Esercizi: Rette e punti notevoli di un triangolo

Calcola le coordinate del baricentro del triangolo i cui vertici sono $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Determina l'equazione esplicita della mediana che parte dal vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Determina l'equazione generale dell'altezza condotta dal vertice $B$ nel triangolo di vertici $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Calcola l'equazione generale dell'asse del lato $AB$ di un triangolo sapendo che i suoi vertici corrispondenti sono $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Determina le coordinate dell'ortocentro del triangolo rettangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

Calcola le coordinate del circocentro del triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ e $C(0, 6)$.

Verifica analiticamente se il punto $P(1, 2)$ è il baricentro del triangolo di vertici $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ e $C(5, 1)$.

Calcola le equazioni delle due bisettrici degli angoli formati dalle rette che contengono i lati di un triangolo, le cui equazioni sono $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

In una verifica di Matematica di terzo liceo, si chiede di determinare l'equazione generale dell'altezza relativa al vertice $A$ nel triangolo di vertici $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

Marco consegna la seguente risoluzione:

1. Determina il punto medio del lato $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2. Calcola il coefficiente angolare del lato $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3. Deduce il coefficiente angolare perpendicolare: $m_\perp = 3$.

4. Scrive la retta con coefficiente angolare $3$ passante per $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco: quale retta notevole ha calcolato in realtà al posto dell'altezza? Quindi, scrivi il procedimento corretto e ottieni l'equazione generale dell'altezza richiesta.

In un triangolo $\triangle ABC$ sono noti due vertici: $A(-3, 2)$ e $B(5, -4)$. Si sa inoltre che il suo baricentro (centro di gravità) si trova nel punto $G(1, 1)$.

1. a) Imposta le equazioni vettoriali o analitiche necessarie e determina in modo motivato le coordinate del terzo vertice $C$.
2. b) Con le coordinate dei tre vertici ormai calcolate, classifica il triangolo in base alla lunghezza dei suoi lati (equilatero, isoscele o scaleno), giustificando la risposta con il calcolo esplicito dei loro moduli.
3. c) Determina l'equazione della retta, in forma continua, che contiene la mediana che parte dal vertice $C$.

Tre alberi in una piantagione agricola si trovano nei punti $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ e $C(1, 5)$ (coordinate espresse in decine di metri). Si vuole installare un irrigatore equidistante dai tre alberi. Calcola le coordinate del punto in cui deve essere collocato (circocentro) e il raggio d'azione dell'acqua necessario per irrigarli.

Tre antenne di telecomunicazioni formano un triangolo con vertici in $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 5)$. Calcola la posizione del centro di gravità (baricentro) per collocare un trasmettitore centrale, e determina la distanza esatta da tale trasmettitore all'antenna $C$.

In un triangolo di vertici $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(a, b)$, si sa che il baricentro è il punto $G(2, 1)$. Calcola le coordinate del vertice $C$ e l'equazione, in forma continua, della mediana che parte da tale vertice.

Un edificio ha una pianta triangolare con vertici nei punti $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcola le coordinate dell'ortocentro di tale triangolo.

L'ortocentro di un triangolo è il punto $H(2, 2)$. Sono noti due dei suoi vertici, che sono $A(-1, 3)$ e $B(4, 1)$. Calcola le coordinate del vertice $C$.

Dato il triangolo di vertici $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, determina le coordinate del suo baricentro e del suo ortocentro. Quindi, ottieni l'equazione generale della retta di Eulero che passa per entrambi i punti.

Un triangolo ha vertici $A(1, 1)$ e $B(5, 1)$. Il vertice $C$ si trova sulla retta di equazione $y = x+2$. Sapendo che il triangolo è isoscele e che il lato diverso è $AB$, determina le coordinate del vertice $C$ e del suo circocentro.

Tre rifugi di montagna si trovano nelle coordinate $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (espresse in chilometri). Un elicottero di soccorso rimane in volo stazionario nel circocentro del triangolo formato dai rifugi. Calcola le coordinate dell'elicottero e il raggio della circonferenza che comprende i tre rifugi.

Considera il triangolo di vertici $A(-4, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(0, 6)$.

