Esercizi: Trasformazioni

Data la funzione $f(x) = x^2 - 3x$, scrivi l'espressione algebrica della funzione $g(x)$ che si ottiene traslando il grafico di $f(x)$ di quattro unità verso sinistra e di due unità verso l'alto.

Il grafico di una funzione $f(x)$ passa per il punto $P(-3, 5)$. Determina le coordinate del punto corrispondente nei grafici delle seguenti funzioni trasformate:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

A partire dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato in figura, descrivi i passaggi geometrici necessari per ottenere il grafico della funzione $g(x) = |f(x)|$ e calcola le coordinate dei nuovi vertici o punti di flesso.

Una mongolfiera scende con velocità costante. La sua altitudine in metri è data da $A(t) = 800 - 50t$, dove $t$ è il tempo in minuti. Una seconda mongolfiera inizia la discesa $10$ minuti più tardi esattamente con lo stesso profilo di volo. Scrivi l'espressione dell'altitudine della seconda mongolfiera $B(t)$ in funzione di $A(t)$ e sviluppa la sua espressione algebrica finale.

Data la funzione elementare $f(x) = \frac{1}{x}$, indica quali trasformazioni geometriche (traslazioni, dilatazioni, simmetrie) occorre applicare successivamente, e in quale ordine, per ottenere la funzione $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

La funzione $C(x)$ rappresenta il costo in euro di produzione di $x$ componenti elettronici. Grazie a un miglioramento tecnologico nella catena di montaggio, ora si può produrre il triplo dei componenti esattamente allo stesso costo totale. Esprimi la nuova funzione di costo $N(x)$ in termini della funzione originale $C(x)$.

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ definita nell'intervallo $[-4, 4]$. Determina il dominio e il codominio della funzione trasformata $g(x) = f(x-3) + 1$.

Esprimi la funzione $g(x) = |-x^2 + 4|$ come funzione definita a tratti, eliminando il valore assoluto e indicando chiaramente gli intervalli in cui l'espressione originale cambia di segno.

Marco sta studiando come trasformare il grafico della funzione $f(x) = x^2 - 4x$. Il suo obiettivo è ottenere l'espressione analitica di una nuova funzione $g(x)$ il cui grafico sia il risultato della traslazione di quello di $f(x)$ di esattamente $3$ unità verso destra e, successivamente, della sua riflessione rispetto all'asse delle ascisse ($X$). Marco presenta sul quaderno la seguente risoluzione:

«Per traslare di $3$ unità verso destra, sommo $3$ all'interno dell'argomento: $x \to x + 3$. Per riflettere rispetto all'asse $X$, cambio il segno della variabile indipendente: $x \to -x$. Quindi, sostituendo nella formula ottengo: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Marco nell'applicare le trasformazioni.
2. b) Mostra il procedimento corretto passo dopo passo e scrivi l'espressione algebrica di $g(x)$ in forma sviluppata e semplificata.

A partire dalla funzione quadratica elementare $f(x) = x^2$, si definisce una funzione trasformata $g(x) = a \cdot f(x - h) + k$, dove $a$, $h$ e $k$ sono numeri reali con $a \ne 0$. Si sa che il grafico di $g(x)$ ha il vertice nel punto $V(-2, 5)$ e interseca l'asse delle ordinate ($Y$) nel punto $(0, -3)$.

1. a) Deduci in modo motivato, a partire dalle proprietà geometriche delle traslazioni, i valori dei parametri $h$ e $k$.
2. b) Imposta un'equazione utilizzando il punto di intersezione con l'asse $Y$ per determinare il valore esatto del parametro $a$.
3. c) Spiega quali tre trasformazioni geometriche sono state applicate a $f(x)$ per ottenere $g(x)$ (indicando ordine, entità e versi) e scrivi l'espressione algebrica finale di $g(x)$ in forma polinomiale generale ($Ax^2 + Bx + C$).

