Esercizi: Successioni esponenziali. Il numero e

Calcola il limite della seguente successione esponenziale:

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Determina il valore a cui tende la successione $b_n$ quando $n \to \infty$:

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Trova il limite della successione formata dal rapporto di polinomi elevato a $n$:

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Indica qual è il limite della seguente successione geometrica:

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calcola il limite della successione con termine generale:

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Determina il limite della seguente successione, sapendo che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$:

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Trova il limite della successione esponenziale il cui esponente è $n+5$:

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Calcola il limite della successione:

$h_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

Carlo risolve alla lavagna il seguente limite di una successione: $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+5}{n+2}\right)^{3n}$. Per giustificare il suo risultato, scrive sul quaderno: «Poiché $\lim_{n\to\infty} \frac{n+5}{n+2} = 1$ e il numero $1$ elevato a qualsiasi esponente dà sempre $1$, il limite è semplicemente $1^{3n} = 1$».\n\na) Individua l'errore concettuale che commette Carlo trattando l'espressione come se non fosse una forma indeterminata. Spiega perché nel passaggio al limite la forma $1^\infty$ non equivale automaticamente al numero $1$.\nb) Correggi l'esercizio passo dopo passo utilizzando la formula $\lim a_n^{b_n} = e^{\lim b_n(a_n-1)}$, determinando il valore reale del limite come potenza del numero $e$.

Considera la successione $a_n = \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$.

1. a) Stima: calcola in modo esatto i primi due termini, $a_1$ e $a_2$, ed esprimili in forma decimale. Calcola anche, con la calcolatrice, $a_{10}$ e $a_{100}$. Osserva se questi valori sono minori o maggiori di $1$ e come evolvono. A partire da ciò che osservi, ragiona in modo intuitivo: elevando una base minore di $1$ a un esponente che cresce verso $+\infty$, anche la base cambia e si avvicina a $1$. Cosa pensi che accada al limite? Fornisci una stima del suo valore e giustificala senza applicare ancora formule sui limiti.

1. b) Verifica: calcola il limite $\lim_{n\to\infty} a_n$ applicando la formula del numero $e$, cioè $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e$ quando $k_n\to\infty$ (o la versione equivalente della forma indeterminata $1^\infty$). Esprimi il risultato nella forma più semplificata possibile e confrontalo con la tua stima del punto a).

Calcola il limite della seguente successione, risolvendo la forma indeterminata corrispondente:

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

Si depositano $5000$ euro presso un istituto finanziario a un interesse annuo del $4\%$. La formula del capitale finale dopo $n$ anni con capitalizzazione continua è data dalla successione $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcola il capitale accumulato dopo $10$ anni e confrontalo con il capitale ottenuto se la capitalizzazione fosse annua, la cui espressione è $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Determina il limite della seguente successione risolvendo la forma indeterminata del tipo $1^\infty$:

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

La quantità di un isotopo radioattivo in un campione diminuisce in modo esponenziale secondo la successione $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, dove $n$ è il numero di anni trascorsi e $M_n$ si misura in grammi. Quanti grammi resteranno nel campione dopo $20$ anni? A quale valore tende la massa a lungo termine (quando $n \to \infty$)?

Trova il limite della successione che combina polinomi di secondo grado nella base:

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Un veicolo perde il $15\%$ del suo valore ogni anno a causa del deprezzamento. Se il suo prezzo iniziale in concessionaria è di $24000$ euro, il valore dopo $n$ anni è dato dalla successione $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. Quale sarà il suo valore dopo $5$ anni? Cosa accade al suo valore al tendere all'infinito del numero di anni?

Calcola il limite della seguente successione, che presenta un esponente algebrico in forma di frazione:

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

In un esperimento di termodinamica, la differenza di temperatura tra un corpo metallico e l'ambiente circostante diminuisce esponenzialmente seguendo la successione $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, dove $n$ sono i minuti trascorsi dall'inizio del raffreddamento. Calcola la differenza di temperatura dopo $30$ minuti e determina il limite della successione quando $n \to \infty$.

