Esercizi: Disequazioni con radici quadrate

Risolvi la disequazione $\sqrt{x - 2} < 5$. Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Determina l'insieme delle soluzioni della disequazione $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.

Trova i valori di $x$ che soddisfano la disuguaglianza $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.

Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.

Trova la soluzione della disequazione $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni in un'incognita: $\sqrt{x} \ge 2$ e $\sqrt{x} < 5$.

Determina il dominio della funzione reale di variabile reale $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.

Analizza e risolvi la disequazione $\sqrt{2x - 7} < -3$. Giustifica la risposta.

Marco cerca di risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{2x - 8} \leq -2$. A tal fine scrive nel compito i seguenti passaggi:

1) «Elevo al quadrato entrambi i membri: $(\sqrt{2x - 8})^2 \leq (-2)^2 \implies 2x - 8 \leq 4$».

2) «Isolo l'incognita: $2x \leq 12 \implies x \leq 6$».

3) «Calcolo il dominio della radice: $2x - 8 \geq 0 \implies x \geq 4$».

4) «Intersecando le due condizioni la soluzione è l'intervallo $[4, 6]$».

Spiega in dettaglio quale grave errore concettuale ha commesso Marco nel passaggio 1, perché la proprietà di elevare al quadrato non è applicabile in questo caso e qual è la soluzione reale e giustificata della disequazione senza dover fare calcoli.

Si propone la disequazione $\sqrt{25 - x} \leq 3$.

1. a) Prima di risolverla algebricamente, ragiona qualitativamente su quale tipo di intervallo ti aspetti: limitato a sinistra, a destra o da entrambi gli estremi? Giustificalo analizzando che cosa accade al radicando al crescere di $x$ e quale limitazione impone l'esistenza della radice.
2. b) Esegui una stima mentale valutando in valori semplici ($x = 0$, $x = 16$, $x = 25$) per congetturare se la soluzione conterrà valori vicini a $25$ o vicini a $0$.
3. c) Risolvi la disequazione con il procedimento algebrico formale (dominio ed elevazione al quadrato) e verifica se la tua stima iniziale era coerente.

Il periodo $T$ di oscillazione di un pendolo semplice è dato dalla formula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, dove $L$ è la lunghezza del pendolo in metri e $g$ è l'accelerazione di gravità. Supponendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, trova l'intervallo delle lunghezze $L$ per le quali il periodo di oscillazione è strettamente compreso tra $1$ e $3$ secondi.

Un drone di sorveglianza è programmato per mantenersi a una distanza strettamente minore di $5$ km da una base situata nell'origine delle coordinate $(0,0)$. Se la traiettoria del drone è data dai punti della forma $(x, 3)$, imposta e risolvi la disequazione con radici che determina i valori di $x$ consentiti per la traiettoria.

Risolvi la disequazione $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Tieni conto delle restrizioni del dominio del radicando.

Il tempo di produzione $T$ in ore per fabbricare $x$ lotti di un componente elettronico segue il modello $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Se il turno di lavoro massimo giornaliero è di $14$ ore, quanti lotti completi si possono produrre al massimo rispettando il limite di tempo?

Determina il dominio della funzione reale $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.

Il progetto di un pannello solare rettangolare richiede che la sua base misuri $2$ metri fissi e che la sua diagonale $d$ soddisfi la relazione $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metri, dove $x$ è un parametro di regolazione strutturale. Trova i valori di $x$ che garantiscono che l'altezza del pannello sia di almeno $2$ metri.

Trova l'insieme delle soluzioni che soddisfano simultaneamente il seguente sistema di disequazioni:

$\sqrt{3x + 1} \le 4$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

La velocità $v$ (in km/h) di un veicolo prima di una frenata brusca può essere stimata mediante la formula empirica $v = 10\sqrt{d}$, dove $d$ è la lunghezza delle tracce di frenata in metri. Se in un tratto di autostrada il limite di velocità è $120\text{ km/h}$, imposta una disequazione e determina quali lunghezze di frenata indicano che il conducente superava il limite di velocità.

La Polizia Stradale e le squadre di rilievo degli incidenti impiegano modelli matematici per stimare la velocità prima della frenata a partire dalle tracce degli pneumatici sull'asfalto. In un tratto bagnato di una strada provinciale italiana, la velocità stimata $v$ (in $\text{km/h}$) e la distanza di frenata $d$ (in metri) sono legate dall'espressione $v = \sqrt{120 \cdot d}$.

Dopo un incidente, un conducente sostiene di viaggiare a una velocità regolamentare (cioè $v \leq 90\text{ km/h}$), mentre le misurazioni di un autovelox di tratto precedente affermano che la sua velocità non era inferiore a $60\text{ km/h}$.

