Esercizi: Discussione di un sistema di due equazioni

Discuti, in funzione del parametro $m$, il seguente sistema di equazioni lineari:

$x - 2y = 3$

$mx + 4y = -6$

Determina il valore del parametro $k$ affinché il seguente sistema sia incompatibile:

$3x + ky = 5$

$6x - 4y = 2$

Trova il valore di $a$ affinché il seguente sistema abbia infinite soluzioni. Scrivi la soluzione generale in quel caso.

$2x - y = a$

$-4x + 2y = 8$

Discuti la posizione reciproca delle rette $r: px + 3y = 1$ e $s: 2x + py = 0$ in funzione del parametro $p$.

Discuti il seguente sistema di equazioni in funzione del parametro $t$:

$tx + y = t$

$x + ty = 1$

Trova i valori del parametro $b$ per i quali il seguente sistema è compatibile determinato:

$x + by = 2$

$bx + y = 2$

Discuti il sistema dipendente dal parametro $c$:

$cx - 2y = 1$

$x - cy = 2$

Dato il seguente sistema di equazioni lineari:

$3x - 2y = 4$

$x + y = m$

esiste qualche valore del parametro $m$ per il quale il sistema sia incompatibile? Giustifica matematicamente la tua risposta.

Per classificare il sistema $\begin{cases} 3x - ky = 6 \\ 6x - 4y = 12 \end{cases}$ in funzione del parametro $k \in \mathbb{R}$, Marco scrive nel suo compito:

«Uguaglio i rapporti dei coefficienti: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-k}{-4} \implies \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{4} \implies k = 2$. Poiché il rapporto dei termini noti è $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, i tre rapporti sono identici e il sistema è compatibile indeterminato (rette coincidenti) se $k=2$. Quindi, se $k \ne 2$, poiché i rapporti dei coefficienti non coincidono più con quello dei termini noti, il sistema non ha soluzione (è incompatibile; rette parallele)».

1. a) Indica l'errore concettuale che commette Marco nella sua deduzione per $k \ne 2$ e spiega la differenza geometrica che ha ignorato tra rette incidenti e rette parallele.
2. b) Correggi l'analisi e scrivi la discussione completa del sistema per tutti i valori reali di $k$.

Si vuole progettare un sistema lineare di due equazioni in due incognite ($x$ e $y$) che dipenda da un parametro reale $a$ e da una costante fissa $c$:

$\begin{cases} 2x + ay = 4 \\ ax + 8y = c \end{cases}$

1. a) Imposta il problema inverso: determina quale valore numerico concreto e positivo deve avere la costante $c$ affinché esista almeno un valore di $a$ che renda coincidenti le due rette (sistema compatibile indeterminato).
2. b) Fissato quel valore di $c$, trova i due valori critici di $a$ e discuti completamente il sistema (SCD, SCI o SI) per tutti i valori possibili di $a \in \mathbb{R}$, interpretando geometricamente la posizione reciproca delle rette in ciascun caso.

Due droni di sorveglianza seguono traiettorie rettilinee descritte dal seguente sistema, dove $v$ è un parametro legato alla velocità del vento:

$vx + 2y = 4$

$2x + vy = v$

Discuti per quali valori di $v$ le traiettorie dei droni si incrociano in un solo punto, sono parallele o coincidono esattamente.

Discuti, in funzione del parametro $k$, il seguente sistema di equazioni:

$(k+1)x + y = 2$

$kx + (k-1)y = 1$

In un'indagine di mercato, le curve di offerta e domanda di un prodotto tecnologico sono date da un sistema lineare dipendente da un'imposta $t$:

$2x - ty = 3$

$tx + 2y = 4$

Discuti la compatibilità del sistema a seconda dei valori di $t$. Può accadere che non esista un punto di equilibrio (cioè che il sistema sia incompatibile) se $t$ è un numero reale?

