Esercizi: Posizione reciproca di due rette

Determina la posizione reciproca delle rette $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ confrontando direttamente i loro coefficienti.

Date le rette $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica la loro posizione reciproca giustificando la risposta a partire dal valore dei loro coefficienti angolari.

Studia la posizione reciproca della retta $r$, che passa per i punti $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e della retta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calcola le coordinate esatte del punto di intersezione delle rette incidenti $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.

Trova il valore del parametro $k$ affinché le rette $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ siano parallele distinte.

Due droni da esplorazione seguono traiettorie rettilinee descritte dalle equazioni $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcola le coordinate del punto del piano in cui le loro traiettorie si incrociano.

Determina la posizione reciproca delle rette date in forma parametrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Trova il valore di $m$ affinché le rette $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ siano incidenti e non parallele.

Lucia deve determinare la posizione reciproca delle rette $r: 4x - 6y + 3 = 0$ e $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. Nel suo compito scrive il seguente ragionamento:

«La retta $r$ ha coefficiente angolare $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Per la retta $s$, il suo vettore direttore è $\vec{v}_s = (3, 2)$, quindi il suo coefficiente angolare è $m_s = \dfrac{2}{3}$. Poiché i coefficienti angolari hanno segni diversi ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), concludo che le rette sono incidenti e si intersecano in un unico punto; se avessero lo stesso segno, sarebbero parallele».

Individua e spiega con ragionamento i due errori (uno di calcolo algebrico e uno concettuale) commessi da Lucia. Successivamente, risolvi correttamente l'esercizio determinando la vera posizione reciproca delle due rette mediante il confronto dei loro vettori direttori o dei loro coefficienti angolari.

Data la retta $r: 3x - 4y + 12 = 0$, imposta e ricava le equazioni generali di due rette distinte, $s$ e $t$, che soddisfino rispettivamente le seguenti condizioni geometriche:

1. a) La retta $s$ deve essere parallela a $r$ e passare esattamente per l'origine degli assi $(0, 0)$.
2. b) La retta $t$ deve essere parallela a $r$, ma la sua ordinata all'origine deve essere il triplo dell'ordinata all'origine di $r$.

Giustifica algebricamente perché nessuna delle tre rette ($r$, $s$ e $t$) coincide con le altre, analizzando la proporzionalità dei loro coefficienti.

In un sistema di sicurezza, due raggi laser sono modellati in un piano cartesiano. Il primo raggio segue la retta $r: x + y - 6 = 0$ e il secondo passa per gli emettitori situati in $P(2, 1)$ e $Q(-2, -1)$. Determina se i raggi laser sono paralleli, coincidenti o si incrociano. Se si incrociano, trova il punto esatto di intersezione.

Le traiettorie di due aerei sullo schermo di un radar bidimensionale sono date da $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Verifica se le rotte si incrociano e, in caso affermativo, calcola il punto di intersezione delle traiettorie nel piano.

Discuti la posizione reciproca delle rette $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ al variare del parametro $m$.

Calcola il valore di $k$ affinché le rette $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ si incontrino esattamente nello stesso punto del piano.

Un architetto progetta due passerelle rettilinee in un parco. La passerella A segue la direzione del vettore $\vec{u} = (4, -2)$ e passa per la fontana situata in $F(0, 5)$. La passerella B è data dall'equazione $x + 2y - 10 = 0$. Dimostra analiticamente che le due passerelle si sovrappongono, essendo in realtà la stessa retta.

Trova le coordinate dei vertici del triangolo formato dall'intersezione delle tre rette $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ e $t: x + 4y - 12 = 0$.

Date le rette $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: 3x - 2y + k = 0$, verifica se esiste qualche valore del parametro $k$ per il quale le rette siano coincidenti. Motiva la risposta in modo analitico.

Un raggio di luce in un esperimento di ottica segue la traiettoria descritta dalla retta $r: x - 2y + 4 = 0$. Uno specchio piano è posto esattamente sull'asse delle ascisse ($y = 0$). Determina le coordinate del punto di incidenza del raggio sullo specchio.

Date le rette $r: 3x - 2y + 7 = 0$ e $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (con $\lambda \in \mathbb{R}$), si vuole determinare la loro posizione reciproca e trovare il loro punto di intersezione, se esiste. Per risolvere il problema si propongono due strategie:

• Metodo A: Trasformare la retta $s$ nella sua equazione generale implicita $Ax + By + C = 0$ e confrontare la proporzionalità dei coefficienti $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ e $\frac{C_1}{C_2}$.

• Metodo B: Sostituire direttamente le espressioni parametriche di $x(\lambda)$ e $y(\lambda)$ della retta $s$ nell'equazione generale di $r$ e risolvere l'equazione di primo grado risultante in $\lambda$.

Applica entrambi i metodi passo dopo passo per classificare la posizione reciproca delle rette e giustifica quale dei due procedimenti risulti più diretto, efficiente e con minor rischio di errore in questo caso particolare.

