Esercizi: Discussione di sistemi con un parametro

Discuti il seguente sistema di equazioni in funzione del parametro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Determina il valore di $k$ affinché il seguente sistema sia compatibile indeterminato e interpreta geometricamente il risultato:

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $

Calcola per quale valore del parametro $a$ il sistema è incompatibile:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $

Dato il seguente sistema a scala, discuti le sue soluzioni in funzione del parametro $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Trova il valore del parametro $t$ affinché la coppia $(2, -1)$ sia la soluzione del sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $

Discuti il seguente sistema in funzione del parametro $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

Studia la posizione reciproca delle rette $r: 5x + 2y = 1$ e $s: 10x + 4y = k$ in funzione del parametro $k$.

Determina il valore di $c$ affinché il seguente sistema omogeneo abbia infinite soluzioni:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

Studiando il sistema omogeneo $\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x + ky - 2z = 0 \\ x + 4y - 3z = 0 \end{cases}$ in funzione del parametro reale $k$, Lucia afferma ad alta voce: «Se troviamo un valore di $k$ per il quale una riga si annulla nel ridurre a scala, il sistema diventerà incompatibile perché non avrà nessuna soluzione».\na) Senza bisogno di eseguire calcoli algebrici, individua l'errore concettuale di Lucia e spiega perché un sistema omogeneo non può mai essere incompatibile, indicando quale soluzione ha sempre garantita.\nb) Applica il metodo di Gauss alla matrice del sistema per determinare il valore di $k$ che fa sì che il sistema ammetta soluzioni diverse da quella banale. Per tale valore, trova una soluzione particolare non nulla.

Per discutere il sistema lineare dipendente dal parametro $m \in \mathbb{R}$:\n$\begin{cases} (m - 2)x + y + z = 2 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$\ndue studenti propongono due strade diverse per iniziare la riduzione a scala di Gauss:\n- Strategia A (Alberto): mantenere l'ordine originale delle equazioni e prendere $(m - 2)$ come primo pivot, dividendo la prima riga per $(m - 2)$ o moltiplicando le righe inferiori per tale espressione.\n- Strategia B (Berta): riordinare le equazioni scambiando la prima e la seconda riga ($F_1 \leftrightarrow F_2$), in modo che il primo pivot sia il coefficiente $1$ dell'incognita $x$.\na) Confronta le due strategie: quali rischi algebrici e quali ramificazioni inutili introduce la strategia di Alberto che si evitano con quella di Berta? Giustifica quale sia preferibile.\nb) Seguendo la Strategia B, riduci a scala il sistema e trova per quale valore di $m$ il sistema smette di essere compatibile determinato (cioè non ha soluzione unica).

In una fabbrica di componenti elettronici, il costo di produzione di due tipi di microchip è dato da un sistema di equazioni lineari. Se $p$ rappresenta un'imposta variabile sul primo microchip, il sistema è:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discuti il sistema in funzione dell'imposta $p$.

Applica il metodo di Gauss per discutere il seguente sistema in funzione del parametro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Tre strade rettilinee di un nuovo quartiere sono date dalle equazioni di tre rette. Determina il valore del parametro $a$ affinché le tre strade passino per lo stesso punto esatto (cioè che il sistema abbia soluzione unica e confluiscano in un'unica piazza).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discuti il seguente sistema in funzione del parametro $k$ e indica per quali valori il sistema rappresenta due rette incidenti, parallele o coincidenti. Risolvilo per $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

In un esperimento chimico si mescolano tre sostanze. Le condizioni di equilibrio dell'esperimento dipendono da un catalizzatore la cui concentrazione è $c$. Il modello matematico è il seguente sistema omogeneo:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina per quali valori della concentrazione $c$ il sistema ha soluzioni diverse da quella banale ($x=0, y=0, z=0$).

Discuti la compatibilità del seguente sistema in funzione del parametro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $

Un investitore suddivide il suo capitale in tre fondi di investimento. Il rendimento del terzo fondo dipende da un tasso di interesse $r$. Le equazioni che modellano i guadagni sono:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discuti il sistema al variare del tasso $r$.

