Esercizi: Successione crescente

Scrivi i primi quattro termini della successione $a_n = 3n - 5$ e verifica, calcolando la differenza $a_{n+1} - a_n$, che si tratta di una successione strettamente crescente.

Data la successione di termine generale $b_n = \frac{n}{2} + 4$, dimostra che è crescente verificando che $b_{n+1} \geq b_n$ per ogni numero naturale $n$.

Uno studente decide di risparmiare denaro per un viaggio. Il primo mese mette da parte $10$ euro e ogni mese successivo mette da parte $5$ euro in più rispetto al mese precedente. Scrivi il termine generale del denaro risparmiato nel mese $n$ e giustifica matematicamente perché questa successione è strettamente crescente.

Determina se la successione $c_n = n^2 + 2n$ è crescente. Per farlo, calcola algebricamente la differenza tra il termine $n+1$ e il termine $n$, e analizza il segno del risultato.

Verifica che la successione definita per ricorrenza come $a_1 = 3$ e $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$.

Data la successione geometrica $d_n = 3^n$, usa il metodo del quoziente (cioè calcola $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) per dimostrare che è una successione strettamente crescente.

Un albero appena piantato è alto $150$ cm. Ogni anno la sua altezza aumenta del $5$ % rispetto all'altezza dell'anno precedente. Esprimi la sua altezza $h_n$ dopo $n$ anni e giustifica mediante il criterio del quoziente che la successione delle sue altezze è crescente.

Individua quale tra le seguenti successioni è strettamente crescente calcolando i suoi primi tre termini e analizzandone l'andamento: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.

Lucia vuole dimostrare che la successione $a_n = 6n - n^2$ è strettamente crescente. Per farlo calcola i primi due termini: $a_1 = 6\cdot 1 - 1^2 = 5$ e $a_2 = 6\cdot 2 - 2^2 = 8$. Poiché $a_2 > a_1$, afferma con sicurezza che la successione è strettamente crescente per ogni $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale di ragionamento che commette Lucia nel dedurre il comportamento globale da soli due termini particolari.
2. b) Trova un controesempio calcolando i termini $a_3$, $a_4$ e $a_5$ per dimostrare che la sua affermazione generale è falsa.
3. c) Scrivi la definizione algebrica formale che Lucia avrebbe dovuto verificare per ogni $n \geq 1$ e calcola la differenza $a_{n+1} - a_n$ in funzione di $n$ per determinare da quale valore di $n$ la successione smette di crescere.

Considera la successione razionale $a_n = \dfrac{3n - 2}{n + 1}$ per $n \geq 1$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico complesso, stima in modo intuitivo se la successione sarà crescente o decrescente calcolando mentalmente i valori approssimati di $a_1$, $a_2$ e di un termine lontano come $a_{100}$. Verso quale numero sembra avvicinarsi la successione man mano che $n$ diventa molto grande?
2. b) Dimostra formalmente che la successione è strettamente crescente sviluppando la differenza $a_{n+1} - a_n$, riducendo allo stesso denominatore e giustificando il segno sia del numeratore sia del denominatore risultanti per ogni $n \geq 1$.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e stabilisci se la distanza tra due termini consecutivi, $a_{n+1} - a_n$, aumenta o diminuisce al crescere di $n$.

Dimostra in modo algebrico che la successione di termine generale $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ è strettamente crescente. Per farlo, sviluppa la disequazione $a_{n+1} - a_n > 0$ e giustifica il segno del numeratore e del denominatore risultanti.

In un esperimento di cinematica, la velocità di un mobile all'istante $n$ (in secondi) è data dalla successione $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ in m/s. Dimostra analiticamente che il mobile accelera continuamente (la successione delle velocità è strettamente crescente) e osserva il grafico per determinare se supererà a un certo punto i $10$ m/s.

Trova i valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ per i quali la successione definita da $a_n = (k-3)n + 5$ è strettamente crescente. Motiva la risposta a partire dalla differenza $a_{n+1} - a_n$.

La popolazione di una colonia di batteri in una coltura controllata è modellizzata dalla successione $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, dove $n \geq 1$ rappresenta i giorni trascorsi. Usa il criterio del quoziente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ per dimostrare rigorosamente che la popolazione è in costante crescita.

Dimostra che la successione $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$. Esiste qualche valore di $n$ per il quale valga $b_n \geq 1$? Giustifica la risposta.

Un'azienda tecnologica prevede che i suoi utili mensili (in migliaia di euro) seguano la successione $B_n = 50 - \frac{100}{2^n}$. Prova matematicamente che gli utili aumentano da un mese al successivo.

Considera la successione con radicali $c_n = \sqrt{n+5}$. Dimostra che è strettamente crescente. Per evitare di lavorare direttamente con disuguaglianze di radici, moltiplica e dividi l'espressione $c_{n+1} - c_n$ per la sua espressione coniugata.

Trova l'intervallo di valori di $x \in \mathbb{R}$ per i quali la successione geometrica $a_n = (2x - 1)^n$ è strettamente crescente e a termini esclusivamente positivi.

Per dimostrare che la successione $a_n = \dfrac{2^n}{n + 1}$ è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$, si propongono due diversi percorsi algebrici:

• Metodo 1: Studiare il segno della differenza $a_{n+1} - a_n$.

• Metodo 2: Applicare il criterio del quoziente analizzando se $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.

1. a) Spiega perché è indispensabile verificare che tutti i termini della successione siano strettamente positivi prima di poter applicare validamente il Metodo 2.
2. b) Sviluppa completamente la dimostrazione seguendo entrambi i metodi, semplificando al massimo le espressioni algebriche ottenute in ciascuno di essi.
3. c) Confronta i due procedimenti e giustifica quale dei due risulta più rapido e operativo quando compaiono espressioni esponenziali come $2^n$.

