Esercizi: Sistemi non lineari

Risolvi il seguente sistema non lineare, che rappresenta l'intersezione tra una parabola e una retta:

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = x - 1$

Trova le soluzioni del seguente sistema formato dall'equazione di una circonferenza e da una retta:

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 7$

Trova i valori di $x$ e $y$ che verificano il seguente sistema:

$xy = 12$

$x - y = 4$

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali, esprimendo entrambe le potenze con la stessa base:

$2^{x+y} = 32$

$2^{x-y} = 2$

Determina la soluzione del sistema logaritmico, applicando le proprietà dei logaritmi:

$\log x + \log y = 1$

$x - y = 3$

Risolvi il seguente sistema che contiene frazioni algebriche:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

$xy = 6$

Risolvi il seguente sistema irrazionale. Assicurati di verificare se la soluzione ottenuta è valida nell'equazione originale:

$\sqrt{x} + y = 5$

$x - y = 1$

La somma di due numeri positivi è $10$ e la somma dei loro quadrati è $58$. Imposta un sistema di equazioni non lineare e risolvilo per trovare tali numeri.

Marco ha risolto alla lavagna il seguente sistema non lineare con radicali:

Il suo svolgimento è stato il seguente:

1.º Ricava $y$ dalla prima equazione: $y = x + 2$.

2.º Sostituisce nella seconda equazione: $\sqrt{x + 4} = x + 2$.

3.º Eleva al quadrato entrambi i membri: $x + 4 = (x + 2)^2 \implies x + 4 = x^2 + 4x + 4$.

4.º Raggruppa e scompone in fattori: $x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0$, da cui ottiene $x_1 = 0$ e $x_2 = -3$.

5.º Calcola le ordinate associate: $y_1 = 0 + 2 = 2$ e $y_2 = -3 + 2 = -1$.

Marco afferma che il sistema ha due soluzioni: $(0, 2)$ e $(-3, -1)$. Trova l'errore concettuale commesso da Marco, spiega perché l'operazione di elevare al quadrato può introdurre soluzioni non valide e fornisci l'insieme delle soluzioni corretto giustificando la tua risposta.

Per risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:

due studenti propongono strategie diverse:

• Alba propone di ricavare $y$ applicando i logaritmi nella prima equazione, scrivendo $y = \log_3(11 - 2^x)$, per poi sostituire questa espressione nella seconda equazione.

• Bruno propone di applicare prima le proprietà delle potenze nella seconda equazione ($2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ e $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$) e di effettuare il cambio di variabile $u = 2^x$ e $v = 3^y$.

Confronta i due metodi e giustifica quale sia più adeguato e perché. Quindi risolvi il sistema utilizzando il percorso ottimale e spiega quale proprietà matematica ti permette di ricavare infine i valori esatti di $x$ e $y$ a partire da $u$ e $v$.

Un terreno rettangolare ha un perimetro di $40$ m e un'area di $96$ m$^2$. Imposta un sistema di equazioni non lineare per calcolare le dimensioni del terreno e risolvilo.

Risolvi il seguente sistema di equazioni esponenziali applicando un opportuno cambio di variabile:

$3^x + 2^y = 11$

$3^{x+1} - 2^{y-1} = 26$

Risolvi il sistema logaritmico e quadratico, verificando la validità della soluzione ottenuta:

$\log(x) - \log(y) = 1$

$x^2 - y^2 = 99$

Trova la soluzione del seguente sistema irrazionale:

$\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y} = 4$

$x - y = 4$

Un ciclista percorre un tragitto di $60$ km a velocità costante. Se avesse viaggiato a una velocità maggiore di $2$ km/h, avrebbe impiegato $1$ ora in meno a completare il percorso. Imposta e risolvi un sistema non lineare per trovare la velocità media $v$ e il tempo $t$ impiegato.

Un gruppo di amici decide di comprare un regalo di compleanno che costa $120$ €, dividendo la spesa in parti uguali. All'ultimo momento si uniscono al gruppo altri due amici, per cui la quota di ciascuno si riduce di $3$ €. Imposta e risolvi un sistema per trovare quanti amici erano inizialmente e quanto pagava ciascuno.

