Esercizi: Equazioni della retta nel piano

Scrivi l'equazione vettoriale e le equazioni parametriche della retta che passa per il punto $A(3, -2)$ e ha come vettore direttore $\vec{v} = (-1, 4)$.

Data la retta in equazioni parametriche $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, esprimila in forma continua e in forma generale.

Determina il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine della retta la cui equazione generale è $4x - 2y + 8 = 0$.

Scrivi l'equazione punto-coefficiente angolare della retta che passa per i punti $P(-1, 5)$ e $Q(2, -1)$.

Verifica se i punti $M(4, -3)$ e $N(1, 2)$ appartengono alla retta di equazione continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Trova l'equazione esplicita della retta che passa per l'origine degli assi e ha coefficiente angolare $m = -\frac{3}{5}$.

Scrivi le equazioni implicite della retta orizzontale che passa per il punto $H(-7, 4)$ e della retta verticale che passa per il punto $V(3, -9)$.

Data l'equazione implicita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vettore direttore, un vettore normale e un punto per cui passa la retta.

In una verifica di Matematica, Alessandro deve scrivere l'equazione continua della retta che passa per il punto $A(-3, 5)$ e ha vettore direttore $\vec{v} = (2, -4)$. Sul foglio scrive:

Nel correggerlo, la sua insegnante segnala che la risposta contiene un errore concettuale molto diffuso.

1. a) Individua con precisione i due errori di segno commessi da Alessandro nei numeratori dell'espressione.
2. b) Spiega l'origine di questo errore ricavando l'equazione continua passo per passo dalle equazioni parametriche: scrivi prima $x = a_1 + t\cdot v_1$ e $y = a_2 + t\cdot v_2$ con i dati del testo e ricava il parametro $t$ in ciascuna per dimostrare perché i segni devono essere opposti a quelli scritti da Alessandro.
3. c) Scrivi l'equazione continua corretta e, a partire da essa, ottieni l'equazione generale della retta semplificando al massimo i coefficienti interi.

Progetta la traiettoria rettilinea di un robot di trasporto in un centro logistico rispettando le seguenti specifiche:

1. a) Scrivi delle equazioni parametriche di una retta che passi per il punto $P(4, -1)$ e il cui coefficiente angolare sia esattamente $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) A partire dai dati precedenti, scrivi direttamente l'equazione punto-coefficiente angolare della retta assumendo come riferimento il punto $P$.
3. c) Una compagna afferma che un'altra risposta valida per le equazioni parametriche della stessa retta è $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Verifica se il punto da lei usato come base appartiene alla retta e se il suo vettore direttore è parallelo al tuo. Concludi spiegando perché le equazioni parametriche di una retta non sono uniche e quali elementi possono variare rappresentando geometricamente la stessa retta.

Un drone di sorveglianza si muove in linea retta e a velocità costante dal punto $A(10, 20)$ al punto $B(50, 80)$, con le coordinate misurate in metri. Scrivi le equazioni parametriche della sua traiettoria e indica quali saranno le sue coordinate quando avrà percorso esattamente metà del tragitto.

Il costo di produzione di un componente elettronico segue un modello lineare. Fabbricare $100$ unità costa $450$ €, e fabbricare $250$ unità costa $825$ €. Determina l'equazione esplicita che lega il costo $y$ al numero di unità $x$ e calcola il costo fisso di produzione (il costo quando si fabbricano $0$ unità).

Determina il valore del parametro $k$ affinché la retta di equazione $3x - ky + 5 = 0$ passi per il punto $P(-2, 1)$. Una volta trovato $k$, scrivi l'equazione della retta in forma continua.

Nella progettazione di un ponte sospeso, uno dei tiranti d'acciaio deve collegare il punto di ancoraggio $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordinate in metri). Trova l'equazione generale della retta che definisce il cavo e determina a quale altezza si trova quando la distanza orizzontale dall'asse $Y$ è di $16$ metri.