Per calcolare il limite $L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+4}{n-1}\right)^{2n+1}$, due compagne di classe propongono strategie diverse:\n- Lucia preferisce il Metodo A (adeguamento alla definizione classica): manipolare algebricamente la base sommando e sottraendo termini per scriverla nella forma $\left(1 + \frac{1}{f(n)}\right)$, e poi compensare l'esponente moltiplicando e dividendo per $f(n)$.\n- Marta preferisce il Metodo B (formula generale della forma indeterminata $1^\infty$): verificare che $\lim a_n = 1$ e $\lim b_n = \infty$, e calcolare direttamente $e^{\lim b_n(a_n-1)}$.\n\na) Sviluppa completamente la risoluzione del limite utilizzando entrambi i metodi e verifica che conducano allo stesso risultato esatto.\nb) Confronta i due percorsi: quale richiede più manipolazioni algebriche con frazioni? In quale ritieni che ci sia maggior rischio di commettere errori con i segni o con gli esponenti? Giustifica quale dei due metodi sceglieresti tu in un compito in classe e perché.

Una persona in Italia decide di depositare $12.000\text{ \euro}$ dei suoi risparmi in un deposito bancario a termine di $1$ anno. L'istituto bancario offre un tasso di interesse nominale annuo del $4\%$ ($r = 0{,}04$) e permette di scegliere la frequenza con cui gli interessi vengono liquidati e reinvestiti. Se gli interessi vengono liquidati $n$ volte all'anno, il capitale finale accumulato è dato dalla successione $C_n = 12.000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modellizza il capitale finale se l'istituto liquidasse gli interessi in modo istantaneo e continuo ($n \to \infty$). Esprimi tale valore esatto in funzione del numero $e$ e calcola il suo importo arrotondato al centesimo di euro (sapendo che $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calcola il guadagno netto in euro che genera il deposito con un'unica liquidazione annua ($n = 1$) e confrontalo con il guadagno ottenuto mediante capitalizzazione continua.\nc) Un volantino commerciale afferma: «Se dividiamo l'anno in periodi sempre più brevi (secondi, millisecondi...), i tuoi interessi genereranno nuovi interessi in modo continuo, facendo crescere i tuoi guadagni senza limite». Utilizzando il concetto di limite e le proprietà del numero $e$, confuta formalmente questo slogan pubblicitario e determina qual è il guadagno aggiuntivo massimo che la capitalizzazione continua offre rispetto a quella annua.

Trova il valore del parametro reale $a$ affinché valga la seguente uguaglianza con il numero $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calcola il limite della successione esponenziale formata da polinomi di secondo grado sia nella base sia nell'esponente:

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Un paziente riceve una dose di $50$ mg di un farmaco ogni $24$ ore. Sapendo che il corpo elimina il $40\%$ del farmaco presente in tale intervallo di tempo, la quantità accumulata nel corpo subito dopo la $n$-esima dose segue la successione geometrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calcola la quantità accumulata a lungo termine (il limite della successione quando $n \to \infty$).

Calcola il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente successione abbia come limite $e^{-4}$, sapendo che $a$ è un numero reale positivo:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Trova il limite della successione che combina radici quadrate nella base e un esponente lineare:

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

La concentrazione di un inquinante in un lago si riduce naturalmente mediante un processo che segue la successione $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, dove $n$ rappresenta il numero di fasi di filtraggio applicate. Se si applicano infinite fasi di filtraggio, dimostra matematicamente a quale frazione esatta della concentrazione iniziale $C_0$ si ridurrà l'inquinante.

Calcola il limite della successione risolvendo la forma indeterminata generata dal rapporto algebrico nell'esponente:

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

Si investono $10000$ euro a un tasso di interesse nominale annuo del $5\%$. La successione che descrive il capitale finale se gli interessi vengono capitalizzati $n$ volte all'anno è $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcola il limite di questa successione quando $n \to \infty$ per trovare il capitale finale con capitalizzazione continua. Confronta questo risultato con il capitale ottenuto se si capitalizza trimestralmente ($n=4$).