1. a) Stima prima di calcolare: Osservando le coordinate e la simmetria del triangolo rispetto all'asse delle ordinate, su quale retta devono necessariamente trovarsi il baricentro $G$, l'ortocentro $H$ e il circocentro $O$? Classifica inoltre l'angolo nel vertice $C$ (calcolando il segno del prodotto scalare $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) per stabilire se l'ortocentro e il circocentro saranno interni o esterni al triangolo.
2. b) Calcola: Ottieni analiticamente le coordinate del circocentro $O$ (mediante l'intersezione degli assi dei lati o la condizione di equidistanza dai vertici) e dell'ortocentro $H$ (intersecando due altezze).
3. c) Verifica: Determina le coordinate del baricentro $G$ mediante la formula diretta e verifica se le tue stime del punto a) erano corrette. Verifica numericamente se vale la relazione della retta di Eulero $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$.

Il dispositivo antincendio boschivo di una regione (Piano AIB) analizza la collocazione di un posto di comando avanzato eliportato per coordinare tre torri di avvistamento situate nei punti $A(1, 3)$, $B(8, 10)$ e $C(9, 3)$, le cui coordinate sono date in chilometri rispetto al centro comprensoriale. La commissione tecnica valuta due criteri:

• Criterio 1 (Equidistanza): Collocare il posto nel circocentro $O$, in modo che la distanza in linea retta da ciascuna delle tre torri sia esattamente la stessa.

• Criterio 2 (Centro di massa): Collocare il posto nel baricentro $G$, in modo da minimizzare lo spostamento medio abituale dell'elicottero.

1. a) Modellizza analiticamente entrambi i criteri calcolando le coordinate esatte della base secondo il Criterio 1 e secondo il Criterio 2.
2. b) Se l'elicottero di ricognizione ha un raggio d'azione garantito di $6\text{ km}$ senza rifornimento a partire dal suo posto di comando, stabilisci in modo motivato se entrambe le collocazioni permettono di raggiungere le tre torri entro tale limite di sicurezza.

Dato un triangolo rettangolo generico i cui vertici si trovano in $A(0,0)$, $B(a,0)$ e $C(0,b)$ con $a, b > 0$, dimostra analiticamente che il suo ortocentro coincide con l'origine del sistema di coordinate e che il suo circocentro è esattamente il punto medio dell'ipotenusa.

I vertici di un triangolo sono $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ e $C(t, 2t)$, dove $t$ è un parametro reale che determina la posizione del vertice $C$ su una retta. Trova l'equazione del luogo geometrico descritto dal baricentro del triangolo al variare di $t$.

Di un triangolo $ABC$ si conosce il vertice $A(1, 3)$ e le equazioni di due delle sue mediane: $x-2y+1=0$ e $y-1=0$. Calcola le coordinate dei vertici $B$ e $C$.

Dati i vertici di un triangolo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, determina le coordinate dell'ortocentro $H$, del baricentro $G$ e del circocentro $O$. Dimostra analiticamente che la distanza tra l'ortocentro e il baricentro è il doppio della distanza tra il baricentro e il circocentro ($HG = 2GO$).

Tre strade si incrociano formando un triangolo delimitato dalle rette $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcola le coordinate dell'incentro per collocare una rotonda tangente alle tre strade, e il raggio di tale rotonda.

In un triangolo $ABC$, il vertice $A$ ha coordinate $(-1, 2)$. Le altezze condotte dai vertici $B$ e $C$ sono contenute nelle rette di equazioni $x-y+1=0$ e $2x+y-4=0$ rispettivamente. Determina le coordinate dei vertici $B$ e $C$.

Si conosce il vertice $A(2, 5)$ di un triangolo $ABC$. Gli assi dei lati $AB$ e $AC$ hanno rispettivamente equazioni $x-y+2=0$ e $2x+y-3=0$. Determina le coordinate dei vertici $B$ e $C$.

Determina le coordinate dei vertici $B$ e $C$ di un triangolo sapendo che il vertice $A$ è $(-3, 1)$, il suo circocentro è il punto $O(5, 2)$ e il suo baricentro è $G(4, 2)$.