Trova l'equazione generale della retta che passa per il punto $A(-4, 6)$ ed è parallela alla retta che unisce i punti $B(1, 1)$ e $C(3, -5)$.

Una tubatura sotterranea segue la traiettoria data dalle equazioni parametriche $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (in km). Determina in quali punti esatti la tubatura interseca gli assi coordinati.

Calcola l'area del triangolo formato dalla retta $2x + 5y - 20 = 0$ con gli assi cartesiani.

Esprimi la retta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ in forma vettoriale e trova tre punti distinti che le appartengono, di cui almeno uno con ascissa negativa.

Considera la retta $r$ che passa per i punti $A(-2, 7)$ e $B(4, -5)$.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi equazione analitica:

• Osserva come variano le coordinate passando da $A$ a $B$ e stima il segno del coefficiente angolare (la retta sale o scende da sinistra verso destra?).

• Sapendo che il punto $A$ ha $x = -2$ con $y = 7$ e il punto $B$ ha $x = 4$ con $y = -5$, stima con ragionamento se l'ordinata all'origine $n$ (l'intersezione con l'asse $Y$, dove $x = 0$) sarà positiva o negativa, e se il suo valore sarà più vicino a $7$ o a $-5$.

1. b) Scrivi l'equazione continua della retta $r$ e trasformala con passaggi algebrici ordinati fino a ottenere la sua equazione esplicita $y = mx + n$.
2. c) A partire dall'equazione esplicita, calcola le coordinate esatte dei punti di intersezione con l'asse delle ordinate ($x = 0$) e con l'asse delle ascisse ($y = 0$). Verifica se il valore dell'ordinata all'origine coincide con la tua stima iniziale e giustifica geometricamente perché tale valore si trova a quell'altezza.

Si vuole trovare l'equazione generale della retta $s$ che passa per il punto $P(-3, 2)$ ed è perpendicolare alla retta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo di Sergio: Ricavare $y$ dalla retta $r$ per trovare il suo coefficiente angolare $m_r$; calcolare il coefficiente angolare perpendicolare $m_s = -\frac{1}{m_r}$; scrivere l'equazione in forma punto-coefficiente angolare con $P(-3, 2)$ e, infine, eliminare i denominatori e trasportare i termini per arrivare all'equazione generale.

• Metodo di Irene: Ottenere direttamente dai coefficienti di $r$ il suo vettore normale $\vec{n}_r = (2, -5)$; dedurre che tale vettore è un vettore direttore della retta perpendicolare $s$; ricavarne un vettore normale per $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; e impostare l'equazione $5x + 2y + C = 0$, trovando $C$ sostituendo le coordinate di $P$.

1. a) Confronta i due percorsi analizzandone vantaggi e svantaggi: numero di passaggi, comparsa di frazioni intermedie e probabilità di commettere errori di calcolo con i segni.
2. b) Giustifica quale dei due metodi è più efficiente e diretto per questo esercizio.
3. c) Applica il metodo che hai scelto come preferibile per determinare l'equazione generale di $s$.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la retta data in forma parametrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ rappresenti la stessa retta dell'equazione generale $4x + 3y - 10 = 0$.

Un raggio laser parte dal punto $A(2, 5)$, incide su uno specchio piano posto lungo l'asse delle ascisse, si riflette e passa per il punto $B(8, 3)$. Sapendo che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione, trova le equazioni delle rette che contengono il raggio incidente e il raggio riflesso, e il punto esatto di rimbalzo sullo specchio.

I lati di un triangolo sono contenuti nelle rette $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ e $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcola le coordinate dei suoi tre vertici e stabilisci, calcolando le lunghezze dei lati, di che tipo di triangolo si tratta.

Dimostra che se una retta interseca gli assi coordinati nei punti $(a, 0)$ e $(0, b)$, con $a \neq 0$ e $b \neq 0$, la sua equazione può essere scritta in forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Usa questo risultato per trovare l'equazione di una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo di area $12 \text{ u}^2$ sapendo che $a = 2b$ e che entrambe le intercette sono positive.

