Esercizi: Problemi di sistemi

In una ferramenta, un cliente compra $4$ viti e $3$ dadi per un totale di $2,10$ €. Un altro cliente compra $2$ viti e $5$ dadi per $1,75$ €. Imposta un sistema di equazioni lineari e calcola il prezzo di ciascun articolo.

Un albergo sulla costa dispone di camere doppie e singole. In totale ci sono $50$ camere e $87$ letti. Supponendo che tutte le camere siano al completo, quante camere di ciascun tipo ha l'albergo?

La somma di due numeri interi è $54$ e la loro differenza è $12$. Imposta un sistema di equazioni e calcola il valore di entrambi i numeri.

In una fattoria didattica ci sono galline e mucche. Se si contano le teste degli animali, ce ne sono in tutto $45$; se si contano le zampe, ce ne sono $140$. Quanti animali di ciascun tipo ci sono nella fattoria?

L'età attuale di un padre è il triplo di quella del figlio. Tra $10$ anni, l'età del padre sarà esattamente il doppio di quella del figlio. Determina le età attuali di entrambi.

Il perimetro di un terreno rettangolare misura $130$ metri. Si sa che la lunghezza del terreno misura $15$ metri più della larghezza. Imposta un sistema di equazioni e determina le dimensioni del terreno.

Un compito di matematica consta di $30$ domande. Per ogni risposta corretta si sommano $5$ punti e per ogni risposta errata o lasciata in bianco si sottraggono $2$ punti. Uno studente ha ottenuto $94$ punti in totale. A quante domande ha risposto correttamente?

In una cantina si mescolano due tipi di vino, uno da $4$ €/litro e uno da $5,50$ €/litro, per ottenere una botte da $300$ litri di miscela che sarà venduta a $4,60$ €/litro. Quanti litri di ciascun tipo di vino sono stati utilizzati per fare la miscela?

In un problema di età si presenta la seguente situazione: «Carlo ha attualmente il triplo dell'età di suo nipote Matteo. Tra $6$ anni, l'età di Carlo sarà il doppio di quella che avrà allora Matteo». Per risolverlo, Lucia scrive nel suo compito il seguente sistema di equazioni, dove $x$ rappresenta l'età attuale di Carlo e $y$ quella di Matteo:

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia nella seconda equazione e spiega con parole tue perché quell'espressione non traduce fedelmente il testo.
2. b) Correggi l'impostazione scrivendo il sistema corretto e risolvilo con il metodo di sostituzione.
3. c) Verifica che le età ottenute soddisfano punto per punto le due condizioni temporali del testo.

Un frantoio di Bari vuole preparare $100$ litri di una miscela di olio da commercializzare a un prezzo finale di $6,80$ €/l. Dispone di olio extravergine di oliva a $8,00$ €/l e di olio vergine di oliva a $5,00$ €/l.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo esatto, fai una stima qualitativa e motivata: serviranno più litri di extravergine o di vergine per ottenere quel prezzo medio? Argomenta la tua congettura confrontando le differenze di prezzo.
2. b) Imposta un sistema di due equazioni lineari in due incognite ($x$ litri di extravergine e $y$ litri di vergine) che modellizzi la miscela.
3. c) Risolvi il sistema e confronta la soluzione ottenuta con la stima fatta nel punto a) per valutare se il risultato è coerente.

In un negozio di articoli sportivi si vendono palloni da calcio, da basket e da pallavolo. Il prezzo di un pallone da calcio è di $25$ €, quello da basket $30$ € e quello da pallavolo $20$ €. Una società ha acquistato $40$ palloni per un totale di $1030$ €. Sapendo che il numero di palloni da calcio acquistati è uguale alla somma di quelli da basket e da pallavolo, imposta un sistema di tre equazioni e determina quanti palloni di ciascuno sport sono stati acquistati.

Una famiglia destina una parte delle proprie entrate mensili al pagamento del mutuo e un'altra parte all'alimentazione. Il mese scorso la somma di queste due spese è stata di $1200$ €. Questo mese la rata del mutuo è aumentata del $5\%$ e la spesa per l'alimentazione è diminuita del $10\%$, con una spesa totale per queste due voci di $1170$ €. Imposta un sistema di equazioni per calcolare quanto hanno speso per ciascuna voce il mese scorso.

Le dimensioni di un campo da gioco rettangolare sono tali che la sua area è di $6000$ m² e la lunghezza della sua diagonale è $130$ m. Imposta un sistema di equazioni non lineare per calcolare la lunghezza e la larghezza del campo.

La somma delle tre cifre di un numero è $12$. La cifra delle decine è la media aritmetica delle altre due. Se si inverte l'ordine delle cifre, il numero risultante è maggiore di $198$ unità rispetto all'originale. Imposta un sistema di equazioni e scopri di quale numero si tratta.