Un professore propone di progettare un esercizio per un compito in classe e cerca di costruire una successione della forma:\n$$a_n = \left(\frac{A n^2 + B n - 1}{3n^2 + 5}\right)^{C n}$$\ndove $A$, $B$ e $C$ sono numeri interi costanti ($A > 0$, $B \neq 0$, $C \neq 0$).\n\na) Determina, motivando la risposta, quale valore numerico deve assumere necessariamente il coefficiente $A$ affinché la successione dia luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Spiega che cosa accadrebbe al limite se $A$ fosse maggiore o minore di tale valore.\nb) Con il valore di $A$ fissato al punto precedente, ricava analiticamente quale relazione matematica devono soddisfare i parametri $B$ e $C$ affinché il limite della successione sia esattamente uguale a $\frac{1}{e^2}$.\nc) A partire dalla relazione trovata, fornisci due terne distinte di numeri interi $(A, B, C)$ adatte a questo esercizio. Scegline una e dimostra passo per passo che il suo limite è effettivamente $e^{-2}$.

Considera la seguente famiglia di successioni esponenziali dipendenti da un parametro naturale $k \in \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$:\n$$s_n = \left(\frac{n^k + 4n}{n^k + 1}\right)^{n^3}$$\n\na) Stima e analizza gli ordini di crescita: se $k = 1$, compare la forma indeterminata $1^\infty$? Se $k \ge 2$, la base tende a $1$ e l'esponente a $+\infty$. Analizza i gradi del numeratore e del denominatore eseguendo la sottrazione $(a_n - 1)$, e deduci per quale valore critico di $k$ la velocità con cui la base si avvicina a $1$ si bilancerà esattamente con la velocità con cui l'esponente $n^3$ cresce verso $+\infty$, in modo che il limite sia una potenza finita di $e$ diversa da $1$ e da $+\infty$.\nb) Verifica formalmente la tua deduzione calcolando il limite $\lim_{n\to\infty} s_n$ nei seguenti tre casi: per $k = 2$, per il valore critico di $k$ che hai previsto, e per $k = 5$.\nc) Alla luce dei risultati, enuncia una conclusione generale motivata sul valore di $\lim_{n\to\infty} s_n$ a seconda che $k$ sia minore, uguale o maggiore di tale valore critico.

Sfida del tema. Come evolve un capitale in capitalizzazione composta e come possiamo rappresentarlo dinamicamente? Progetta un modello finanziario e geometrico con dati reali.

1. Dati reali: Entra nel sito della Banca d'Italia e consulta il dato attuale dell'Euribor ($r$, ad es. $3,2\,\% \rightarrow r = 0,032$). Fissa un capitale iniziale di $1000$ €.

2. Modellizzazione e il numero $e$: Formula il termine generale del capitale accumulato secondo i periodi di capitalizzazione: $C_n = 1000\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$. Verifica con un foglio di calcolo se è una successione crescente o decrescente, giustifica se è limitata e calcola il suo limite quando $n \to \infty$ utilizzando il numero $e$. Confronta questo modello esponenziale con una progressione aritmetica di risparmio mensile costante.

3. Dinamica nel piano complesso: Modellizza il reinvestimento trimestrale in GeoGebra assegnando a ogni fase un numero complesso in forma trigonometrica: $z_k = (C_k)_{k \cdot \frac{\pi}{4}}$. Moltiplica successivamente per $w = \left(1 + \frac{r}{4}\right)_{\pi/4}$ per generare una progressione geometrica di numeri complessi. Giustifica mediante operazioni in forma trigonometrica se la spirale risultante è crescente o decrescente.

4. Relazione finale: Redigi una proposta motivata confrontando entrambi i modelli con tabella e grafico.

Verrà valutato:

• Rigore nell'ottenimento di dati reali e nella formulazione del termine generale.

• Giustificazione analitica della monotonia, della limitatezza e del calcolo del limite con il numero $e$.

• Correttezza nelle operazioni con numeri complessi in forma trigonometrica e nella loro rappresentazione in GeoGebra.