Due aerei si muovono nel piano di un radar. L'aereo $A$ segue la traiettoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, e l'aereo $B$ segue la traiettoria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (dove $t$ è il tempo in minuti e le coordinate sono in km). Determina il punto esatto in cui si incrociano le loro traiettorie e stabilisci se gli aerei collidono (cioè se passano per quel punto nello stesso istante $t$).

Trova l'equazione della retta che passa per il punto di intersezione delle rette $r: 2x - y + 5 = 0$ e $s: x + 3y - 1 = 0$, e che forma con i semiassi negativi coordinati un triangolo isoscele.

Dati il punto $P(3, 4)$ e la retta $r: 2x + y - 5 = 0$, trova le coordinate di un punto $Q$ situato sull'asse delle ordinate in modo che la retta che unisce $P$ e $Q$ abbia la stessa ordinata all'origine della retta $r$.

Considera il fascio di rette determinato dall'equazione $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Trova il centro del fascio (il punto per cui passano tutte le rette indipendentemente dal valore di $k$) e determina il valore di $k$ per il quale la retta del fascio ha coefficiente angolare $\frac{3}{5}$.

In uno studio del servizio meteorologico nazionale nel Parco Nazionale del Gran Paradiso, si analizza la variazione della temperatura con l'altitudine durante una giornata invernale anticiclonica. Nella stazione a valle (quota $x_1 = 2100\text{ m}$) a mezzogiorno si misura una temperatura di $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, mentre nella stazione vicina alla vetta (quota $x_2 = 3100\text{ m}$) il termometro segna contemporaneamente $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. Si assume un comportamento lineare tra l'altitudine $x$ (in metri) e la temperatura $y$ (in $^\circ\text{C}$).

1. a) Scrivi l'equazione continua che modellizza questa relazione lineare prendendo come punto di riferimento la stazione a valle e un vettore direttore le cui componenti riflettano la variazione di temperatura per ogni $1000\text{ m}$ di salita.
2. b) Trasforma tale equazione nella forma esplicita $y = mx + n$. Interpreta con rigore fisico il significato del coefficiente angolare $m$ (gradiente termico verticale) e dell'ordinata all'origine $n$. Ha senso fisico il valore numerico di $n$ se lo si confronta con una temperatura verosimile a livello del mare ($x = 0$) sulla costa mediterranea ligure?
3. c) Usa il modello lineare per calcolare l'altitudine del limite delle nevi (isoterma zero: altitudine alla quale la temperatura scende a $0\ ^\circ\text{C}$). A partire da questo dato, giustifica se un alpinista che raggiunga la vetta più alta della zona ($3479\text{ m}$) registrerà temperature positive o sotto zero nello stesso istante.

Una retta $r$ con coefficiente angolare negativo passa per il punto $A(2, 3)$ e interseca la parte positiva degli assi coordinati nei punti $P(p, 0)$ e $Q(0, q)$, determinando con l'origine un triangolo rettangolo situato nel primo quadrante la cui area misura esattamente $12\text{ u}^2$.

1. a) Deduci passo per passo che l'equazione continua della retta che passa per $(p, 0)$ e $(0, q)$ può essere riscritta in forma segmentaria $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sapendo che il punto $A(2, 3)$ appartiene alla retta e che l'area del triangolo è $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, imposta un sistema di due equazioni algebriche nelle incognite $p$ e $q$.
3. c) Risolvi il sistema e dimostra che esiste una sola coppia di valori reali $(p, q)$ che soddisfa contemporaneamente entrambe le condizioni. Con tali valori, scrivi l'equazione generale della retta.
4. d) Analizza algebricamente perché il discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene risolvendo il sistema risulta esattamente zero per un'area di $12\text{ u}^2$, e interpreta geometricamente che cosa accadrebbe all'esistenza di rette passanti per $A(2,3)$ se avessimo richiesto che l'area del triangolo fosse minore, ad esempio $10\text{ u}^2$.