Esercizi: Disequazioni di secondo grado

Risolvi la seguente disequazione di secondo grado ed esprimi la soluzione sotto forma di intervallo:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Risolvi la disequazione incompleta:

$2x^2 - 8x \le 0$

Determina i valori di $x$ che verificano la seguente disuguaglianza:

$3x^2 - 27 < 0$

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Indica l'insieme delle soluzioni della disequazione, motivando la risposta:

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado in un'incognita:

$x^2 - 4 \le 0$

$x^2 - x \ge 0$

Determina per quali valori di $x$ vale la seguente disuguaglianza:

$4x^2 - 12x + 9 > 0$

Per risolvere la disequazione di secondo grado $x^2 \ge 6x$, Marco scrive nel suo compito il seguente ragionamento:

«Divido entrambi i membri per $x$ e ottengo $x \ge 6$. Quindi l'insieme delle soluzioni è l'intervallo $[6, +\infty)$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco. Perché non è lecito dividere una disequazione per un'incognita senza conoscerne prima il segno?
2. b) Correggi l'esercizio risolvendo la disequazione con il procedimento generale (portare tutto al primo membro, trovare le radici e studiare il segno negli intervalli risultanti) ed esprimi l'insieme delle soluzioni corretto sotto forma di intervallo.

Costruisci una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c < 0$ che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1) Il suo insieme delle soluzioni è esattamente l'intervallo aperto $(-4, 1)$.

2) Il coefficiente di grado massimo è $a = 2$.

1. a) Determina in modo motivato i valori numerici dei coefficienti $b$ e $c$.
2. b) Spiega, usando il segno di $a$ e la forma della parabola associata, perché il polinomio ottenuto assume valori strettamente negativi solo nel tratto interno compreso tra le due radici e non all'esterno.

L'altezza $h$ in metri di un proiettile lanciato verticalmente verso l'alto in funzione del tempo $t$ in secondi è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Imposta e risolvi la disequazione corrispondente per determinare in quale intervallo di tempo il proiettile si trova a un'altezza strettamente superiore a $17$ metri.

Il guadagno giornaliero di un'azienda, espresso in centinaia di euro, nella produzione di $x$ unità di un prodotto è modellizzato dalla funzione quadratica $B(x) = -0,5x^2 + 40x - 350$. Quante unità deve produrre ogni giorno per non essere in perdita? Esprimi il risultato sotto forma di intervallo.

Si dispone di una corda di $40$ metri per recintare un orto rettangolare sfruttando un muro già esistente come uno dei lati. Se $x$ è la lunghezza dei lati perpendicolari al muro, per quali valori di $x$ l'area recintata sarà di almeno $150 \text{ m}^2$? Tieni conto che le dimensioni dell'orto devono essere positive.

Risolvi la seguente disequazione svolgendo prima i calcoli per ridurla alla forma generale ed esprimi il risultato sotto forma di intervallo:

$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$

A partire dalla rappresentazione grafica della parabola $y = f(x)$, determina visivamente l'insieme delle soluzioni della disequazione $f(x) \le 0$.

Trova il dominio della seguente funzione reale di variabile reale:

$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$

L'area della zona centrale rettangolare di un campo sportivo deve essere strettamente minore di $800 \text{ m}^2$. Se la lunghezza del campo è il doppio della sua larghezza $x$ più $10$ metri, imposta la disequazione corrispondente e deduci quali valori può assumere la larghezza del campo.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni e dai la soluzione finale sotto forma di intervallo:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$2x + 5 \ge 1$

In classe si propone di risolvere la disequazione di secondo grado $4x^2 - 12x + 9 \le 0$. Due studenti scelgono strategie diverse:

• Metodo 1 (Marco): Applica la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado, verifica che il discriminante è zero, trova la radice doppia $x = 1,5$, divide la retta reale in due intervalli a sinistra e a destra di $1,5$ e valuta un numero di prova in ciascuno per dedurre il segno.

• Metodo 2 (Sara): Riconosce subito che il polinomio è il prodotto notevole $(2x - 3)^2$ e deduce la soluzione direttamente ragionando sulle proprietà dei quadrati nei numeri reali.

1. a) Spiega come Sara deduce la soluzione a partire dal prodotto notevole senza dover provare alcun valore numerico.
2. b) Confronta l'efficacia dei due metodi e giustifica quale sia più vantaggioso in questo caso.
3. c) Che cosa sarebbe successo se la disequazione iniziale fosse stata $4x^2 - 12x + 9 < 0$? E se fosse stata $4x^2 - 12x + 9 > 0$? Scrivi la soluzione di ciascuno di questi due nuovi casi giustificando la risposta.

Durante un'ondata di freddo nella provincia di Cuneo, l'agenzia meteorologica registra che la temperatura $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) nel corso di una giornata invernale dipende dall'ora solare $t$ (con $t \in [0, 24]$ misurato in ore a partire dalle 00:00) secondo la funzione quadratica:

Per evitare che si congelino le tubature dell'acqua di un'azienda zootecnica, il sistema automatico di riscaldamento deve attivarsi finché la temperatura è strettamente negativa ($T(t) < 0$).

