Esercizi: Disequazioni con valore assoluto

Risolvi la disequazione $|x - 5| < 3$ ed esprimi la soluzione sotto forma di intervallo.

Trova tutti i numeri reali $x$ che soddisfano la disuguaglianza $|2x + 4| \geq 8$.

Esprimi mediante una disequazione con valore assoluto il seguente enunciato: "La distanza tra un numero $x$ e $7$ è strettamente minore di $4$". Poi determina l'insieme delle soluzioni.

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto: $|3x - 1| \leq 5$.

Determina l'insieme delle soluzioni della disequazione $|-x + 6| > 2$.

Risolvi la disequazione $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.

Giustifica se le seguenti disequazioni hanno soluzione nell'insieme dei numeri reali e, in caso affermativo, trovala:

1. a) $|x + 4| \leq 0$
2. b) $|2x - 5| < -1$

Risolvi la disuguaglianza $5 - |x - 2| > 1$.

Un'azienda di trasporto di medicinali termolabili in Italia deve mantenere il proprio furgone refrigerato entro l'intervallo di temperature $[-2\text{ }^\circ\text{C}, 6\text{ }^\circ\text{C}]$ per non interrompere la catena del freddo.

1. a) Scrivi una disequazione con valore assoluto della forma $|T - T_0| \leq k$ che modellizzi esattamente questo intervallo ammissibile di temperature, identificando che cosa rappresentano geometricamente $T_0$ (temperatura centrale) e $k$ (margine di tolleranza) sulla retta reale.
2. b) Se per un guasto momentaneo al termostato la sonda registra una temperatura di $7,2\text{ }^\circ\text{C}$, verifica analiticamente se la disequazione è soddisfatta e calcola la distanza a cui si trova rispetto alla temperatura ottimale $T_0$.

Marco deve risolvere in un compito la disequazione $|3x - 9| \leq -3$ e consegna il seguente svolgimento:

«$-(-3) \leq 3x - 9 \leq -3 \implies 3 \leq 3x - 9 \leq -3$. Sommo 9 a tutti i membri: $12 \leq 3x \leq 6$. Divido per 3: $4 \leq x \leq 2$. Quindi la soluzione sono i numeri compresi tra 4 e 2».

1. a) Indica due gravi errori concettuali commessi da Marco: uno nella sua interpretazione iniziale del valore assoluto rispetto ai numeri negativi e uno nel significato della catena di disuguaglianze ottenuta.
2. b) Senza eseguire ulteriori calcoli algebrici, deduci qual è il vero insieme delle soluzioni della disequazione e giustifica la risposta a partire dalla definizione di valore assoluto come distanza sulla retta reale.

In una fabbrica di componenti elettronici, la lunghezza ideale di un chip è di $12,5$ mm. Per esigenze di controllo qualità, si accetta un margine di errore massimo di $0,15$ mm. Scrivi una disequazione con valore assoluto che modellizzi questa situazione per la lunghezza $L$ del chip e risolvila per trovare l'intervallo delle lunghezze accettabili.

Risolvi la disequazione quadratica con valore assoluto $|x^2 - 5| < 4$.

Trova i valori di $x$ che soddisfano la disequazione $|2x - 3| < x + 1$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni lineari con valore assoluto:

Il pH di una piscina deve essere mantenuto a un livello ottimale di $7,4$. Affinché l'acqua sia adatta alla balneazione, la differenza assoluta tra il pH attuale e quello ottimale non deve superare il $5\%$ del valore ottimale. Imposta la corrispondente disequazione con valore assoluto e determina l'intervallo di pH consentito.

Risolvi la disequazione razionale con valore assoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geometricamente il valore assoluto come distanza tra punti sulla retta reale.

La temperatura $T$ (in gradi Celsius) di un forno industriale oscilla durante il funzionamento in modo che $|2T - 300| \leq 50$. Se per ragioni di sicurezza nel processo di fusione la temperatura non può mai scendere sotto $130^\circ$C, verifica matematicamente se il forno rispetta la normativa di sicurezza garantita dalla sua oscillazione.

Secondo dati agronomici applicati alla provincia di Bari, la fioritura ottimale dell'olivo in primavera richiede che la temperatura media giornaliera $T$ (in $^\circ\text{C}$) soddisfi $|T - 18| \leq 4$. Parallelamente, i tecnici avvertono che un'infestazione endemica prolifera rapidamente solo se la temperatura ambientale soddisfa la condizione $|2T - 30| \geq 12$.

