Esercizi: Metodi di risoluzione

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di riduzione:

$3x - 2y = 7$

$5x + 4y = 8$

Trova il valore delle incognite $x$, $y$, $z$ nel seguente sistema di equazioni lineari, già in forma a scala:

$2x - y + 3z = 14$

$3y - z = 5$

$2z = 8$

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari utilizzando il metodo di sostituzione:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 10$

Trova la soluzione del seguente sistema di equazioni che coinvolge espressioni con radicali:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

$x - y = 5$

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali esprimendo entrambi i membri di ciascuna equazione come potenze della stessa base:

$2^{x+y} = 32$

$3^{x-y} = 9$

Applica la definizione di logaritmo per impostare un sistema lineare equivalente e risolvi il seguente sistema di equazioni:

$\log_2(x + y) = 3$

$x - 2y = 2$

Un agricoltore ha raccolto $500$ kg di frutta tra mele e pere. Sapendo che il triplo dei chili di mele equivale esattamente al doppio dei chili di pere, imposta e risolvi un sistema di equazioni lineari per determinare quanti chili di ciascun tipo di frutta ha raccolto.

Applica il metodo di Gauss per trasformare e risolvere il seguente sistema di tre equazioni lineari in tre incognite:

$x + y + z = 6$

$x - y + 2z = 5$

$x + y - z = 0$

Matteo risolve il seguente sistema di equazioni mediante un cambio di variabile:

Per farlo, definisce $u = \dfrac{1}{x}$ e $v = \dfrac{1}{y}$, trasformandolo in un sistema lineare. Dopo aver applicato il metodo di riduzione, calcola in modo impeccabile che $u = 2$ e $v = 1$. Tuttavia, nel passaggio finale conclude: «Poiché $u = 2$ e $v = 1$, la soluzione del sistema originale è $x = 2$ e $y = 1$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Matteo nella sua deduzione finale.
2. b) Annulla correttamente il cambio di variabile e trova la soluzione reale $(x, y)$ del sistema.
3. c) Verifica numericamente la soluzione ottenuta sostituendola nelle due equazioni del sistema originale.

Osserva il seguente sistema di equazioni esponenziali:

Due studenti propongono strade diverse per affrontarlo:

• Lucia propone di ricavare direttamente $3^y$ nella prima equazione ($3^y = 2^{x+1} - 1$) e di sostituire tale espressione nella seconda equazione, applicando che $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$.

• Marco propone di applicare prima le proprietà delle potenze per riscrivere il sistema come $2 \cdot 2^x - 3^y = 1$ e $2^x + 3 \cdot 3^y = 11$, introdurre le variabili ausiliarie $u = 2^x$ e $v = 3^y$, e risolvere il sistema lineare risultante per riduzione.

1. a) Confronta i due procedimenti analizzandone la difficoltà algebrica. Quale dei due metodi riduce al minimo il rischio di commettere errori con le proprietà delle potenze? Giustifica la tua risposta.
2. b) Risolvi il sistema usando il metodo che hai ritenuto più conveniente e determina i valori di $x$ e $y$.

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss e indica se è un sistema determinato:

$2x - y + 3z = 1$

$x + 2y - z = 4$

$4x - y + z = 2$

Trova tutte le soluzioni del seguente sistema di equazioni non lineari, in cui entrambe le equazioni sono di secondo grado:

$x^2 + y^2 - 4x = 5$

$x^2 - y^2 - 4x = -3$

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali effettuando i cambi di variabile $u = 3^x$ e $v = 2^y$:

$3^x + 2^{y+1} = 17$

$3^{x-1} - 2^y = 1$

Trova il valore di $x$ e $y$ nel seguente sistema di equazioni logaritmiche, applicando prima le proprietà dei logaritmi per semplificare le espressioni:

$\log(x) + \log(y) = 2$

$\log(x^2) - \log(y) = 1$

In un laboratorio chimico si vogliono ottenere $100$ litri di una soluzione di acido al $30\%$. Per farlo si mescolano due soluzioni disponibili in magazzino: una con concentrazione $20\%$ e un'altra al $45\%$. Imposta e risolvi un sistema di equazioni lineari per calcolare quanti litri di ciascuna soluzione si devono usare.

Il perimetro di un terreno rettangolare misura $140$ m e la lunghezza della sua diagonale è $50$ m. Imposta un sistema di equazioni non lineari che descriva la situazione e risolvilo per determinare le dimensioni del terreno.

Un'azienda tecnologica assembla tre tipi di droni: A, B e C. In totale produce $60$ droni al mese. Il numero di droni di tipo A è il doppio di quelli di tipo C, e la somma dei droni di tipo B e C supera di $12$ quelli di tipo A. Imposta un sistema di tre equazioni in tre incognite e risolvilo mediante il metodo di Gauss.

Risolvi il seguente sistema di equazioni che contiene frazioni algebriche, indicando chiaramente le condizioni di esistenza sulle incognite:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$

$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Considera il seguente sistema non lineare con radicali:

1. a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata della soluzione:

• Deduci algebricamente perché $x$ deve essere strettamente maggiore di $5$ e al tempo stesso minore di $49$.

• Sapendo dal sistema che $x + \sqrt{x} = 12$, stima il valore esatto o approssimato di $x$ provando semplici quadrati perfetti che rispettino tale limitazione. Quale valore stimato corrisponde a $y$?

1. b) Risolvi algebricamente il sistema per sostituzione o mediante il cambio di variabile $u = \sqrt{x}$.
2. c) Verifica nel sistema originale tutte le soluzioni algebriche ottenute, determina se qualcuna di esse è falsa e valuta se il risultato finale coincide con la tua stima iniziale.

