Esercizi: Disequazioni lineari in un'incognita

Risolvi la seguente disequazione di primo grado:

$3x - 5 < 2x + 4$

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione eliminando prima le parentesi:

$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$

Risolvi la seguente disequazione con denominatori:

$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$

Traduci in linguaggio algebrico e risolvi: "Il doppio di un numero meno tre unità è strettamente minore del numero stesso più cinque unità."

Data la disequazione $4x - 7 \ge 2x + 1$, verifica quali dei seguenti valori appartengono al suo insieme delle soluzioni: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.

Lucia ha risolto alla lavagna la disequazione $5 - 2x \le 11$ seguendo questi passaggi:

1) Sottrae $5$ da entrambi i membri: $-2x \le 6$.

2) Porta il $-2$ a dividere: $x \le \frac{6}{-2}$.

3) Conclude che la soluzione è $x \le -3$, cioè l'intervallo $(-\infty, -3]$.

Tuttavia, verificando con il valore $x = 0$ (che non appartiene al suo insieme delle soluzioni), osserva che $5 - 2\cdot 0 = 5 \le 11$, che è una disuguaglianza senza dubbio vera.

1. a) Individua e spiega in modo ragionato l'errore concettuale commesso da Lucia nel suo sviluppo algebrico.
2. b) Basandoti sulla retta reale e sull'inversione dell'ordine tra numeri opposti, giustifica perché il verso della disuguaglianza va invertito quando si divide per una quantità negativa.
3. c) Determina l'insieme delle soluzioni corretto sia in forma di disuguaglianza sia in notazione a intervalli.

Per risolvere la disequazione $3 - 5x < 18$, due compagni di classe propongono due strategie diverse:

• Metodo A (Marco): Lavora lasciando l'incognita nel membro di sinistra. Sottrae $3$ da entrambi i membri e poi divide per $-5$, ricordandosi di invertire il verso della disuguaglianza per ottenere $x > -3$.

• Metodo B (Sara): Preferisce evitare di dividere per numeri negativi. Somma $5x$ a entrambi i membri per ottenere $3 < 18 + 5x$ e isola l'incognita nel membro di destra senza mai alterare il verso della disuguaglianza.

1. a) Sviluppa completamente il procedimento di Sara (Metodo B) e verifica che si ottiene esattamente la stessa soluzione del Metodo A.
2. b) Confronta criticamente i due metodi: quale vantaggio offre il metodo di Sara per evitare i tipici errori di segno e quale precauzione particolare richiede nello scrivere l'intervallo delle soluzioni finale a partire dall'espressione ottenuta?

Una piccola azienda produce custodie per cellulari. I costi fissi mensili sono di $500$ euro e produrre ogni custodia costa $2$ euro. Se ogni custodia viene venduta a $5$ euro, imposta una disequazione e determina quante custodie devono essere vendute al mese come minimo per ottenere un profitto di almeno $1000$ euro.

La relazione tra la temperatura in gradi Fahrenheit ($F$) e in gradi Celsius ($C$) è data dalla formula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Imposta una disequazione e risolvila per determinare a partire da quale temperatura in gradi Celsius si superano i $86$ gradi Fahrenheit.

Uno studente di terza liceo ha ottenuto i seguenti voti nelle sue prime tre verifiche di matematica: $6,5$, $7,0$ e $8,2$. Quale voto minimo deve ottenere nella quarta verifica affinché la sua media sia uguale o superiore a $7,5$?

Considera la disequazione $3x - a > 2x + 5$, dove $a$ è un parametro reale. Calcola il valore di $a$ sapendo che l'insieme delle soluzioni della disequazione è l'intervallo $(8, \infty)$.

Un'azienda di noleggio auto (Ditta A) applica una tariffa fissa di $30$ euro più $0,15$ euro per ogni chilometro percorso. Un'altra azienda concorrente (Ditta B) applica $15$ euro fissi più $0,20$ euro per chilometro. Imposta una disequazione per scoprire da quanti chilometri in poi è più conveniente noleggiare l'auto presso la Ditta A e interpreta il risultato aiutandoti con il seguente grafico.

Una persona che abita a Viterbo si reca periodicamente a Roma per motivi di studio con il treno regionale. Il biglietto di sola andata costa $8,40\text{ \euro}$. Trenitalia offre una tessera mensile con un costo fisso di abbonamento di $45\text{ \euro}$, con la quale ogni singolo biglietto passa a costare una tariffa ridotta di $2,60\text{ \euro}$.

