termine generale e calcola il limite del perimetro per $n \to \infty$.

In una progressione geometrica di termini positivi, la somma dei primi due termini è $15$ e la somma del terzo e del quarto termine è $60$. Imposta il sistema di equazioni corrispondente per determinare il primo termine e la ragione della progressione.

Secondo la leggenda dell'inventore degli scacchi, il re gli offrì un chicco di grano nella prima casella, due nella seconda, quattro nella terza, e così via raddoppiando la quantità in ogni casella fino ad arrivare alla numero $64$. Esprimi la quantità totale di chicchi di grano sulla scacchiera usando la formula della somma di una progressione geometrica. Se un grammo di grano contiene circa $20$ chicchi e una tonnellata equivale a $10^6$ grammi, stima l'ordine di grandezza delle tonnellate totali di grano.

Achille e la tartaruga disputano una gara. Achille corre a $10$ m/s e la tartaruga a $1$ m/s. La tartaruga parte con un vantaggio di $100$ metri. Quando Achille percorre quei $100$ metri, la tartaruga è avanzata di $10$ metri. Quando Achille percorre quei $10$ metri, la tartaruga avanza di $1$ metro, e così via. Esprimi la distanza totale percorsa da Achille come somma degli infiniti termini di una progressione geometrica e dimostra che il risultato è finito.

Dimostra che il prodotto dei primi $n$ termini di una progressione geometrica a termini positivi è dato dalla formula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Usa questo risultato per calcolare il prodotto dei primi $10$ termini di una progressione geometrica in cui $a_3 = 4$ e $a_8 = 128$.

Gli angoli interni di un quadrilatero sono in progressione geometrica di ragione $2$. Calcola la misura di ciascuno dei quattro angoli. Sarebbe possibile costruire un pentagono convesso i cui angoli interni formino una progressione geometrica di ragione $2$? Giustifica la risposta.

In un quadrato di lato $L = 20$ cm si inscrive un cerchio. All'interno di questo cerchio si inscrive un nuovo quadrato, nel quale si inscrive un altro cerchio, e il procedimento si ripete indefinitamente. Trova l'espressione dell'area dell'n-esimo cerchio e calcola la somma delle aree degli infiniti cerchi formati.

Sia $a_n$ una progressione geometrica di termini strettamente positivi con primo termine $a_1$ e ragione $r$. Dimostra che la successione definita da $b_n = \log(a_n)$ è una progressione aritmetica. Se $a_1 = 10$ e $r = 100$, calcola la somma dei primi $20$ termini della progressione $b_n$.

Per trovare la frazione generatrice ridotta ai minimi termini del numero decimale periodico misto $1{,}2\widehat{45} = 1{,}2454545\dots$, due studenti del terzo anno di liceo sostengono metodi diversi:

• Metodo 1 (eliminazione mediante potenze di 10): Moltiplicare il numero $x = 1{,}2\widehat{45}$ per $1000$ e per $10$, sottrarre membro a membro le due uguaglianze ($1000x - 10x$) per eliminare la coda periodica infinita e ricavare $x$.

• Metodo 2 (somma di una serie geometrica infinita): Scomporre il numero nella sua parte non periodica più una somma infinita:

Identificare la progressione geometrica che parte dal termine $\frac{45}{10^3}$, trovare la sua somma $S_\infty$ mediante la formula e sommarla alla frazione decimale iniziale.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi fino ad ottenere in entrambi i casi la stessa frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Confronta in modo critico i due procedimenti: quale dei due risulta più rapido per il calcolo di routine e perché il Metodo 2 fornisce il vero fondamento matematico rigoroso (teoria dei limiti e delle serie convergenti) che giustifica la sottrazione di infinite cifre decimali che il Metodo 1 applica senza giustificare?

In una terapia ospedaliera si somministra a un paziente una dose fissa di $120\text{ mg}$ di un farmaco ogni $12$ ore. L'organismo metabolizza la sostanza in modo che, allo scadere delle $12$ ore da una somministrazione (appena prima della successiva), rimanga nel flusso sanguigno solo il $25\%$ della quantità di farmaco presente subito dopo tale somministrazione.

1. a) Modella la quantità di antibiotico presente nel sangue subito dopo la 1ª, 2ª e 3ª somministrazione. Ricava con ragionamento l'espressione della quantità accumulata $C_n$ subito dopo la $n$-esima dose come somma dei termini di una progressione geometrica.
2. b) La soglia di tossicità del medicinale è fissata a $170\text{ mg}$. Nelle terapie di lunga durata (oltre tre mesi), il personale sanitario teme che il farmaco si accumuli in modo incontrollato fino a superare tale soglia. Dimostra matematicamente, mediante il limite della somma accumulata per $n \to \infty$, perché questo rischio non esiste e calcola la concentrazione massima teorica che il paziente non supererà mai.
3. c) Se, dopo aver raggiunto praticamente la stabilità, il paziente dimentica per errore una dose e riceve la successiva $24$ ore dopo la precedente, calcola la quantità di farmaco che resterà nel suo sangue subito prima di assumere di nuovo il farmaco e dopo aver ricevuto la nuova dose.