Due rubinetti riempiono una vasca in $6$ ore se vengono aperti contemporaneamente. Se il primo rubinetto impiega $5$ ore in meno del secondo per riempire la vasca da solo, imposta un sistema di equazioni (che includerà frazioni algebriche) per determinare quanto tempo impiegherebbe ciascun rubinetto a riempirla singolarmente.

In un laboratorio di chimica si dispone di tre soluzioni di uno stesso acido con concentrazioni del $10\%$, $20\%$ e $40\%$. Si vogliono ottenere $100$ ml di una nuova soluzione al $25\%$. Se si utilizza lo stesso volume della soluzione al $10\%$ e di quella al $20\%$, quale volume di ciascuna soluzione si deve mescolare?

Un ciclista compie un percorso di andata e ritorno tra due paesi distanti $d$. All'andata, con il vento a favore, procede a una velocità costante di $30$ km/h. Al ritorno, con il vento contrario, procede a $20$ km/h. Se il tempo totale impiegato nell'intero percorso di andata e ritorno è di $2,5$ ore, imposta un sistema di equazioni e trova la distanza tra i due paesi e il tempo impiegato in ciascun tratto.

Un'azienda ripartisce i suoi utili annuali tra i suoi tre soci A, B e C. Il socio A riceve il doppio del socio B, e il socio C riceve $4000$ € in più del socio B. Se l'utile totale da ripartire è di $52000$ €, imposta un sistema di tre equazioni lineari e calcola la somma che riceve ciascun socio.

Un piccolo panificio artigianale a Viterbo analizza la sua bolletta elettrica settimanale suddivisa nelle tre fasce della tariffa regolata: punta ($0,24$ €/kWh), intermedia ($0,15$ €/kWh) e fuori punta ($0,10$ €/kWh). Il contatore ha registrato un consumo totale di $1200$ kWh e l'importo fatturato per la componente energia è stato di $167$ €. Per massimizzare il risparmio tramite la cottura notturna, il panificio ha organizzato la produzione in modo che il consumo nella fascia fuori punta fosse esattamente il doppio della somma dei consumi di punta e intermedia combinati.

1. a) Imposta un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite che raccolga tutte le informazioni.
2. b) Risolvi il sistema applicando in modo ordinato il metodo di Gauss.
3. c) Determina quanti kWh sono stati consumati in ciascuna fascia e valuta in modo motivato se il panificio è riuscito a concentrare la maggior parte della spesa nella fascia più economica.

Un terreno comunale rettangolare in un comune della provincia di Cuneo ha un perimetro di $140\text{ m}$. L'amministrazione comunale progetta un riassetto del terreno: se si diminuisce la sua lunghezza di $6\text{ m}$ e contemporaneamente si aumenta la sua larghezza di $2\text{ m}$, la superficie totale del fondo non subisce alcuna variazione.

1. a) Imposta il sistema di due equazioni che descrive il problema chiamando $x$ la lunghezza iniziale e $y$ la larghezza iniziale. Semplifica algebricamente l'equazione delle aree e spiega perché, nonostante il prodotto di variabili $x \cdot y$, il sistema risultante è lineare.
2. b) Una volta ridotto il sistema alla forma $\begin{cases} x + y = 70 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$, confronta due metodi algebrici di risoluzione (ad esempio, riduzione e sostituzione) e giustifica quale è più diretto e meno soggetto a errori in questo caso.
3. c) Risolvi il sistema con il metodo che hai scelto, trova le dimensioni originali e verifica che la modifica proposta mantenga invariata l'area.

Un'azienda produce tre modelli di computer: base, intermedio e avanzato. La produzione giornaliera totale è di $400$ unità. Il costo di fabbricazione è di $300$ € per il base, $500$ € per l'intermedio e $800$ € per l'avanzato, con un costo totale giornaliero di $195000$ €. Se l'azienda decide di aumentare la produzione del modello base del $20\%$ e di ridurre quella del modello avanzato del $10\%$, la produzione totale aumenterebbe di $15$ unità. Imposta un sistema di equazioni in tre incognite e determina la produzione iniziale di ciascun modello.

Determina le misure dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che il suo perimetro è di $60$ cm e che l'altezza relativa all'ipotenusa misura $12$ cm. Imposta un sistema di equazioni non lineare in tre incognite (cateti e ipotenusa) per risolverlo.

In una competizione sportiva, le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo assegnano rispettivamente $5$, $3$ e $1$ punto. Una squadra ha conquistato un totale di $25$ medaglie e $75$ punti. Sapendo che il numero di medaglie d'argento supera di $1$ il numero di medaglie d'oro, imposta un sistema di equazioni e scopri quante medaglie di ciascun tipo ha vinto la squadra.

