Esercizi: Disequazioni lineari in due incognite: sistemi

Rappresenta graficamente la disequazione $2x - 3y \le 6$. Poi indica due punti le cui coordinate appartengono alla regione delle soluzioni e due punti che non vi appartengono.

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Dato il sistema di disequazioni lineari $x + y < 5$ e $2x - y \ge 0$, determina quali dei seguenti punti sono soluzione del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ e $D(4, 0)$.

Rappresenta graficamente il sistema formato dalle disequazioni $x + 2y \ge 4$ e $x - y \le 1$, evidenziando chiaramente la regione ammissibile risultante.

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A partire dalla regione evidenziata nella figura, determina la disequazione lineare in due incognite che la definisce. Tieni conto che la retta di confine passa per i punti $(0, 2)$ e $(3, 0)$ e che la regione comprende l'origine degli assi.

Trova algebricamente le coordinate dei vertici della regione ammissibile definita dal seguente sistema di disequazioni: $x \ge 0$, $y \ge 0$ e $x + y \le 4$.

Rappresenta la regione del piano che soddisfa simultaneamente le seguenti restrizioni: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.

Verifica analiticamente se il punto $P(1, 2)$ appartiene alla regione definita dal sistema di disequazioni: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ e $3x + 2y \ge 1$.

Rappresenta l'insieme delle soluzioni del sistema formato dalle disequazioni $x + y \ge 2$ e $x + y \le 5$. Descrivi che tipo di regione geometrica si ottiene.

Per risolvere graficamente la disequazione $x - 2y > 0$, Matteo esegue il seguente procedimento sul suo quaderno:

1.º Disegna la retta di frontiera $x - 2y = 0$ con tratto continuo.

2.º Come punto di prova per stabilire quale semipiano tratteggiare, sceglie l'origine del sistema di coordinate $(0,0)$.

3.º Sostituisce nella disequazione: $0 - 2 \cdot 0 > 0 \implies 0 > 0$, e ragiona: «Poiché la disuguaglianza è falsa, l'origine non è soluzione; quindi la soluzione è il semipiano in cui non si trova l'origine, e includo la retta di frontiera perché è quella che separa le due regioni».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Matteo (uno riguardo alla scelta del punto di prova e uno riguardo al tipo di tratto della retta di frontiera).
2. b) Correggi l'esercizio: indica quale tipo di tratto corrisponde alla frontiera, scegli un punto di prova adeguato che non appartenga alla retta (giustificando la tua scelta) e determina con chiarezza quale semipiano è la soluzione.

Considera il seguente sistema di disequazioni lineari:

1. a) Stima: Senza disegnare gli assi né eseguire calcoli scritti, osserva le espressioni algebriche e intuisci, motivando, se i punti $P(2, 3)$ e $Q(4, 3)$ appartengono alla regione ammissibile. Giustifica la tua previsione stimando mentalmente le somme $x+y$ e $2x+y$ di ciascun punto rispetto ai valori limite $6$ e $4$.
2. b) Verifica: Sostituisci formalmente le coordinate di $P$ e di $Q$ in ciascuna delle disequazioni del sistema per verificare se la tua stima era corretta.
3. c) Valuta: Rappresenta graficamente la regione ammissibile e conferma visivamente che la posizione di $P$ e $Q$ concorda con quanto avevi dedotto.

Una pasticceria prepara due tipi di torte, T1 e T2. La torta T1 richiede $2$ ore di preparazione e $1$ ora di cottura, mentre la torta T2 richiede $1$ ora di preparazione e $2$ ore di cottura. Si dispone di un massimo di $10$ ore di preparazione e $8$ ore di cottura al giorno. Imposta il sistema di disequazioni che modellizza questa situazione (considerando che le quantità non possono essere negative) e rappresenta graficamente la regione delle possibili produzioni giornaliere.

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Un agricoltore dispone di $50$ ettari per piantare grano e orzo. Il seme di grano costa $20$ euro per ettaro e quello di orzo $30$ euro per ettaro. Il budget massimo per le sementi è di $1200$ euro. Inoltre, per normative ambientali, la superficie di orzo non può superare il doppio della superficie di grano. Scrivi il sistema di disequazioni associato e trova i vertici della regione ammissibile.

La figura mostra una regione poligonale nel piano cartesiano che rappresenta le combinazioni di produzione realizzabili di due componenti elettronici. Determina il sistema di disequazioni che definisce tale regione, sapendo che i suoi vertici sono $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ e $D(2, 3)$.

Per trasportare $60$ tonnellate di merce, un'azienda di logistica dispone di camion grandi con capacità di $8$ tonnellate e camion piccoli con capacità di $5$ tonnellate. Per limiti di personale, non si possono inviare più di $10$ veicoli in totale. Imposta il sistema di disequazioni che determina il numero di camion di ciascun tipo utilizzabili e trova analiticamente i vertici della regione soluzione.

Rappresenta graficamente il sistema di disequazioni $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcola le coordinate esatte dei vertici della regione risultante.

