Esercizi: Sistemi di tre equazioni in tre incognite

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari, già ridotto a scala, utilizzando il metodo di sostituzione all'indietro:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Applica il metodo di Gauss per ridurre a scala e risolvere il seguente sistema di equazioni:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Verifica se la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ è soluzione del seguente sistema. Giustifica la tua risposta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

La somma di tre numeri è $12$. Il primo più il secondo fanno $7$. Il secondo più il terzo fanno $9$. Imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite e determina il valore di tali numeri.

Riduci a scala il seguente sistema mediante il metodo di Gauss e indica se è un sistema impossibile (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Risolvi il seguente sistema in cui in ogni equazione manca un'incognita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Applica il metodo di Gauss al seguente sistema e verifica che si tratta di un sistema indeterminato (SCI) ottenendo un'equazione del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Scrivi un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite la cui unica soluzione sia la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

Marco sta risolvendo un sistema di tre equazioni in tre incognite e, dopo aver applicato correttamente le prime trasformazioni del metodo di Gauss, arriva al seguente sistema a scala:

Sul suo quaderno, Marco conclude quanto segue:

«Poiché l'ultima riga è $0z = 0$, ricavo e ottengo $z = \frac{0}{0} = 0$. Sostituendo nella seconda riga risulta $y + 3\cdot 0 = 4 \implies y = 4$. Infine, nella prima riga resta $x + 2\cdot 4 - 0 = 5 \implies x = -3$. Quindi il sistema è determinato e la sua unica soluzione è la terna $(-3, 4, 0)$».

Individua l'errore concettuale commesso da Marco nell'interpretare la riga $0z = 0$, spiega in dettaglio perché la sua deduzione è matematicamente scorretta e correggi l'esercizio: classifica il sistema in modo appropriato e trova l'espressione generale di tutte le sue soluzioni in funzione di un parametro reale $\lambda$.

Progetta un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ($x$, $y$, $z$) che soddisfi contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Deve essere già in forma a scala (triangolare), in modo da poter essere risolto direttamente per sostituzione all'indietro senza bisogno di trasformazioni preliminari.

2. Nessuno dei coefficienti delle incognite né dei termini noti può essere uguale a $0$ né a $1$.

3. La sua unica soluzione deve essere esattamente la terna $(2, -1, 3)$.

Spiega in modo motivato il procedimento inverso che segui per costruire ciascuna equazione, dal basso verso l'alto (iniziando dalla terza e finendo con la prima), e verifica formalmente che il tuo sistema conduce a tale soluzione.

In un bar si vendono tre tipi di panini: al prosciutto, al formaggio e alla frittata. Un gruppo di amici ordina $3$ al prosciutto, $2$ al formaggio e $1$ alla frittata, pagando $14$ euro. Un altro gruppo ordina $2$ al prosciutto, $1$ al formaggio e $3$ alla frittata, pagando $13$ euro. Un terzo gruppo ordina $1$ al prosciutto, $3$ al formaggio e $2$ alla frittata, pagando $15$ euro. Imposta e risolvi un sistema per calcolare il prezzo di ciascun tipo di panino.

L'età di un nonno, di suo figlio e di suo nipote somma $120$ anni. Il nonno ha esattamente il doppio degli anni del figlio. Inoltre, il figlio ha $30$ anni più del nipote. Determina l'età di ciascuno impostando un sistema di tre equazioni.

Risolvi il seguente sistema indeterminato ed esprimi le sue infinite soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

In una partita di basket, un giocatore ha segnato in totale $15$ canestri, ottenendo $30$ punti. Sapendo che il numero di canestri da due punti è il triplo di quello dei canestri da tre punti, e che ha segnato anche tiri liberi (che valgono un punto), imposta un sistema di equazioni per scoprire quanti canestri di ciascun tipo ha realizzato.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari che contiene coefficienti frazionari. Semplifica le equazioni prima di applicare il metodo di Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Trova i valori del parametro $k$ per cui il seguente sistema è impossibile:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Tre macchine A, B e C fabbricano pezzi in un'industria. Lavorando insieme, la macchina A e la B fabbricano $50$ pezzi all'ora. La macchina B e la C fabbricano insieme $70$ pezzi all'ora. Infine, la macchina A e la C fabbricano insieme $60$ pezzi all'ora. Calcola quanti pezzi all'ora fabbrica ciascuna macchina singolarmente.

In un triangolo, la somma dei suoi tre angoli interni $A$, $B$ e $C$ è $180^{\circ}$. L'angolo $A$ è uguale alla somma degli angoli $B$ e $C$. Inoltre, l'angolo $B$ è il doppio dell'angolo $C$. Imposta un sistema di tre equazioni e determina la misura dei tre angoli.

Per risolvere il seguente sistema di equazioni lineari:

due studentesse propongono strategie iniziali diverse:

• Strategia di Marta (Gauss diretto): Mantenere l'ordine delle equazioni e utilizzare direttamente la prima riga ($3x - y + 2z = 7$) come riga pivot per annullare la colonna delle $x$.

• Strategia di Irene (Gauss con pivot unitario): Scambiare preliminarmente la prima e la seconda equazione in modo che il coefficiente di $x$ nella riga pivot sia $1$, e da lì eseguire le combinazioni lineari per annullare i termini in $x$ delle altre due righe.

Analizza in modo motivato i vantaggi e gli svantaggi di ciascuna strategia (considerando la comparsa di coefficienti frazionari e la probabilità di commettere errori di calcolo). Giustifica quale delle due opzioni risulta più conveniente e applicala passo dopo passo fino a ridurre a scala il sistema e trovarne la soluzione.