Due treni partono contemporaneamente da due stazioni A e B distanti $450$ km, viaggiando su binari paralleli in sensi opposti. Si incrociano dopo $3$ ore. Se il treno che parte da A fosse partito $1$ ora prima del treno di B, si sarebbero incrociati a $306$ km dalla stazione A. Imposta un sistema di equazioni per calcolare le velocità costanti dei due treni.

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un foglio rettangolare di cartone, ritagliando quadrati di $5$ cm di lato in ogni angolo e piegando i bordi verso l'alto. La lunghezza del foglio originale è il doppio della larghezza. Se il volume della scatola risultante deve essere di $1500$ cm³, imposta l'equazione o il sistema necessario e determina le dimensioni del foglio di cartone originale.

Un sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro $k$ modellizza la distribuzione di veicoli su tre percorsi alternativi $x$, $y$, $z$:

$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $

Determina per quali valori del parametro $k$ il modello ha una soluzione unica, infinite soluzioni o nessuna soluzione, e interpreta che cosa significhi fisicamente che il sistema risulti impossibile.

Un agricoltore vuole recintare un campo di forma rettangolare che confina con un fiume rettilineo, per cui non ha bisogno di mettere la recinzione sul lato del fiume. Dispone di esattamente $400$ metri di recinzione. Sapendo che l'area recintata deve essere di $20000$ m², imposta un sistema di equazioni per trovare le dimensioni del campo e discuti in modo motivato se il problema ha una soluzione unica.

Una lega è composta da oro, argento e rame. Il peso totale di un pezzo di questa lega è di $120$ grammi. Si sa che il peso di oro e argento insieme supera di $40$ grammi il peso del rame. Immergendo il pezzo in acqua, esso perde $10$ grammi del suo peso apparente per la spinta idrostatica. Se si sa che la perdita di peso in acqua per l'oro puro è di $1/20$ del suo peso, per l'argento di $1/10$ e per il rame di $1/8$, imposta un sistema di equazioni e calcola quanti grammi di ciascun metallo contiene il pezzo.

Una commissione regionale deve distribuire fondi europei tra tre progetti di innovazione ambientale: $A$, $B$ e $C$. Si sa che l'importo definitivo che ciascuno deve ricevere è di $100000$ € per $A$, $150000$ € per $B$ e $250000$ € per $C$. La normativa impone già due relazioni lineari fisse tra i contributi assegnati ($x$, $y$, $z$ in euro):

1) Il budget globale complessivo è di $500000$ € ($x + y + z = 500000$).

2) La dotazione di $C$ deve essere uguale alla somma delle dotazioni di $A$ e $B$ ($x + y - z = 0$).

1. a) Progetta una terza equazione lineare indipendente, con senso pratico nella ripartizione, che metta in relazione gli importi di $A$ e $B$ in modo che il sistema completo abbia come unica soluzione esattamente $(100000, 150000, 250000)$. Giustifica con il metodo di Gauss o con i ranghi perché il sistema risultante è determinato.
2. b) Scrivi una terza equazione diversa che trasformi il sistema in indeterminato. Interpreta quale significato economico avrebbe questa situazione per il margine decisionale della commissione.
3. c) Imposta una terza equazione che renda il sistema impossibile e spiega algebricamente perché questa condizione impedirebbe di eseguire la ripartizione.

Un'azienda di consegne urbane dell'ultimo miglio opera con una flotta totale di $24$ furgoni elettrici di tre capacità di carico: piccoli ($1\text{ m}^3$), medi ($2\text{ m}^3$) e grandi ($4\text{ m}^3$). Il volume totale di carico simultaneo dell'intera flotta è di $56\text{ m}^3$. La direzione logistica sperimenta un criterio organizzativo dipendente da un parametro reale $k$: il numero di furgoni piccoli ($x$) più $k$ volte quello dei medi ($y$) deve essere uguale a quello dei grandi ($z$), cioè $x + k\cdot y - z = 0$.

1. a) Scrivi il sistema di tre equazioni in tre incognite e applica il metodo di Gauss alla matrice completa per ridurlo a scala in funzione del parametro $k$.
2. b) Discuti in modo motivato il numero di soluzioni al variare di $k$, indicando per quale valore il sistema risulta impossibile e per quali determinato.
3. c) Nella pratica reale, il numero di veicoli di ciascun tipo deve essere un intero non negativo ($x, y, z \in \mathbb{N}$). Risolvi il sistema per $k = 1$ e per $k = -1$, e spiega in dettaglio quale dei due casi è logisticamente realizzabile nella realtà e quale risulta fisicamente impossibile pur essendo matematicamente compatibile.