Trova i valori del parametro $m$ per i quali il seguente sistema di equazioni è impossibile, e risolvilo per $m = 2$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $

Si considerano le equazioni di due piani nello spazio tridimensionale:\n$\pi_1: x + 2y - z = 2$\n$\pi_2: 2x - y + z = 1$\nIl tuo compito consiste nel costruire l'equazione di un terzo piano $\pi_3: ax + by + cz = d$ per soddisfare due obiettivi indipendenti:\na) Scegli valori numerici concreti per $a, b, c$ e $d$ in modo che il sistema formato dai tre piani sia determinato (i tre piani si intersecano in un unico punto). Dimostra mediante il metodo di eliminazione di Gauss che il sistema da te proposto ha soluzione unica e calcola le coordinate di tale punto.\nb) Proponi nuovi valori per $a, b, c$ e $d$ in modo che il sistema sia impossibile (i piani non hanno alcun punto in comune), imponendo la condizione che il piano $\pi_3$ non sia parallelo a $\pi_1$ né a $\pi_2$ (cioè il vettore $(a, b, c)$ non può essere proporzionale a $(1, 2, -1)$ né a $(2, -1, 1)$). Giustifica con Gauss perché il sistema non ha soluzione e interpreta geometricamente la disposizione dei tre piani nello spazio (prisma triangolare).

Una rete di tre stazioni meteorologiche sulle Alpi ($E_1, E_2, E_3$) monitora l'acqua accumulata durante un episodio di piogge. Siano $x, y, z$ i litri per metro quadrato ($\text{l/m}^2$) registrati in $E_1, E_2$ e $E_3$, rispettivamente. Si conoscono i seguenti dati:\n1. La precipitazione totale accumulata tra le tre stazioni è $90\text{ l/m}^2$.\n2. La stazione $E_3$ ha misurato esattamente il doppio di precipitazione della stazione $E_1$.\n3. Il pluviometro della stazione $E_2$ ha subito deviazioni dovute al vento, per cui l'algoritmo di controllo applica la relazione ponderata $x + ky + 2z = 150$, dove $k \in \mathbb{R}$ è un fattore correttivo ambientale.\na) Scrivi il sistema di tre equazioni lineari nelle incognite $x, y, z$ associato al problema.\nb) Applica il metodo di Gauss per ridurre a scala il sistema e discutilo in funzione del parametro $k$. Esiste qualche valore di $k$ per cui i dati risultano contraddittori (sistema impossibile)?\nc) Determina per quale valore del fattore $k$ il sistema risulta indeterminato e spiega quale significato fisico ha tale indeterminazione per il gruppo di meteorologi. Infine, calcola i valori di $x, y, z$ nell'ipotesi che il fattore di calibrazione sia standard ($k = 1$).

Discuti il seguente sistema di equazioni lineari in funzione del parametro $k$, utilizzando il metodo di Gauss. Nel caso in cui sia indeterminato, trova la soluzione generale espressa in funzione di un parametro $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

Nell'analisi di una rete di traffico urbano, il flusso di veicoli all'ora in tre incroci principali è modellato da un sistema di equazioni. A causa di alcuni lavori, una delle strade ha una capacità variabile $m$. Il sistema che regola il flusso è:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discuti il flusso della rete (compatibilità del sistema) per tutti i valori reali di $m$.

Studia la posizione reciproca dei tre piani nello spazio tridimensionale dati dal seguente sistema, in funzione del parametro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $

Un'azienda di logistica distribuisce tre tipi di merci utilizzando una flotta di camion. I vincoli di peso, volume e tempo di consegna generano il seguente sistema di equazioni, dove $t$ è un parametro legato al tempo massimo consentito:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $

Discuti il sistema al variare di $t$ e risolvilo per il caso $t = -2$.

