Esercizi: Disequazioni razionali

Risolvi la seguente disequazione razionale esprimendo la soluzione sotto forma di intervallo:

$\frac{x-4}{x+3} > 0$

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:

$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$

Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza:

$\frac{-x+5}{x+2} \ge 0$

Risolvi la disequazione:

$\frac{x}{x-5} < 0$

Trova l'intervallo delle soluzioni della disequazione razionale:

$\frac{3x-9}{-x+4} \ge 0$

Risolvi la seguente disequazione:

$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$

Determina i valori di $x$ che verificano:

$\frac{4}{x-6} \le 0$

Risolvi la disequazione:

$\frac{-5}{2x+3} > 0$

Marco cerca di risolvere alla lavagna la disequazione razionale $\frac{x - 3}{x + 2} \le 0$ e segue questo procedimento:

«Moltiplico entrambi i membri per $(x + 2)$ per eliminare il denominatore: $(x - 3) \le 0 \cdot (x + 2) \implies x - 3 \le 0 \implies x \le 3$. Quindi l'insieme delle soluzioni è $(-\infty, 3]$».

1. a) Individua e spiega in modo motivato l'errore concettuale che commette Marco moltiplicando per $(x + 2)$. Perché questa operazione non è valida in una disequazione se non si conosce il segno dell'espressione?
2. b) Correggi l'esercizio risolvendo la disequazione passo dopo passo mediante lo studio dei segni negli intervalli corrispondenti e scrivi la soluzione corretta sotto forma di intervallo, giustificando perché un estremo è aperto e l'altro chiuso.

Data la disequazione razionale $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$:

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo formale, stima il comportamento della frazione: quale segno avrà se calcoliamo valori di $x$ positivi molto grandi (ad esempio $x = 100$)? E se prendiamo valori negativi con valore assoluto molto grande (ad esempio $x = -100$)? Da questa osservazione, congettura se la soluzione sarà formata dall'unione di due semirette illimitate o da un unico intervallo limitato centrale.
2. b) Risolvi la disequazione trovando le radici del numeratore e del denominatore e costruendo la tabella dei segni.
3. c) Verifica se il risultato ottenuto conferma la tua stima iniziale e spiega perché entrambi gli estremi devono essere aperti nonostante il numeratore si annulli in $x = -5$.

Risolvi la seguente disequazione razionale ed esprimi la soluzione mediante intervalli:

$\frac{x^2-5x+6}{x^2-1} \le 0$

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:

$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$

Il costo medio giornaliero (in euro) di produzione di $x$ componenti elettronici in una fabbrica è dato dall'espressione $C(x) = \frac{800+15x}{x}$. Determina per quali livelli di produzione il costo medio sarà strettamente inferiore a $25$ euro per componente.

Il tempo $T$ (in ore) che un'imbarcazione impiega a percorrere una distanza di $120$ km a favore di corrente è modellizzato da $T(v) = \frac{120}{v+4}$, dove $v$ è la velocità propria della barca in km/h. Per quali velocità $v > 0$ il tragitto sarà compiuto in meno di $5$ ore?

Risolvi la disequazione razionale, prestando particolare attenzione alle radici multiple del numeratore:

$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$

Il tasso di crescita di una popolazione batterica (in migliaia di batteri all'ora) in funzione del tempo $t$ (in ore) è dato dalla funzione $R(t) = \frac{t^2-16}{t+2}$. In quali intervalli di tempo $t \ge 0$ il tasso di crescita è strettamente positivo?

Determina l'insieme dei valori che soddisfano la seguente disuguaglianza tra frazioni algebriche:

$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$

La concentrazione di un farmaco nel flusso sanguigno, misurata in mg/L, $t$ ore dopo la somministrazione è data dalla funzione $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. Per quale intervallo di tempo $t \ge 0$ la concentrazione del farmaco è maggiore o uguale a $1$ mg/L?

Costruisci una disequazione razionale della forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, dove sia $P(x)$ sia $Q(x)$ sono polinomi di grado 1 o 2 scomposti in fattori lineari, in modo che il suo insieme delle soluzioni sia esattamente $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Per giustificare la tua costruzione:

1. Spiega in quale posizione (numeratore o denominatore) devi collocare ciascuna radice per garantire quali estremi sono inclusi e quali sono necessariamente esclusi dall'insieme delle soluzioni.

2. Determina il segno complessivo della frazione (o del coefficiente di grado massimo) affinché i tratti positivi coincidano con gli intervalli richiesti.

3. Verifica il risultato costruendo la tabella dei segni completa della disequazione che hai proposto.

Per risolvere la disequazione razionale $\frac{2x - 5}{x - 1} \le 1$, tre studenti propongono strategie diverse:

• Lucia porta il $1$ al primo membro sottraendolo, riduce a denominatore comune per ottenere un'unica frazione ridotta ai minimi termini $\frac{P(x)}{Q(x)} \le 0$ e costruisce la tabella dei segni.