1. a) Traduci questa situazione in una doppia disequazione con radici quadrate in funzione della distanza $d$.
2. b) Determina il dominio di validità fisica e matematica dell'espressione.
3. c) Risolvi la disequazione per trovare l'intervallo ammissibile delle lunghezze di frenata $d$ che renderebbero compatibili le due testimonianze, esprimendo il risultato sotto forma di intervallo con numeri decimali approssimati ai centesimi.

Si vuole costruire una disequazione della forma $\sqrt{a \cdot x + b} < c$, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali fissati, in modo che il suo insieme delle soluzioni sia esattamente l'intervallo semiaperto $[-3, 5)$.

1. a) Giustifica, a partire dalle proprietà delle radici quadrate, perché la costante $c$ deve essere strettamente positiva.
2. b) Sapendo che $a = 2$, determina in modo motivato i valori che devono assumere i parametri $b$ e $c$ (richiedendo che $c$ sia un numero intero).
3. c) Spiega perché l'estremo sinistro dell'intervallo delle soluzioni è chiuso ($-3 \in [-3, 5)$) mentre il destro è aperto ($5 \notin [-3, 5)$), collegando ciascuno di essi a una diversa fase della risoluzione.

Risolvi la disequazione $\sqrt{x + 6} > x$. Presta particolare attenzione ai casi in cui il secondo membro può essere negativo.

Un'antenna di telecomunicazioni ha un raggio di copertura efficace di $10\text{ km}$. Un veicolo viaggia su una strada rettilinea e la sua distanza dall'antenna in chilometri all'istante $t$ (in minuti) è data dalla funzione $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina l'intervallo di tempo durante il quale il veicolo dispone di copertura.

Determina i valori del parametro $m$ per i quali la disequazione $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ è soddisfatta per qualsiasi numero reale $x$.

Risolvi la disequazione $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.

Per collegare una stazione base a un ripetitore, si deve stendere un cavo in fibra ottica. Il costo di posa del cavo su terreno roccioso è proporzionale alla distanza in linea retta $\sqrt{x^2 + 16}$, e il costo su terreno pianeggiante è proporzionale alla distanza restante $(8 - x)$. Il modello di costo totale semplificato è dato da $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. Per quali valori di $x \ge 0$ il costo totale rispetta il vincolo di budget $C(x) \le 16$?

Risolvi la disequazione con radicali nidificati $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.

Nella teoria della relatività ristretta, il fattore di dilatazione temporale di Lorentz è dato da $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, dove $v$ è la velocità dell'oggetto e $c$ la velocità della luce. Imposta e risolvi una disequazione per trovare l'intervallo di velocità $v$ (espresse come frazione di $c$, supponendo $v \ge 0$) per le quali il fattore di Lorentz è strettamente maggiore di $2$.

Date le funzioni $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ e $g(x) = x - 2$, risolvi algebricamente la disequazione $f(x) > g(x)$ e conferma il risultato osservando la rappresentazione grafica allegata.

Per risolvere la disequazione $\sqrt{2x + 5} > x - 5$, due compagni di classe propongono strategie diverse:

• Lucia propone di elevare direttamente al quadrato entrambi i membri: $2x + 5 > (x - 5)^2$, risolvere la disequazione polinomiale risultante e intersecare l'insieme delle soluzioni con il dominio di esistenza della radice ($2x + 5 \geq 0$).

• Sergio sostiene che il metodo di Lucia è scorretto perché il segno di $x - 5$ non è costante. Il suo metodo consiste nel distinguere due casi: quando $x - 5 < 0$ (dove la disuguaglianza è immediata se la radice esiste) e quando $x - 5 \geq 0$ (dove è lecito elevare al quadrato), unendo infine le soluzioni dei due casi.

1. a) Dimostra con un controesempio numerico (scegliendo un valore concreto di $x$) che il metodo di Lucia omette soluzioni valide.
2. b) Giustifica formalmente perché il metodo di Sergio è rigoroso basandoti sul segno di ciascun membro e sulla monotonia della funzione $f(t) = t^2$.
3. c) Sviluppa completamente il metodo di Sergio e trova l'intervallo definitivo delle soluzioni della disequazione.

Data la disequazione con due radici $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 1} \leq 2$:

1. a) Determina il dominio di esistenza congiunto della disequazione, spiegando perché la condizione deve essere applicata a entrambi i radicandi simultaneamente.
2. b) Spiega perché trasformare la disequazione in $\sqrt{2x + 3} \leq 2 + \sqrt{x - 1}$ prima di elevare al quadrato è un passaggio indispensabile per garantire che entrambi i membri siano non negativi e mantenere l'equivalenza della disuguaglianza.
3. c) Risolvi la disequazione applicando in modo giustificato le trasformazioni necessarie ed esprimi l'insieme finale delle soluzioni come un intervallo chiuso i cui estremi siano numeri reali esatti (in funzione di radicali irriducibili).