Discuti il seguente sistema e, nei casi in cui sia compatibile indeterminato, esprimi le infinite soluzioni in funzione di un parametro $\lambda$:

$mx + (m+1)y = m$

$mx + 2my = 2$

Determina per quali valori del parametro $a$ il seguente sistema ha un'unica soluzione $(x, y)$ tale che il punto di intersezione delle due rette si trovi esattamente sull'asse delle ordinate ($x=0$):

$ax + 3y = 6$

$2x - ay = a$

In un impianto chimico vengono mescolate due soluzioni liquide. Le equazioni che modellano il bilancio di massa del processo dipendono dalla concentrazione $c$ di un reagente specifico:

$cx + 4y = c^2$

$x + cy = 2$

Discuti la compatibilità del sistema in funzione della concentrazione $c$.

Discuti il sistema in funzione del parametro $m$:

$x + y = m$

$m^2 x + y = m^2$

Due cavi ad alta tensione sono modellati in un piano dalle rette $r: 2x + (k-2)y = k$ e $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discuti la posizione reciproca dei cavi in funzione del parametro $k$ per evitare possibili cortocircuiti.

Considera il sistema di equazioni lineari $\begin{cases} x + my = 3 \\ mx + 9y = 9 \end{cases}$, dove $m$ è un parametro reale.

1. a) Stima: prima di effettuare trasformazioni algebriche formali, osserva attentamente i coefficienti:

• Stima quali due valori opposti di $m$ faranno coincidere i coefficienti angolari delle due rette.

• Congettura con ragionamento se per entrambi i segni di $m$ le rette arriveranno a coincidere in tutti i loro punti o se per qualcuno di essi risulteranno parallele distinte, osservando il segno dei termini noti.

1. b) Verifica: discuti rigorosamente il sistema per ogni $m \in \mathbb{R}$ mediante lo studio dei rapporti $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ e $\dfrac{c_1}{c_2}$. Classificalo in compatibile determinato, compatibile indeterminato o incompatibile.
2. c) Valuta: confronta il risultato formale con la tua stima iniziale del punto a). La tua congettura sulla coincidenza delle rette si è verificata? Giustifica perché l'uguaglianza algebrica conferma o corregge l'intuizione visiva.

Nei protocolli di controllo ambientale di una stazione dell'ARPA in una zona industriale, si monitorano due gas inquinanti primari, $x$ e $y$ (espressi in $\mu\text{g/m}^3$), mediante due sensori calibrati le cui letture dipendono da un indice termico standardizzato $t \in \mathbb{R}$ secondo il modello:

$\begin{cases} x + ty = 5 \\ tx + 9y = 15 \end{cases}$

1. a) Discuti il sistema per tutti i valori dell'indice termico $t$. Individua per quali valori di $t$ le letture forniscono una concentrazione unica e ben definita per entrambi i gas (sistema compatibile determinato).
2. b) Determina per quale temperatura ambientale il protocollo produce infinite soluzioni valide (sistema compatibile indeterminato) e spiega che cosa significa questo in pratica per i tecnici della stazione.
3. c) Verifica se esiste qualche valore di $t$ per il quale i sensori forniscano letture contraddittorie e impossibili da soddisfare simultaneamente (sistema incompatibile) e interpreta geometricamente quale relazione hanno le rette associate a ciascun sensore in quella situazione.

Discuti il seguente sistema di equazioni lineari in funzione dei parametri $a$ e $b$:

$ax + y = b$

$x + ay = 2$

La traiettoria di un proiettile segue una parabola descritta dall'equazione $y = -x^2 + 4x$, mentre un raggio laser di difesa segue la retta $y = mx$. Discuti il numero di punti di intersezione tra il proiettile e il laser in funzione del parametro $m$ (che rappresenta il coefficiente angolare del laser).