In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa misura $13$ cm e il perimetro totale è di $30$ cm. Imposta un sistema di equazioni per determinare la lunghezza dei due cateti.

Risolvi il seguente sistema formato da un'equazione razionale e da una quadratica:

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x^2 + y^2 = 13$

Un consorzio di irrigazione della pianura padana sta per sistemare una vasca rettangolare per l'irrigazione a goccia, protetta da una recinzione perimetrale di $36\text{ m}$. Per esigenze idrauliche dell'impianto di pompaggio, l'impresa installatrice stabilisce che la differenza tra la superficie della base e il quadrato del lato minore debba essere esattamente uguale a $36\text{ m}^2$.

1. a) Modellizza la situazione con un sistema di equazioni non lineare, indicando con $x$ la lunghezza del lato maggiore e con $y$ quella del lato minore (con $x \ge y > 0$).
2. b) Risolvi algebricamente il sistema per sostituzione.
3. c) Interpreta le soluzioni ottenute nel contesto reale: quante configurazioni dimensionali diverse sono tecnicamente possibili per costruire la vasca rispettando tutti i requisiti? Giustifica le dimensioni di ciascuna opzione ammissibile.

Il limite di copertura di una stazione di telecomunicazioni rurale è descritto dalla circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 25$ (dove $x$ e $y$ sono misurate in chilometri rispetto all'antenna posta nell'origine). Una pista forestale rettilinea segue la traiettoria $y = 2x - 5$.

1. a) Prima di calcolare algebricamente le soluzioni, fai una stima geometrica ragionata: se un fuoristrada percorre la pista e interseca l'asse verticale in $x = 0$, questo punto si trova all'interno, sulla circonferenza o all'esterno del limite di copertura? Stima in quali quadranti del piano cartesiano avverranno l'ingresso e l'uscita del veicolo dalla zona con copertura.
2. b) Imposta e risolvi il sistema formato dalle due equazioni per determinare le coordinate esatte dei punti di intersezione tra la pista e il limite di copertura.
3. c) Verifica se i punti calcolati sono in accordo con la tua stima precedente e trova la distanza esatta percorsa dal fuoristrada all'interno del raggio di copertura dell'antenna.

L'orbita circolare di un satellite in un sistema di riferimento segue l'equazione $x^2 + y^2 = 25$, mentre la traiettoria di una cometa descrive l'iperbole $xy = 12$. Risolvi il sistema per trovare le coordinate esatte dei punti di intersezione delle due traiettorie.

Discuti per quali valori del parametro $k$ il seguente sistema ha esattamente una soluzione (ciò equivale geometricamente alla condizione di tangenza tra la circonferenza e la retta):

$x^2 + y^2 = 10$

$x + y = k$

Risolvi il seguente sistema misto che combina equazioni esponenziali e logaritmiche:

$2^x \cdot 2^y = 64$

$\log_2 x + \log_2 y = 3$

Risolvi il sistema di equazioni di grado superiore. (Suggerimento: usa i prodotti notevoli e la scomposizione in fattori per semplificare la prima equazione):

$x^3 + y^3 = 35$

$x + y = 5$

Un serbatoio cilindrico di lamiera ha un volume interno di $54\pi$ m³ e una superficie laterale (basi escluse) di $36\pi$ m². Imposta un sistema per trovare il raggio di base $r$ e l'altezza $h$ del cilindro, e risolvilo.

Un capitale $C$ viene investito a un tasso di interesse composto annuo $r$ (espresso in forma decimale). Alla fine del primo anno il montante è di $11000$ €. Alla fine del secondo anno il montante ammonta a $12100$ €. Imposta un sistema non lineare per calcolare il capitale iniziale $C$ e il tasso di interesse $r$, e risolvilo.