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Un personal trainer pianifica una routine con esercizi di forza ($x$) ed esercizi di cardio ($y$). Il tempo totale di allenamento deve essere compreso tra $40$ e $60$ minuti. Ogni esercizio di forza dura $5$ minuti e ogni esercizio di cardio $10$ minuti. Inoltre, il numero di esercizi di forza deve essere almeno uguale al numero di esercizi di cardio. Imposta il sistema di disequazioni e rappresentalo graficamente.

Un'azienda di noleggio veicoli dispone di auto e furgoni. La manutenzione giornaliera di un'auto costa $10$ euro e quella di un furgone $20$ euro. Il budget giornaliero per la manutenzione non supera i $300$ euro. Il parcheggio ha una capacità massima di $20$ veicoli. Determina la regione ammissibile e trova il numero massimo di furgoni che si possono mantenere se si hanno esattamente $5$ auto.

Calcola l'area della regione del piano definita dal seguente sistema di disequazioni: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.

In un piano urbanistico è stata delimitata un'area verde triangolare i cui vertici esatti sono $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(2, 5)$.

1. a) Ottieni l'equazione generale o implicita ($ax + by = c$) di ciascuna delle tre rette che contengono i lati del triangolo (lati $AB$, $AC$ e $BC$).
2. b) Scrivi un sistema di tre disequazioni lineari in due incognite la cui regione ammissibile coincida esattamente con l'interno e i lati di tale triangolo.
3. c) Giustifica come hai deciso il verso di ciascuna disuguaglianza ($\le$ o $\ge$) verificando che le coordinate di un punto interno evidente (come il punto $(2, 2)$) soddisfano contemporaneamente le tre disequazioni impostate.

Un centro sportivo comunale organizza settimanalmente sessioni di nuoto adattato ($x$, in ore) e pilates per anziani ($y$, in ore). Il comune fissa le seguenti condizioni di gestione:

• Tra le due attività non si possono superare le $30$ ore settimanali in totale.

• Per soddisfare la domanda minima del gruppo di anziani, si devono programmare almeno $8$ ore settimanali di pilates.

• La piscina riservata è disponibile solo per un massimo di $18$ ore settimanali per il nuoto adattato.

• Per criterio pedagogico, il numero di ore di pilates deve essere, come minimo, la metà del numero di ore dedicate al nuoto adattato.

1. a) Imposta il sistema di disequazioni lineari che modellizza tutti i vincoli (comprese le condizioni di non negatività) e interpreta il significato di ciascuna disequazione.
2. b) Rappresenta graficamente la regione ammissibile e trova le coordinate di tutti i suoi vertici.
3. c) Un'associazione propone di programmare $18$ ore di nuoto e $8$ ore di pilates. Verifica se questa combinazione è ammissibile; se non lo è, spiega quale condizione viola e qual è l'incremento minimo di ore di pilates necessario per renderla ammissibile mantenendo le $18$ ore di nuoto.

Una raffineria produce due tipi di leghe, A e B. Per la lega A servono $3$ kg di rame, $1$ kg di zinco e $2$ kg di stagno per unità. Per la lega B, $1$ kg di rame, $2$ kg di zinco e $3$ kg di stagno. In magazzino si dispone di un massimo di $300$ kg di rame, $200$ kg di zinco e $240$ kg di stagno. Imposta il sistema di disequazioni che descrive le possibili produzioni delle due leghe, rappresenta la regione ammissibile e calcola le coordinate di tutti i suoi vertici.

Considera la regione del piano definita dalle disequazioni $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ e $x - y \ge -2$. Dimostra algebricamente che si tratta di una regione limitata e determina le coordinate dei vertici di questa regione.

Per l'organizzazione di un concerto si vendono biglietti VIP ($x$) e biglietti standard ($y$). La capienza massima del locale è di $5000$ persone. Per motivi di sicurezza e redditività, il numero di biglietti standard non può superare il triplo dei biglietti VIP. Inoltre, gli organizzatori richiedono che si vendano almeno $1000$ biglietti VIP. Scrivi il sistema di disequazioni, trova i vertici della regione ammissibile e determina algebricamente se è possibile vendere esattamente $1500$ biglietti VIP e $4000$ standard.

È dato il sistema di disequazioni $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discuti, in funzione del parametro $k$, il numero di vertici della regione ammissibile. Per quali valori di $k$ la regione ammissibile si riduce all'insieme vuoto?

Un nutrizionista progetta una dieta basata su due alimenti, X e Y. Ogni porzione dell'alimento X apporta $20$ g di proteine, $10$ g di grassi e $40$ g di carboidrati. Ogni porzione di Y apporta $15$ g di proteine, $20$ g di grassi e $30$ g di carboidrati. La dieta deve apportare almeno $120$ g di proteine, non più di $100$ g di grassi e esattamente $240$ g di carboidrati. Imposta il sistema di disequazioni ed equazioni associato. Si tratta di una regione bidimensionale o di un segmento? Giustifica la tua risposta e trova gli estremi dell'insieme delle soluzioni.