Un'azienda di spedizioni urgenti a Napoli rinnova la propria flotta di consegna acquistando in totale $20$ veicoli tra tre tecnologie a basse emissioni: furgoni elettrici puri ($x$), furgoni ibridi plug-in ($y$) e furgoni a gas naturale compresso ($z$). Si dispone delle seguenti informazioni sull'acquisto:

• Il costo medio di acquisto è di $45\,000$ € per ogni furgone elettrico, $35\,000$ € per ogni ibrido e $25\,000$ € per ogni furgone a gas, per un investimento totale di $670\,000$ €.

• Per politica ambientale interna, il numero di furgoni elettrici acquistati deve coincidere esattamente con la somma del numero di ibridi più il doppio di quelli a gas naturale.

Imposta il sistema di tre equazioni lineari in tre incognite che modellizza la situazione, risolvilo applicando il metodo di eliminazione di Gauss e interpreta il risultato indicando se la soluzione ottenuta è accettabile e quanti veicoli di ciascun tipo compongono la nuova flotta.

Discuti il seguente sistema di equazioni al variare del parametro $m$. Indica per quali valori di $m$ il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La somma delle tre cifre di un numero è $15$. Se si inverte l'ordine delle cifre, il numero risultante è maggiore di $198$ unità rispetto al numero originale. Inoltre, la cifra delle decine è la media aritmetica delle cifre delle centinaia e delle unità. Trova il numero originale. (Nota: un numero di tre cifre $c$, $d$, $u$ ha valore $100c + 10d + u$).

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineare effettuando un opportuno cambio di variabile (ad esempio, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Geometricamente, un'equazione lineare in tre incognite rappresenta un piano nello spazio. Osserva la seguente rappresentazione grafica in cui tre piani si intersecano lungo un'unica retta, formando un fascio di piani.

Dato il sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcola il valore di $k$ affinché i tre piani si intersechino in un'unica retta (sistema indeterminato con un grado di libertà) ed esprimi l'equazione parametrica di tale retta di intersezione.

Un'azienda di trasporti acquista tre tipi di veicoli: furgoni, camion leggeri e camion pesanti. Si sa che il numero totale di veicoli acquistati è $30$. Il costo di ogni furgone è di $20.000$ euro, quello di ogni camion leggero $30.000$ euro e quello di ogni camion pesante $50.000$ euro. Se l'investimento totale è stato di $850.000$ euro, imposta il sistema e dimostra che è un sistema indeterminato. Poi trova tutte le possibili soluzioni intere sapendo che l'azienda ha comprato almeno un veicolo di ciascun tipo.

Si dispone di tre leghe di argento, rame e zinco. La prima contiene il $10\%$ di argento, il $70\%$ di rame e il $20\%$ di zinco. La seconda contiene il $30\%$ di argento, il $40\%$ di rame e il $30\%$ di zinco. La terza contiene il $20\%$ di argento, il $50\%$ di rame e il $30\%$ di zinco. Vogliamo ottenere $100$ kg di una nuova lega che contenga esattamente il $22\%$ di argento e il $52\%$ di rame. Imposta il sistema di equazioni per calcolare quanti chilogrammi di ciascuna lega dobbiamo mescolare e risolvilo.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il seguente sistema di equazioni sia indeterminato:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Dimostra algebricamente che se un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ammette due soluzioni distinte, ad esempio $S_{1} = (1, 0, 0)$ e $S_{2} = (0, 1, 0)$, allora ammette infinite soluzioni. A tal fine, verifica che qualsiasi combinazione lineare della forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ è anch'essa soluzione del sistema.

Una cooperativa vinicola del Piemonte prepara un lotto speciale di $1000$ litri combinando tre varietà di uva: Nebbiolo ($x$), Barbera ($y$) e Grignolino ($z$). I costi di vinificazione sono di $4$ € per litro di Nebbiolo, $2$ € per litro di Barbera e $7$ € per litro di Grignolino. Il budget totale assegnato per la produzione dell'intero lotto è di $3900$ €. Inoltre, l'enologo impone come criterio di degustazione che il volume di Nebbiolo debba essere esattamente il doppio della somma dei volumi di Barbera e Grignolino insieme.

1. Stima e delimita: Senza risolvere formalmente il sistema, deduci il volume esatto di Nebbiolo che deve contenere il lotto a partire dal vincolo dell'enologo e dal volume totale. Poi ragiona se è possibile che la varietà più costosa (Grignolino) superi i $200$ litri, confrontando il costo restante con i prezzi di Barbera e Grignolino.

2. Risolvi e verifica: Imposta il sistema lineare $3\times 3$, trasformalo in un sistema triangolare mediante il metodo di Gauss e trova i litri necessari di ciascuna varietà. Verifica se i valori ottenuti coincidono con le tue deduzioni iniziali e se la soluzione ottenuta ha senso fisico per l'enologo.

Considera il seguente sistema di equazioni lineari nelle incognite $x$, $y$, $z$, in cui intervengono due parametri reali $k$ e $m$:

Ciascuna di queste tre equazioni rappresenta un piano nello spazio tridimensionale.

1. Applica il metodo di riduzione di Gauss fino a trasformare il sistema in uno a scala in cui l'ultima equazione abbia la forma $a(k)\cdot z = b(m)$, dettagliando chiaramente ogni operazione elementare tra righe.

2. Determina i valori numerici che devono assumere i parametri $k$ e $m$ affinché i tre piani si intersechino in una retta comune (sistema indeterminato). Per tali valori, trova la soluzione generale in funzione di un parametro $\lambda$.

3. Determina in modo motivato quale condizione devono soddisfare $k$ e $m$ affinché il sistema sia impossibile. In quel caso, i tre piani possono intersecarsi in un unico punto? Giustifica la tua risposta collegando il risultato algebrico ottenuto nell'ultima riga con l'interpretazione geometrica dei piani.