1. a) Modella la situazione impostando una disequazione lineare che permetta di determinare a partire da quale numero di viaggi mensili, $x$, risulta più conveniente acquistare l'abbonamento mensile rispetto ai biglietti singoli.
2. b) Risolvi algebricamente la disequazione impostata.
3. c) Tenendo conto della natura della variabile (numero intero di viaggi), interpreta il risultato e indica con precisione qual è il numero minimo di viaggi mensili che rende economicamente conveniente acquistare l'abbonamento.

Data la disequazione con denominatori:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \ge \frac{x}{2} - 1$

1. a) Prima di operare algebricamente, fai una stima ragionata: calcola il valore numerico del membro di sinistra e del membro di destra per i valori interi di prova $x = 0$ e $x = 10$. Sulla base di queste due verifiche, deduci se ti aspetti che le soluzioni della disequazione corrispondano a valori piccoli (minori di un limite) o a valori grandi (maggiori di un limite).
2. b) Risolvi la disequazione in modo esatto moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori ed esprimi l'insieme delle soluzioni ottenuto sotto forma di intervallo.
3. c) Verifica se il risultato trovato è coerente con la tua stima iniziale del punto a) e controlla esplicitamente se l'estremo dell'intervallo soddisfa l'uguaglianza corrispondente.

Discuti e risolvi la disequazione $kx - 3 \le 2x + k$ al variare del parametro reale $k$.

Risolvi la seguente disequazione letterale nell'incognita $x$, supponendo che i parametri soddisfino la condizione $a > b > 0$:

$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$

Una compagnia di telecomunicazioni offre due tariffe dati. La Tariffa Piatta costa $10$ euro al mese e include $2$ GB di dati, con un costo di $2$ euro per ogni GB aggiuntivo. La Tariffa Plus costa $20$ euro al mese e include $5$ GB di dati, con un costo di $1,5$ euro per ogni GB aggiuntivo. Se un utente sa che consuma sempre più di $5$ GB al mese, quanti gigabyte deve consumare almeno perché la Tariffa Plus gli risulti strettamente più conveniente della Tariffa Piatta?

Un montacarichi ha una capacità massima di $800$ kg. Un operaio che pesa $75$ kg deve portare su scatole di materiale edile che pesano $22$ kg ciascuna. Se l'operaio deve sempre accompagnare il carico nel montacarichi, imposta e risolvi una disequazione per determinare il numero massimo di scatole intere che può trasportare in un solo viaggio.

Si vogliono determinare i parametri interi $a$ e $b$ che definiscono la disequazione lineare:

$\frac{ax + 5}{3} - b < x + 1$

sapendo che sono verificate contemporaneamente due condizioni:

1) Il suo insieme delle soluzioni è esattamente la semiretta aperta $(-\infty, 4)$.

2) Se si calcola il primo membro della disequazione in $x = 1$, l'espressione $\frac{ax + 5}{3} - b$ assume esattamente il valore $1$.

1. a) Deduci algebricamente il valore dei coefficienti $a$ e $b$ impostando le equazioni o le relazioni necessarie a partire dalle informazioni disponibili.
2. b) Spiega quale ruolo fondamentale svolge il segno del coefficiente $(a - 3)$ quando si isola $x$ e giustifica rigorosamente perché, con i valori ottenuti, l'insieme delle soluzioni è $(-\infty, 4)$ e non $(4, +\infty)$.

Considera la disequazione lineare nell'incognita $x$ dipendente dal parametro reale $m$:

$m(x - 2) + 3x \le 2m + 5(x - 1)$

1. a) Raccogli i termini simili e trasforma la disequazione nella forma ridotta $(m - 2)x \le k(m)$, dove $k(m)$ è un polinomio di grado 1 in $m$.
2. b) Discuti in modo motivato l'insieme delle soluzioni della disequazione al variare dei valori reali di $m$. Specifica per quali valori di $m$ la soluzione è una semiretta verso $-\infty$, per quali è verso $+\infty$, e se esiste un valore per cui la disequazione è soddisfatta da ogni numero reale ($S = \mathbb{R}$) o da nessuno ($S = \emptyset$).
3. c) Uno studente di liceo afferma: «Poiché per $m = 2$ il coefficiente di $x$ diventa $0$, la disequazione perde di significato e non ha affatto soluzioni». Analizza in modo critico tale affermazione sostituendo direttamente $m = 2$ nell'espressione ridotta e stabilisci se è vera o falsa.