L'immagine mostra una regione ammissibile a forma di quadrilatero, che modellizza i vincoli di un progetto di ingegneria del software (ore di programmazione sull'asse $X$ contro ore di test sull'asse $Y$). I vertici sono $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ e $S(3, 0)$. Determina il sistema di disequazioni che definisce esattamente questa regione.

Una fabbrica di mobili produce sedie e tavoli. Ogni sedia richiede $2$ ore di taglio e $1$ ora di assemblaggio. Ogni tavolo richiede $1$ ora di taglio e $3$ ore di assemblaggio. I lavoratori possono dedicare un massimo di $40$ ore settimanali al taglio e $60$ ore all'assemblaggio. Inoltre, per un contratto precedente, si devono fabbricare almeno $5$ tavoli a settimana e il numero di sedie non può essere inferiore al numero di tavoli. Imposta il sistema di disequazioni, rappresentalo e trova tutti i vertici della regione ammissibile.

Dato il sistema di disequazioni $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analizza come cambia l'area della regione ammissibile se il primo vincolo viene modificato in $2x + 3y \le 12 + k$, con $k > 0$. Esprimi l'area della nuova regione in funzione di $k$, assumendo che la forma geometrica del poligono risultante rimanga un triangolo.

Si vuole determinare se esiste qualche soluzione per il seguente sistema di disequazioni:

Per risolverlo, tre studenti propongono strade diverse:

• Strada A (geometrica): Disegnare con precisione le quattro rette di frontiera, colorare ogni semipiano con punti di prova e cercare la regione comune.

• Strada B (algebrica diretta): Moltiplicare la prima disequazione per $2$ e sommarla membro a membro con la seconda per analizzare la disuguaglianza risultante.

• Strada C (calcolo dei vertici): Risolvere i sistemi di equazioni lineari $2 \times 2$ uguagliando le rette due a due per trovare i vertici della regione ammissibile.

1. a) Applica la Strada B e spiega quale conclusione immediata e indiscutibile permette di trarre sulla regione ammissibile.
2. b) Confronta criticamente le tre strade: argomenta perché la Strada B è la più efficace e spiega la perdita di tempo o la difficoltà inutile che avrebbero coloro che applicano la Strada A o la Strada C (analizza la posizione reciproca delle rette di frontiera).
3. c) Giustifica in quali tipi di problemi di sistemi di disequazioni sarebbe invece indispensabile applicare la Strada A o la Strada C al posto della Strada B.

Considera il sistema di disequazioni lineari dipendente da un parametro reale $k$:

1. a) Per $k = 1$, rappresenta graficamente la regione ammissibile, calcola le coordinate esatte di tutti i suoi vertici e classifica il poligono ottenuto in base al numero di lati.
2. b) Analizza il ruolo del parametro: determina in modo motivato per quali valori di $k \le 0$ la disequazione $x + y \le 6$ risulta ridondante (cioè qualsiasi punto del primo quadrante che soddisfi $y - kx \le 2$ verifica già automaticamente che $x + y \le 6$, per cui la regione ammissibile diventa un triangolo che non dipende dalla retta $x + y = 6$).
3. c) Esiste qualche valore reale di $k$ per il quale la regione ammissibile sia l'insieme vuoto o si riduca a un unico punto? Giustifica la tua risposta analizzando l'appartenenza dell'origine $(0,0)$ e il comportamento delle disuguaglianze in un intorno di tale punto.

Sfida del tema. Audit energetico e di comfort a casa tua.

1. Dati reali: Consulta sul sito dell'Aeronautica Militare (servizio meteorologico) la temperatura ($T$) e la velocità del vento ($v$) della tua località, e sul sito del GME (Gestore dei Mercati Energetici) il prezzo orario del kWh.

2. Modellizzazione a una variabile: Modellizza il comfort termico ammissibile con una disequazione con valore assoluto, $|T - 21| \le 2,5$, e la sensazione dovuta al vento mediante una disequazione con radice: $\sqrt{v} + T \ge 18$. Successivamente, formula una disequazione di secondo grado che limiti le ore di consumo critico e una disequazione razionale, come $\frac{P(t)}{t - 1} \le 1,4$, per controllare il costo medio unitario. Risolvile analiticamente.

3. Regione ammissibile con GeoGebra: Siano $x$ e $y$ le ore di utilizzo di due elettrodomestici ad alto consumo. Imposta un sistema di disequazioni lineari in due incognite in base alla potenza di ciascun elettrodomestico, a un tetto di energia giornaliera (kWh) e al tuo budget giornaliero. Ottieni e colora la regione ammissibile.

4. Proposta motivata: Redigi una breve relazione che giustifichi le fasce orarie ottimali a partire dagli intervalli e dai vertici calcolati.

Verranno valutati:

• Rigore algebrico nella risoluzione di disequazioni razionali, irrazionali, di secondo grado e con valore assoluto.

• Precisione grafica in GeoGebra nel delimitare la regione ammissibile del sistema lineare.

• Giustificazione coerente della proposta finale a partire dai dati reali raccolti.