• Sergio moltiplica entrambi i membri per $(x - 1)^2$, affermando che, essendo un quadrato, è strettamente positivo per ogni $x \ne 1$, il che evita di invertire il verso della disuguaglianza ed elimina i denominatori.

• Paola divide il problema in due casi a seconda del segno del denominatore: Caso 1 ($x - 1 > 0$) in cui moltiplica direttamente mantenendo il verso, e Caso 2 ($x - 1 < 0$) in cui inverte il verso della disuguaglianza, unendo le soluzioni alla fine.

1. a) Analizza la validità matematica dei tre procedimenti: sono tutti corretti dal punto di vista algebrico?
2. b) Confronta i tre metodi e giustifica quale ritieni più efficiente e sicuro per ridurre al minimo gli errori di calcolo al terzo anno di liceo.
3. c) Risolvi la disequazione applicando il metodo che hai scelto come preferibile.

Risolvi la seguente disequazione razionale in cui il numeratore è un polinomio di terzo grado:

$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$

Determina il dominio della funzione di variabile reale $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.

Trova l'insieme delle soluzioni della seguente disequazione razionale:

$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$

Determina per quali valori del parametro reale $k$ la seguente disequazione è verificata per ogni $x \in \mathbb{R}$:

$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$

In ottica, l'equazione delle lenti sottili mette in relazione la distanza focale $f$, la distanza dell'oggetto $p$ e la distanza dell'immagine $q$ mediante la formula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Se si usa una lente con distanza focale $f = 12$ cm, determina per quali distanze dell'oggetto $p > 0$ la distanza dell'immagine $q$ sarà maggiore di $24$ cm.

Risolvi la disequazione razionale, scomponendo prima in fattori i polinomi del numeratore e del denominatore:

$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$

L'indice di efficienza termica $E(r)$ di un sistema di raffreddamento cilindrico dipende dal raggio $r$ (in metri) dei condotti secondo la funzione $E(r) = \frac{r^2-4r+3}{r^2-6r+8}$. Gli ingegneri hanno bisogno che questo indice sia strettamente negativo perché il sistema non si surriscaldi. Per quali valori del raggio $r > 0$ il sistema è sicuro? Aiutati con la rappresentazione grafica della funzione per giustificare la risposta.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni razionali ed esprimi il risultato come unione di intervalli:

$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$

Un gruppo di studenti di prima liceo di Belluno organizza una gita sulle Alpi. L'azienda di autobus applica una tariffa fissa di $540$ € per il noleggio del mezzo più $12$ € a persona per ogni posto occupato a titolo di assicurazione di viaggio e gestione. L'autobus ha una capacità massima di $55$ posti e, per politica aziendale, non effettua il viaggio se viaggiano meno di $15$ persone.

Affinché l'attività sia approvata dalla scuola, il costo medio per studente partecipante, $C_m(x)$, non deve superare i $25$ €.

1. a) Scrivi l'espressione analitica del costo medio $C_m(x)$ in funzione del numero di studenti $x$ e imposta la disequazione razionale corrispondente, indicando le restrizioni sulla variabile $x$ imposte dal contesto reale.
2. b) Risolvi algebricamente la disequazione razionale portando tutti i termini a un membro, riducendo a un'unica frazione e studiando i segni dei fattori.
3. c) Determina qual è il numero minimo di studenti che devono iscriversi affinché la gita sia economicamente sostenibile.
4. d) Se, a causa di un aumento del prezzo del carburante, l'azienda porta il costo fisso a $630$ €, calcola quanti studenti in più sarebbero necessari come minimo rispetto al caso precedente per non superare il limite di $25$ € a persona.

Si considera la famiglia di disequazioni razionali dipendenti dal parametro reale $k$:

1. a) Svolgi un'analisi preliminare: studia il discriminante del numeratore, $\Delta = k^2 - 64$. Spiega come influisce il segno di $\Delta$ sul numero di radici reali del numeratore e sui possibili cambiamenti di segno sulla retta reale.
2. b) Determina, motivando, il valore positivo di $k$ per cui l'insieme delle soluzioni della disequazione è esattamente $(-\infty, 2) \cup \{4\}$. Giustifica perché compare un punto isolato ($x = 4$) come parte della soluzione invece di un intervallo continuo.
3. c) Con il valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, verifica la validità del risultato costruendo la tabella dei segni in ciascuno dei tratti determinati dalle radici.
4. d) Senza eseguire ulteriori calcoli, deduci quale sarebbe l'insieme delle soluzioni se la disequazione originale fosse stata stretta: $\frac{x^2 - kx + 16}{x - 2} < 0$.