Un'azienda di logistica di consegne nell'area metropolitana di Napoli decide di rinnovare la propria flotta acquistando furgoni elettrici e furgoni ibridi plug-in rientranti nel piano di incentivi. In una prima fase acquista $3$ furgoni elettrici e $4$ ibridi per un importo totale di $230\,000$ €. In una seconda fase, approfittando di una campagna promozionale in cui il produttore riduce del $10\,\%$ il prezzo di ogni furgone elettrico e del $5\,\%$ quello di ogni furgone ibrido, l'azienda compra $2$ elettrici e $5$ ibridi con una spesa di $202\,625$ €.

1. a) Modellizza la situazione impostando un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Definisci con precisione cosa rappresenta ciascuna incognita e specificane le unità.
2. b) Risolvi il sistema con il metodo che ritieni più idoneo (sostituzione, confronto o riduzione) per determinare il prezzo originale di ciascun tipo di veicolo prima degli sconti.
3. c) Se l'azienda dispone di un residuo di bilancio di $105\,000$ €, avrà abbastanza per acquistare un furgone elettrico e due ibridi ai prezzi scontati della seconda fase? Giustifica quantitativamente la tua risposta.

Discuti il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro $k$:

$x + 2y = 5$

$3x + ky = 15$

Trova il valore di $k$ per il quale il sistema ha infinite soluzioni ed esprimi la soluzione generale in funzione di un parametro reale $\lambda$.

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite mediante il metodo di Gauss. Verifica che si tratta di un sistema indeterminato ed esprimi il suo insieme di soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:

$x - 2y + z = 3$

$2x + y - 3z = 1$

$4x - 3y - z = 7$

Analizza il seguente sistema di equazioni lineari e dimostra, utilizzando le trasformazioni del metodo di Gauss, che è un sistema impossibile:

$x + y + z = 4$

$2x - y + 3z = 5$

$3x + 4z = 10$

Risolvi il seguente sistema misto che combina un'equazione esponenziale e un'equazione logaritmica:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$

Un investitore ripartisce un capitale totale di $50000$ € tra tre fondi di investimento: azionario, obbligazionario e titoli di Stato. Il fondo azionario offre un rendimento annuo del $8\%$, quello obbligazionario del $5\%$ e i titoli di Stato del $3\%$. L'investitore decide di destinare all'obbligazionario il doppio del capitale destinato ai titoli di Stato. Se dopo un anno i guadagni totali ammontano a $2900$ €, quanto denaro ha investito in ciascun fondo? Imposta il sistema corrispondente e risolvilo con il metodo di Gauss.

Due ciclisti partono contemporaneamente da due città A e B, distanti $120$ km, e procedono in sensi opposti per incontrarsi. Il ciclista che parte da A viaggia a una velocità costante che supera di $5$ km/h quella del ciclista che parte da B. Sapendo che si incrociano esattamente dopo $3$ ore, imposta un sistema di equazioni per trovare la velocità di ciascuno e la distanza percorsa da ciascun ciclista fino al punto d'incontro.

Risolvi il seguente sistema di equazioni non lineari simmetrico. Per facilitare la risoluzione, utilizza il cambio di variabili $S = x + y$ e $P = x \cdot y$:

$x^2 + y^2 = 34$

$x \cdot y = 15$

Determina analiticamente i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 25$ e l'iperbole equilatera di equazione $x \cdot y = 12$. Imposta il sistema non lineare associato, risolvilo illustrando i passaggi e spiega quante soluzioni reali esistono.

Costruisci un sistema di due equazioni in due incognite ($x$ e $y$) che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Una delle equazioni deve essere lineare a coefficienti interi.

2. L'altra equazione deve contenere almeno un radicale con l'incognita $x$ nel radicando, in modo che il sistema non sia lineare.

3. Risolvendo il sistema isolando e elevando al quadrato per eliminare la radice, deve generarsi un'equazione quadratica le cui soluzioni algebriche siano le coppie $(4, 3)$ e $(9, -2)$.

4. La coppia $(4, 3)$ deve essere l'unica soluzione reale e valida del sistema originale, mentre la coppia $(9, -2)$ deve essere una soluzione falsa o estranea generata esclusivamente dall'elevamento al quadrato.

Mostra passo passo la costruzione di entrambe le equazioni, risolvi il sistema completo che hai creato giustificando dove e perché compare la soluzione falsa, e spiega perché elevare al quadrato non è una trasformazione di equivalenza rigorosa delle equazioni.

Si propone di risolvere il seguente sistema di equazioni logaritmiche nel campo dei numeri reali:

Due studenti sostengono strategie di partenza diverse:

• Sara applica direttamente la proprietà del logaritmo di una potenza, scrive $\log(x^2) = 2\log(x)$ e imposta il cambio di variabile $u = \log(x)$, $v = \log(y)$, ottenendo così soltanto la soluzione $(x, y) = (10\sqrt{10}, 10)$.

• Davide sostiene che applicare quella proprietà in questo sistema specifico riduce il dominio di validità e fa perdere soluzioni reali. Propone di mantenere intatto il blocco $\log(x^2)$ e di applicare il cambio $u = \log(x^2)$, $v = \log(y)$.

1. a) Determina il dominio di definizione delle variabili $x$ e $y$ nel sistema originale e spiega con rigore matematico perché il passaggio di Sara non è una trasformazione di equivalenza in tutto tale dominio.
2. b) Risolvi il sistema seguendo l'impostazione di Davide fino a trovare tutte le soluzioni reali esatte.
3. c) Concludi quante soluzioni reali ha il sistema originale e scrivi la relazione generale corretta tra $\log(x^2)$ e $\log|x|$ per evitare questo tipo di errori al liceo.