Discuti il seguente sistema in funzione del parametro $\alpha$. Presta particolare attenzione ai valori che annullano i coefficienti principali durante il processo di riduzione di Gauss.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $

In uno studio di dinamica delle popolazioni, l'interazione tra tre specie (predatore, preda e pianta) in stato di equilibrio è descritta dal seguente sistema, dove $\beta$ rappresenta il tasso di consumo della preda da parte del predatore:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina i valori di $\beta$ per i quali l'ecosistema ha un unico punto di equilibrio, infiniti o nessuno.

Considera le tre rette nel piano date dalle equazioni:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discuti la posizione reciproca delle tre rette in funzione del parametro $m$. Osserva il seguente diagramma che illustra la situazione in cui le tre rette si incontrano in un unico punto (fascio di rette concorrenti).

Discuti il seguente sistema di equazioni al variare del parametro $m$ e trova la soluzione quando è indeterminato:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = 0 \end{array} \right. $

Si considera il seguente sistema omogeneo dipendente dal parametro reale $a$, dove ogni equazione rappresenta un piano che contiene l'origine delle coordinate:\n$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + az = 0 \\ 3x + 4y + (a^2 - 1)z = 0 \end{cases}$\na) Stima prima di operare: Senza sviluppare il metodo di Gauss né calcolare determinanti, rispondi in modo motivato:\n - Può esistere qualche valore di $a$ per il quale i tre piani non abbiano alcun punto in comune? Perché?\n - Sapendo che i tre piani non sono paralleli né coincidenti tra loro, quali sono le due sole configurazioni geometriche possibili per la loro intersezione comune?\nb) Calcola e verifica: Riduci a scala il sistema mediante operazioni elementari sulle righe conservando il parametro $a$. Determina i due valori critici di $a$ per i quali il rango della matrice si riduce e il sistema ammette infinite soluzioni.\nc) Interpreta: Per ciascuno dei due valori critici ottenuti nel punto precedente, trova la soluzione generale in funzione di un parametro $\lambda \in \mathbb{R}$ e deduci l'equazione della retta in cui si intersecano i tre piani. Verifica se i risultati concordano con la tua analisi preliminare del punto a).

In una prova di verifica si chiede di discutere la posizione reciproca di tre piani al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$:\n$\pi_1: x + y + z = 1$\n$\pi_2: 2x + 3y + kz = 3$\n$\pi_3: x + ky + 3z = 1$\nMatteo imposta la matrice completa ed esegue le operazioni $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ e $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$, ottenendo:\n$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 & | & 1 \\ 0 & k - 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$\nA partire da questo passaggio, Matteo argomenta:\n«Per rendere nulla la posizione $(3,2)$, dovrei dividere la terza riga per $(k - 1)$; quindi, se $k = 1$, l'operazione non è valida e il sistema diventa impossibile (i piani formano un prisma).\nSe $k \neq 1$, sottraggo alla riga 3 la riga 2 moltiplicata per $(k - 1)$, ottenendo come ultimo pivot $2 - (k - 1)(k - 2) = -k^2 + 3k$. Poiché questo pivot si annulla per $k = 0$ e $k = 3$, concludo che per questi due valori il sistema è indeterminato e i piani si intersecano in una retta; per ogni altro valore di $k$, è determinato e si intersecano in un punto».\nIl tuo compito è valutare il lavoro di Matteo:\na) Individua e spiega i due gravi errori concettuali della sua risoluzione: quello relativo alla supposta impossibilità quando un coefficiente di passaggio si annulla ($k = 1$), e quello commesso nel classificare $k = 0$ e $k = 3$ senza verificare il termine noto della riga risultante.\nb) Sostituisci direttamente $k = 1$ nella matrice intermedia di Matteo e risolvi il sistema risultante con Gauss. Qual è la vera posizione reciproca dei tre piani per $k = 1$?\nc) Svolgi la discussione completa e rigorosa del sistema per ogni $k \in \mathbb{R}$, indicando in modo giustificato il tipo di sistema e la posizione geometrica assunta dai piani in ciascun caso.