Risolvi il seguente sistema logaritmico applicando le proprietà del cambiamento di base e la sostituzione:

$\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}$

$xy = 27$

Risolvi il seguente sistema irrazionale, verificando quali soluzioni sono valide mediante l'analisi del dominio delle radici:

$\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$

$x + y = 11$

Un gruppo di ingegneri progetta il tracciato di raccordo tra una strada di servizio parabolica di equazione $y = a \cdot x^2 + c$ e una strada rettilinea di equazione $y = 4x - 5$. Per garantire la massima sicurezza nella manovra di immissione, le due carreggiate devono congiungersi in modo graduale (cioè devono essere tangenti) esattamente nel punto di ascissa $x = 3$.

1. a) Imposta il problema inverso: determina i valori dei parametri reali $a$ e $c$ che definiscono la parabola, sapendo che il sistema non lineare formato dalla retta e dalla parabola deve avere come unica soluzione il punto di ascissa $x = 3$. (Suggerimento: analizza come devono essere i coefficienti dell'equazione di secondo grado risolvente affinché ammetta una radice doppia in tale valore).
2. b) Basandoti sul discriminante $\Delta$ dell'equazione di intersezione, giustifica formalmente perché la condizione di tangenza richiede $\Delta = 0$ e spiega che cosa rappresenterebbe geometricamente per il tracciato delle strade il fatto che tale discriminante risultasse strettamente positivo o strettamente negativo.

Considera il seguente sistema non lineare simmetrico dipendente da un parametro reale non nullo $k$ ($k \ne 0$):

1. a) Invece di sostituire $y = k - x$ direttamente nella seconda equazione (cosa che obbligherebbe a sviluppare $(k - x)^3$), giustifica perché conviene trattarlo come un sistema simmetrico e usa l'identità algebrica $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ per ottenere il prodotto $P = x \cdot y$ in funzione di $k$.
2. b) Imposta l'equazione di secondo grado $t^2 - S \cdot t + P = 0$ le cui soluzioni forniscono i valori delle incognite $x$ e $y$.
3. c) Discuti in modo ragionato per quali valori del parametro $k$ il sistema ha due soluzioni reali distinte, un'unica soluzione doppia o nessuna soluzione reale. Spiega inoltre perché, se la coppia $(x_0, y_0)$ è soluzione con $x_0 \ne y_0$, anche la coppia $(y_0, x_0)$ lo è necessariamente, interpretando questa proprietà come una simmetria geometrica rispetto alla retta $y = x$.

Sfida del tema. Progetta la rete di supporto logistico di emergenza per tre comuni della tua provincia.

1. Geometria territoriale: Individua su Google Maps o sul sito dell'IGM tre comuni non allineati ($A$, $B$ e $C$) fissando l'origine $(0,0)$ nella tua scuola. Calcola le loro distanze relative in km, trova il circocentro risolvendo il sistema degli assi dei lati del triangolo e determina l'angolo di apertura tra due percorsi usando le formule di sottrazione $\cos(\alpha - \beta)$.

2. Ripartizione con Gauss: Consulta sul sito dell'ISTAT o di Terna dati reali di popolazione o di consumo elettrico di quelle località. Imposta e risolvi con il metodo di Gauss un sistema lineare $3 \times 3$ per distribuire in modo giustificato un fondo di $150\,000$ € tra le tre sedi secondo tre condizioni di domanda.

3. Copertura e fattibilità: Delimita con GeoGebra la zona di distribuzione fattibile mediante un sistema di disequazioni lineari in due incognite. Determina i punti di intersezione di una via logistica con il raggio di copertura di un'antenna di $12,5\text{ km}$ risolvendo un sistema non lineare (retta e circonferenza), e analizza se la funzione di costo logistico $f(x)$ presenta parità.

4. Relazione finale: Redigi una proposta di due pagine con le schermate di GeoGebra, i sistemi risolti e la tua conclusione tecnica.

Verranno valutati:

• Rigore algebrico nell'applicare il metodo di Gauss e nel risolvere i sistemi lineari e non lineari.

• Precisione nell'impostazione geometrica (punti notevoli, distanze e trigonometria).

• Corretta modellizzazione del sistema di disequazioni e uso coerente dei dati reali.