1. a) Imposta la disequazione di secondo grado corrispondente e risolvila analiticamente trovando le radici e costruendo la tabella dei segni.
2. b) Esprimi la soluzione sotto forma di intervallo rispettando il dominio temporale della giornata, $[0, 24]$.
3. c) Interpreta il risultato ottenuto indicando con precisione in quali fasce orarie della giornata il riscaldamento resterà acceso.

Determina per quali valori del parametro $m$ la disequazione di secondo grado $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ è verificata per ogni numero reale $x$.

La popolazione di una certa specie invasiva in un lago, misurata in migliaia di individui, segue il modello $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, dove $t$ è il tempo in mesi da quando è stata rilevata l'invasione. Le autorità decidono di intervenire quando la popolazione supera i $14.000$ individui. Tuttavia, il trattamento ecologico è efficace solo se può essere applicato per almeno $3$ mesi consecutivi in cui la popolazione si mantiene al di sopra di quella soglia. Imposta la disequazione e determina se, secondo questo modello, sarà possibile applicare il trattamento con successo.

Si vuole costruire un vassoio senza coperchio a partire da una lamina rettangolare di alluminio di $30 \times 20 \text{ cm}$, ritagliando quadrati identici di lato $x$ nei quattro angoli e piegando verso l'alto le alette risultanti. Se per requisiti di progetto serve che l'area della base del vassoio sia di almeno $200 \text{ cm}^2$, imposta e risolvi la disequazione corrispondente per trovare l'intervallo dei possibili valori di $x$.

Risolvi la seguente disequazione biquadratica mediante un cambio di variabile ed esprimi la soluzione finale come unione di intervalli:

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$

Il cavo principale di sospensione di un ponte ha la forma di una parabola. Prendendo come origine delle coordinate il punto più basso del cavo, l'altezza $y$ (in metri) del cavo rispetto alla carreggiata a una distanza orizzontale $x$ (in metri) dal centro è data dalla funzione $y = 0,005x^2 + 2$. Per ragioni di sicurezza aeronautica, devono essere installate luci di segnalazione nei tratti del cavo la cui altezza rispetto alla carreggiata è compresa tra $10 \text{ m}$ e $22 \text{ m}$. Imposta il sistema di disequazioni e calcola in quali intervalli di distanza orizzontale dal centro verranno installate queste luci.

Risolvi la disequazione con valore assoluto trasformandola prima in un sistema di disequazioni di secondo grado:

$|x^2 - 4x| \le 5$

Trova il dominio della seguente funzione, che combina restrizioni su radicandi e denominatori:

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$

Date le funzioni quadratiche $f(x) = x^2 - 2x - 3$ e $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analiticamente in quale intervallo della retta reale vale $f(x) < g(x)$. Basandoti sul grafico allegato che rappresenta entrambe le funzioni e l'area compresa tra di esse, verifica la coerenza del tuo risultato.

Considera la disequazione di secondo grado $(2x - 1)^2 < 3x + 14$.

1. a) Stima: Prima di effettuare qualsiasi trasformazione algebrica, calcola mentalmente entrambi i membri della disuguaglianza nei numeri interi $x = -2$, $x = -1$, $x = 2$ e $x = 3$. Con questi dati, deduci tra quali due interi consecutivi deve trovarsi la radice minore e tra quali due interi consecutivi la radice maggiore. Da ciò, azzarda una stima ragionata dell'intervallo delle soluzioni.
2. b) Risolvi: Porta tutti i termini al primo membro, riduci il polinomio alla forma $ax^2 + bx + c < 0$, calcola le sue radici esatte con la formula risolutiva e determina l'insieme delle soluzioni analiticamente mediante una tabella dei segni.
3. c) Verifica: Usa l'approssimazione $\sqrt{257} \approx 16,03$ per esprimere gli estremi dell'intervallo in forma decimale e controlla se la tua stima del punto a) era coerente. Infine, spiega, basandoti sulla continuità delle funzioni polinomiali, perché il segno del polinomio di secondo grado non può cambiare in nessun punto intermedio tra le due radici calcolate.

Si vogliono determinare in modo univoco i coefficienti di una disequazione di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c \le 0$ a partire dalle seguenti informazioni sul polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$:

1) L'insieme delle soluzioni della disequazione $P(x) \le 0$ è esattamente l'intervallo chiuso $[-1, 5]$.

2) Il vertice della parabola associata a $P(x)$ raggiunge un valore minimo assoluto pari a $-18$.

1. a) Giustifica in modo motivato il segno del coefficiente di grado massimo $a$ a partire dalla geometria della parabola e dal fatto che la soluzione sia un unico intervallo limitato e non l'unione di due semirette disgiunte.
2. b) Trova i valori numerici esatti di $a$, $b$ e $c$.
3. c) Senza eseguire ulteriori calcoli algebrici né costruire nuove tabelle dei segni, deduci con giustificazione l'insieme delle soluzioni delle seguenti tre disequazioni:

• $ax^2 + bx + c < -18$

• $ax^2 + bx + c \ge -18$

• $ax^2 + bx + c > 0$