Terna monitora l'immissione di potenza solare fotovoltaica nella rete nazionale. Un modello di previsione per la potenza cumulata installata in una regione nei prossimi semestri ($n \geq 1$) è dato, in gigawatt ($\text{GW}$), dal termine generale $P_n = \dfrac{12n + 5}{2n + 9}$.

1. a) Dimostra analiticamente che la potenza cumulata sarà strettamente crescente in tutti i semestri provando che $P_{n+1} - P_n > 0$ per ogni $n \geq 1$.
2. b) Una relazione tecnica afferma che, poiché la potenza cresce sempre da un semestre al successivo, con il passare degli anni verranno superati con certezza i $7\text{ GW}$. Usa le tue conoscenze sul comportamento di questa successione per confermare o smentire con ragionamento tale affermazione.
3. c) Calcola l'incremento di potenza tra il primo e il secondo semestre ($P_2 - P_1$) e confrontalo con l'incremento tra il decimo e l'undicesimo ($P_{11} - P_{10}$). Interpreta che cosa significa in pratica che la successione cresca ma la differenza tra termini consecutivi sia sempre minore.

Dimostra che la successione razionale $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (supponendo che $r > 0$ e $rn+s > 0$ per ogni $n \geq 1$) è strettamente crescente se e solo se vale la condizione $ps - qr > 0$.

Analizza la crescita della successione $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, dove $k$ è un numero reale. Dimostra che la successione è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$ se e solo se il parametro $k$ soddisfa la condizione $k < 2$.

In un processo di riscaldamento industriale, la temperatura di una lega metallica al minuto $n$ segue la legge $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ in gradi Celsius. Dimostra matematicamente che la temperatura è strettamente crescente. Dal grafico, deduci se la successione è limitata superiormente.

Data la successione definita come somma parziale $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Giustifica in modo analitico perché questa successione è strettamente crescente e deduci se la differenza tra termini consecutivi aumenta o diminuisce man mano che $n$ diventa molto grande.

Dimostra che la successione di termine generale $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ è strettamente crescente. Suggerimento: moltiplica e dividi per l'espressione coniugata prima di analizzare la differenza $a_{n+1} - a_n$.

Studia la monotonia della successione $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Dimostra che non è strettamente crescente per ogni $n$, indicando da quale termine specifico inizia a decrescere strettamente.

Una rete di server registra il tempo medio di latenza (in millisecondi) mediante la successione per ricorrenza $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sapendo che tutti i termini generati sono positivi e strettamente minori di $3$, dimostra analizzando il segno di $u_{n+1}^2 - u_n^2$ che la successione è strettamente crescente.

Sia data la successione $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sapendo che questa successione modellizza la crescita del capitale con interesse composto al 100% annuo e $n$ periodi di capitalizzazione (il cui limite descrive la capitalizzazione continua), calcola i suoi primi tre termini per verificare empiricamente che cresce. Poi imposta l'inizio della dimostrazione generale sviluppando il binomio di Newton per $a_n$ e $a_{n+1}$.

Costruisci una successione razionale della forma $a_n = \dfrac{a\cdot n + b}{n + 3}$ (dove $a$ e $b$ sono numeri interi fissati) che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il suo primo termine è negativo: $a_1 = -1$.

2. È strettamente crescente per ogni $n \geq 1$.

3. Nessun termine della successione raggiunge né supera il valore $4$ (cioè $a_n < 4$ per ogni $n \geq 1$).

Per risolvere:

1. a) Traduci ciascuna delle tre condizioni in relazioni o disequazioni algebriche che coinvolgano i parametri $a$ e $b$.
2. b) Ricava l'insieme dei valori interi ammissibili per $a$ e scegli una coppia concreta $(a, b)$ che soddisfi tutte le condizioni imposte, scrivendo il termine generale definitivo della tua successione.
3. c) Dimostra con rigore formale, a partire dallo studio algebrico della differenza $a_{n+1} - a_n$, che la successione che hai costruito è effettivamente strettamente crescente per ogni $n \geq 1$.

Carlo cerca di dimostrare che la successione con radicali $a_n = \sqrt{n^2 + 5n} - n$ è strettamente crescente per ogni $n \geq 1$. Per studiare la differenza $a_{n+1} - a_n$, imposta:

$a_{n+1} - a_n = \left(\sqrt{(n+1)^2 + 5(n+1)} - (n+1)\right) - \left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right) = \sqrt{n^2 + 7n + 6} - \sqrt{n^2 + 5n} - 1$.

Non sapendo come giustificare il segno di questa espressione, decide di elevare al quadrato ciascun addendo separatamente e scrive:

$(\sqrt{n^2 + 7n + 6})^2 - (\sqrt{n^2 + 5n})^2 - 1^2 = (n^2 + 7n + 6) - (n^2 + 5n) - 1 = 2n + 5$.

Poiché $2n + 5 > 0$ per ogni $n \geq 1$, conclude che la successione è strettamente crescente.

1. a) Spiega in dettaglio l'errore algebrico commesso da Carlo e mostra con un semplice esempio numerico perché l'operazione che ha eseguito non conserva né il segno né l'ordine di una sottrazione di termini.
2. b) Correggi l'esercizio dimostrando rigorosamente che la successione è strettamente crescente. Per farlo, riscrivi il termine generale $a_n$ moltiplicando e dividendo per la sua espressione coniugata, e deduci da tale frazione che $a_{n+1} > a_n$ per ogni $n \geq 1$.
3. c) Stabilisci per via analitica se esiste un maggiorante per questa successione e trova il più piccolo numero intero $M$ che soddisfi $a_n < M$ per ogni $n \geq 1$.