1. a) Risolvi analiticamente entrambe le disequazioni ed esprimi le soluzioni sotto forma di intervalli.
2. b) Determina l'intervallo di temperature in cui l'olivo si trova in condizioni ottimali di fioritura e, allo stesso tempo, esiste il rischio di sviluppo dell'infestazione.
3. c) Se durante una settimana anomala di aprile si registra una temperatura media costante di $13,5\text{ }^\circ\text{C}$, stabilisci se l'agricoltore deve preoccuparsi per la fioritura, per l'infestazione o per nessuna delle due.

Considera la disequazione con valore assoluto $|2x - 5| \leq x + 1$.

1. a) Stima: prima di applicare tecniche algebriche, analizza il segno del membro di destra ($x + 1$): quale condizione minima deve soddisfare $x$ affinché la disequazione possa avere soluzione? A partire da questo limite e valutando mentalmente alcuni semplici numeri interi ($x = 0, 1, 2, 3, 5, 7$), stima tra quali due interi si troverà l'intervallo delle soluzioni.
2. b) Calcola: risolvi la disequazione trasformandola nella corrispondente doppia disuguaglianza e scrivi l'intervallo esatto della soluzione.
3. c) Verifica: confronta l'intervallo ottenuto con la tua stima iniziale. Gli interi che avevi previsto sono contenuti? Verifica inoltre che cosa accade numericamente nei due estremi dell'intervallo.

Risolvi la disequazione $|x^2 - 4x| > 3x$. Esprimi la soluzione sotto forma di unione di intervalli.

Determina per quali valori del parametro reale $k$ l'insieme delle soluzioni della disequazione $|x - k| \leq 3$ è strettamente contenuto nell'intervallo $[-1, 8]$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni combinate:

Trova l'insieme delle soluzioni della disequazione $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.

La figura mostra il grafico di $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (in blu) e la retta $y = 6$ (in verde). Puoi usarla per verificare il risultato che otterrai per via algebrica.

La rapidità di un veicolo in un istante $t$ (in secondi) è data dall'espressione $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina in quale intervallo di tempo la rapidità del veicolo è strettamente minore di $6$ m/s e calcola la distanza totale percorsa in tale intervallo, considerando che il veicolo si muove in linea retta.

Risolvi la disequazione razionale con valore assoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.

Considera la disequazione $|x^2 - a^2| \leq a^2$, dove $a > 0$ è un parametro reale costante. Esprimi l'insieme delle soluzioni di questa disequazione in funzione del parametro $a$.

In uno studio di ottica e rifrazione, la deviazione di un fascio di luce rispetto alla sua traiettoria ideale è data dalla funzione $d(x) = |x| - |x - 2|$. Risolvi la disequazione $|d(x)| \leq 1$ per trovare i valori di $x$ per cui la deviazione resta entro i margini tollerabili dallo strumento.

Per risolvere la disequazione $|x^2 - 2x| \leq |x|$, due studenti propongono strade diverse:

• Alba: eleva al quadrato entrambi i membri sfruttando il fatto che sono entrambi non negativi, $(x^2 - 2x)^2 \leq x^2$, e risolve la disequazione polinomiale risultante portando tutto al primo membro e scomponendo come differenza di quadrati.

• Bruno: applica la proprietà $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ nel membro di sinistra per estrarre il fattore $|x|$, analizza separatamente che cosa accade se $x = 0$ e, supponendo $x \neq 0$, divide entrambi i membri per $|x|$ per risolvere una disequazione lineare con valore assoluto molto più semplice.

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi fino a trovare l'insieme delle soluzioni.
2. b) Confronta i due procedimenti: quale ritieni più efficiente e meno soggetto a errori di calcolo? Giustifica la risposta.
3. c) Spiega perché il metodo di Alba, che eleva al quadrato, è matematicamente lecito in questa disequazione, ma risulterebbe non valido o genererebbe soluzioni false se la disequazione iniziale fosse stata $|x^2 - 2x| \leq x$.

Considera la famiglia di disequazioni dipendenti dal parametro reale $m$ data da:

1. a) Basandoti sull'interpretazione geometrica del valore assoluto come distanza tra punti della retta reale, spiega il significato della somma $|x - 3| + |x + 1|$ e dimostra, motivando, che il suo valore minimo per ogni $x \in \mathbb{R}$ è 4.
2. b) A partire dal ragionamento precedente, determina, giustificando, per quali valori di $m$ la disequazione:

1. Non ha alcuna soluzione reale.

2. Ha come soluzione un unico punto (se ritieni che sia impossibile per qualsiasi $m$, giustifica perché).

3. Ha come soluzione esattamente l'intervallo $[-1, 3]$.

1. c) Se fissiamo $m = 8$, deduci la lunghezza e gli estremi dell'intervallo delle soluzioni basandoti esclusivamente sulla simmetria rispetto al punto medio del segmento $[-1, 3]$ e sulle distanze, senza impostare tabelle dei segni né scomporre in tre tratti.