Per calcolare le coordinate del circocentro $O$ del triangolo di vertici $A(1, 5)$, $B(-1, 1)$ e $C(5, -2)$, tre studenti propongono strategie diverse:

• Strategia A: Ottenere le equazioni di due assi dei lati (calcolando punti medi e vettori normali) e risolvere il sistema lineare $2 \times 2$.

• Strategia B: Imporre l'uguaglianza metrica delle distanze $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ per un punto generico $O(x, y)$, sviluppare i prodotti notevoli e risolvere il sistema lineare risultante.

• Strategia C: Verificare prima le proprietà geometriche particolari del triangolo (calcolando i prodotti scalari tra i vettori dei suoi lati) nel caso fosse un triangolo rettangolo, nel quale una proprietà teorica permette di determinare direttamente il circocentro.

1. a) Confronta criticamente le strategie A e B: quanti passaggi algebrici richiede ciascuna e in quale è più facile commettere errori di segno o di calcolo?
2. b) Applica la Strategia C: calcola i vettori $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$, esegui il loro prodotto scalare $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ e interpreta geometricamente il risultato ottenuto.
3. c) Basandoti sulla conclusione del punto b), ottieni le coordinate del circocentro $O$ con il minimo calcolo possibile e giustifica perché questa strategia risulta molto superiore alle altre due per questo triangolo specifico.

In un triangolo non equilatero $\triangle ABC$, sul piano di lavoro si sono smarrite le coordinate dei vertici $B$ e $C$, ma si conoscono con certezza i seguenti dati:

• Il circocentro del triangolo è $O(1, -2)$.

• L'ortocentro del triangolo è $H(7, 4)$.

• Uno dei vertici è $A(-1, 2)$.

1. a) Deduci in modo motivato le coordinate del baricentro $G$ utilizzando la proprietà vettoriale della retta di Eulero ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), dimostrando che non è necessario conoscere previamente i vertici $B$ e $C$.
2. b) Sapendo che il baricentro divide la mediana che parte da $A$ nel rapporto $2:1$ a partire da tale vertice (cioè $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, dove $M_A$ è il punto medio del lato $BC$), determina le coordinate di $M_A$.
3. c) Giustifica perché la retta che passa per il circocentro $O$ e per il punto medio $M_A$ è necessariamente l'asse del segmento $BC$. Scrivi la sua equazione generale e deduci da essa il coefficiente angolare della retta che contiene il lato $BC$.
4. d) Spiega in modo motivato come si potrebbero determinare con esattezza le coordinate dei due vertici mancanti, $B$ e $C$, a partire dall'intersezione della retta che contiene il lato $BC$ con la circonferenza circoscritta di centro $O$ e raggio $R = d(O, A)$ (non è necessario risolvere l'equazione di secondo grado risultante, basta formulare il procedimento e giustificare perché fornisce esattamente due soluzioni).

Sfida del tema. Dove collocheresti un eliporto di emergenza per servire in modo ottimale tre comuni della tua provincia?

1. Raccolta dei dati: Accedi al visualizzatore geografico online (ad esempio quello dell'IGM) o a Google Maps e scegli tre località che formino un triangolo. Fissa un'origine di coordinate cartesiane (in km) per ottenere le coordinate dei tre vertici: $A$, $B$ e $C$.

2. Costruzione e rette notevoli: Riporta i punti in GeoGebra. Determina analiticamente i punti medi dei lati e le equazioni in forma canonica e in forma implicita di due assi dei lati. Analizza la loro posizione reciproca e calcola il loro punto di intersezione per trovare il circocentro (centro di evacuazione equidistante).

3. Misure e angoli: Determina la distanza euclidea dell'eliporto da ciascun comune e la distanza dalla retta che unisce $A$ e $B$. Trova anche l'angolo del vertice $A$ sia in gradi sessagesimali sia in radianti ($rad$) a partire dai vettori direttori dei lati.

4. Proposta argomentata: Redigi una relazione di una pagina, con il grafico di GeoGebra, che giustifichi se sia più conveniente costruire la base nel circocentro o nel baricentro.

Verranno valutati:

• Rigore nel calcolo analitico di equazioni, distanze e conversione degli angoli.

• Correttezza nella determinazione dei punti medi, dei punti notevoli e delle posizioni reciproche.

• Uso preciso di GeoGebra e coerenza nella giustificazione territoriale scelta.