Discuti il seguente sistema lineare in funzione del parametro $k$ (considera che $k \neq 0$ e $k \neq 1$):

$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$

$kx + (k-1)y = 2$

In un circuito elettrico, le intensità $I_1$ e $I_2$ soddisfano il seguente sistema dipendente da una resistenza variabile $R$:

$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$

$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$

Discuti l'esistenza e l'unicità delle intensità in funzione del valore della resistenza $R$.

Discuti la compatibilità del seguente sistema non lineare in funzione del parametro $k$:

$x^2 - y^2 = k$

$x + y = 2$

Discuti il sistema in funzione dei parametri $m$ e $n$:

$mx + ny = 1$

$nx + my = 1$

Determina le condizioni esatte su $m$ e $n$ affinché il sistema sia incompatibile.

Un satellite orbita seguendo una traiettoria circolare modellata nel piano dall'equazione $x^2 + y^2 = 4$. Una cometa si muove in linea retta secondo l'equazione $x + y = c$, dove $c$ è un parametro che dipende dalla sua posizione iniziale. Discuti il numero di punti di collisione tra il satellite e la cometa in funzione di $c$.

Discuti il seguente sistema lineare con parametro $\alpha \in [0, 2\pi]$:

$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$

$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$

Esiste qualche valore di $\alpha$ per il quale il sistema non sia compatibile determinato? Giustifica matematicamente la tua risposta.

Per classificare il sistema $\begin{cases} \lambda x + 2y = 4 \\ (\lambda + 3)x + (\lambda + 1)y = 6 \end{cases}$ in funzione del parametro $\lambda \in \mathbb{R}$, due studenti di terzo liceo propongono strade diverse:

• Sara decide di uguagliare i rapporti tra i coefficienti: $\dfrac{\lambda}{\lambda + 3} = \dfrac{2}{\lambda + 1} = \dfrac{4}{6}$.

• Alberto preferisce trasformare il sistema per riduzione (metodo di Gauss) per renderlo a scala prima di trarre conclusioni.

1. a) Analizza criticamente il metodo di Sara: quale pericolo matematico sorge con i valori $\lambda = -3$ e $\lambda = -1$? L'annullarsi di un denominatore significa che il sistema è incompatibile in quei valori, o solo che quello strumento concreto non può essere applicato direttamente?
2. b) Discuti e classifica il sistema per ogni $\lambda \in \mathbb{R}$ analizzando con rigore che cosa accade esattamente nei casi particolari $\lambda = -3$ e $\lambda = -1$ e nei valori in cui i coefficienti angolari si uguagliano.
3. c) Valuta entrambi i metodi: giustifica quale dei due risulta più affidabile quando i parametri compaiono in più coefficienti di una stessa incognita e in quali casi conviene utilizzare la regola dei rapporti.

Nello spazio aereo di avvicinamento all'aeroporto di Roma Fiumicino, la torre di controllo monitora due aeromobili le cui traiettorie rettilinee nel piano di navigazione orizzontale sono descritte dal sistema:

$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = b \end{cases}$

dove $a$ e $b$ sono parametri reali fissati dai radiofari e dalle manovre di avvicinamento.

1. a) Risolvi il problema inverso determinando quale relazione algebrica esatta devono avere i parametri $a$ e $b$ affinché:

1. Le traiettorie si intersechino in un unico punto situato esattamente sull'asse delle ascisse ($y = 0$).

2. Esista un rischio critico di collisione continuata perché le traiettorie sono identiche (rette coincidenti).

3. Gli aerei seguano traiettorie strettamente parallele ma distinte (rette parallele non coincidenti).

1. b) Svolgi una discussione esaustiva del sistema classificandolo (SCD, SCI o SI) per qualsiasi combinazione di valori $(a, b) \in \mathbb{R}^2$.
2. c) Dimostra mediante un ragionamento algebrico rigoroso se è possibile trovare una coppia di parametri $(a, b)$ che renda il punto di incrocio unico delle due traiettorie l'origine delle coordinate $(0, 0)$.