La centrale di Soccorso Marittimo di Messina monitora due imbarcazioni nelle acque dello Stretto mediante coordinate cartesiane (dove $1\text{ unità} = 1\text{ miglio nautico}$). Una motovedetta di soccorso naviga in linea retta seguendo la traiettoria della retta $r$, che passa per il punto $A(-1, 3)$ e ha la direzione del vettore $\vec{u} = (2, -1)$. Allo stesso tempo, una nave da carico mantiene una rotta descritta dall'equazione $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Determina con ragionamento la posizione reciproca delle due traiettorie. Esiste rischio di collisione tra le loro traiettorie se entrambe le navi proseguissero la rotta indefinitamente? Se si intersecano, trova le coordinate del punto di incontro.
2. b) A causa di un guasto al timone, la nave da carico modifica la propria traiettoria e passa a seguire la retta $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calcola il valore esatto di $k$ affinché la nuova rotta sia rigorosamente parallela alla motovedetta e analizza se esiste qualche valore di $k$ che renda coincidenti le due traiettorie.

Discuti la posizione reciproca delle rette $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ effettuando un'analisi completa al variare simultaneo dei parametri $a$ e $b$.

Tre strade rettilinee sono modellate in una mappa topografica dalle equazioni $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determina i valori del parametro $a$ per i quali le tre strade si incontrano in un unico punto o sono parallele tra loro, impedendo che si formi un triangolo delimitato da esse.

Un parallelogramma ha due lati sulle rette $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: x - 2y - 6 = 0$. Un altro lato si trova sulla retta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sapendo che uno dei vertici del parallelogramma è il punto $P(4, 4)$, calcola l'equazione della retta che contiene il quarto lato e determina le coordinate esatte dei quattro vertici.

Determina il valore o i valori di $k$ affinché il punto di intersezione delle rette incidenti $r: 2x + ky - 6 = 0$ e $s: x - y + 2 = 0$ appartenga alla bisettrice del primo e del terzo quadrante ($y = x$).

Si consideri la famiglia, o fascio, di rette definita dall'espressione $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Dimostra che tutte le rette che compongono questo fascio passano per uno stesso punto fisso e calcolane le coordinate. Successivamente, trova l'equazione generale della retta di questo fascio che è parallela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Una palla da biliardo segue la traiettoria data dalla retta $r: x - y + 2 = 0$ e rimbalza sulla sponda rappresentata dalla retta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale a quello di riflessione, calcola le coordinate del punto esatto in cui la palla urta la sponda e trova l'equazione della retta che descrive la traiettoria dopo il rimbalzo.

Date le rette $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ e $s: ax + by - 5 = 0$, calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché le due rette siano identiche. Successivamente, trova l'equazione generale di una retta perpendicolare a entrambe che passi per l'origine degli assi.

Le orbite proiettate di due comete in un piano spaziale seguono le traiettorie $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ e $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina se esiste qualche valore di $m$ per cui le traiettorie siano rigorosamente parallele. Per quali valori di $m$ le orbite si incontrano in un unico punto?

Si considerino le rette $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Stima: Senza risolvere algebricamente il sistema di equazioni né rappresentarle in scala millimetrica, deduci con ragionamento in quale quadrante del piano cartesiano si intersecheranno necessariamente queste due rette, e dimostra perché l'ascissa di tale punto di intersezione deve appartenere strettamente all'intervallo aperto $(0, 3)$. Basa la tua stima esclusivamente sul segno dei coefficienti angolari e sulle intersezioni di ciascuna retta con gli assi cartesiani.
2. b) Verifica: Risolvi analiticamente il sistema formato dalle equazioni di $r$ e $s$ per determinare le coordinate esatte del punto di intersezione $P(x, y)$.
3. c) Valuta: Confronta il risultato analitico ottenuto con la tua stima iniziale e rifletti su come l'analisi qualitativa preliminare permetta di individuare incoerenze nei calcoli algebrici.

Nel piano affine si considerano due rette fisse, $r: x - y - 1 = 0$ e $s: 2x + y - 5 = 0$, insieme a una terza retta che dipende da un parametro reale: $t_k: kx + y - 7 = 0$.

Si vuole indagare a quali condizioni le tre rette delimitano un triangolo nel piano.

1. a) Spiega in modo deduttivo quali sono le uniche due cause geometriche per cui tre rette complanari (sapendo che $r$ e $s$ sono già incidenti) NON formano un triangolo.
2. b) Imponi le condizioni algebriche di posizione reciproca per calcolare i valori di $k$ che rendono $t_k$ parallela alla retta $r$ o parallela alla retta $s$. Verifica inoltre se per qualcuno di questi valori $t_k$ diventa coincidente con esse.
3. c) Trova il valore di $k$ per il quale le tre rette sono concorrenti, cioè passano simultaneamente per lo stesso punto.
4. d) Sulla base dei punti precedenti, determina con precisione l'insieme dei valori di $k \in \mathbb{R}$ per i quali le tre rette determinano un triangolo.