L'utile mensile di una piccola azienda tecnologica, in migliaia di euro, è modellizzato dalla funzione $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, dove $x$ rappresenta il mese dell'anno ($x=1$ per gennaio, ecc.). L'azienda decide di posticipare di un mese il lancio della campagna di marketing, il che comporta una traslazione orizzontale della curva degli utili, e inoltre sostiene un aumento dei costi fissi di $3$ mila euro al mese. Trova la nuova espressione della funzione utile $N(x)$ e determina in quale mese verrà ora raggiunto l'utile massimo.

In uno studio di acustica, un'onda sonora di base è modellizzata dalla funzione $S(t) = \sin(t)$. Per un esperimento, l'onda originale viene amplificata moltiplicandone l'ampiezza per $4$ e resa più acuta raddoppiandone la frequenza. Inoltre, si introduce un ritardo nell'emissione di $\frac{\pi}{4}$ secondi. Scrivi l'espressione analitica della nuova onda sonora $W(t)$ e calcola il suo nuovo periodo.

Il grafico della funzione $f(x)$ è formato da due segmenti che uniscono i punti $(-4, -2)$, $(0, 4)$ e $(4, -2)$. Si definisce una nuova funzione mediante la trasformazione $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descrivi la sequenza ordinata di trasformazioni geometriche applicate a $f(x)$.

• Calcola le coordinate esatte dei nuovi vertici del grafico di $g(x)$.

L'efficienza di un pannello solare nel corso della giornata è data da una funzione $E(t)$. Si installa un nuovo modello di pannello che inizia a produrre energia $2$ ore prima e, grazie a uno speciale rivestimento di grafene, produce il $15\%$ di energia in più in ogni istante equivalente. Esprimi la nuova funzione di efficienza $N(t)$ in termini di $E(t)$. Se il pannello originale raggiungeva la massima efficienza alle 14:00, a che ora la raggiungerà il nuovo pannello?

Data la funzione elementare $f(x) = \sqrt{x}$, vogliamo ottenere la funzione $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Spiega in dettaglio due diverse sequenze di trasformazioni geometriche (cambiando l'ordine delle traslazioni e delle dilatazioni orizzontali) che permettono di ottenere $g(x)$ a partire da $f(x)$. Dimostra algebricamente che entrambe le sequenze portano alla stessa espressione.

Esprimi la funzione razionale $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ nella forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, eseguendo la divisione tra polinomi. A partire da questo risultato, descrivi passo dopo passo le trasformazioni geometriche da applicare all'iperbole equilatera $y = \frac{1}{x}$ per ottenere il grafico di $f(x)$.

Una coltura di batteri cresce secondo la funzione $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, dove $t$ è il tempo in ore. Una seconda coltura $M(t)$ parte con un quarto della popolazione iniziale della prima, ma il suo tasso di crescita è identico e si è iniziato a misurarla $4$ ore prima. Esprimi $M(t)$ in termini di $N(t)$ e semplifica l'espressione ottenuta per verificare se le due popolazioni saranno uguali in qualche momento.

Associa ciascuna delle espressioni analitiche al pannello corrispondente nella figura, sapendo che derivano tutte da trasformazioni con valore assoluto applicate alla funzione di base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Considera la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 2x - 8$ e la funzione trasformata $g(x) = |f(x)| - 5$.

1. a) Stima: senza risolvere ancora alcuna equazione di secondo grado, calcola le coordinate del vertice di $f(x)$ e i suoi punti di intersezione con l'asse $X$. A partire da questa informazione geometrica, descrivi quale effetto produce il valore assoluto sulle zone negative e come influisce la successiva traslazione verticale di $-5$ unità. Su questa base, stima in modo motivato quanti punti di intersezione con l'asse $X$ avrà la funzione $g(x)$ e tra quali valori dell'asse reale dovrebbero collocarsi approssimativamente.
2. b) Verifica: imposta e risolvi algebricamente l'equazione $g(x) = 0$ trasformandola in due equazioni quadratiche indipendenti secondo la definizione di valore assoluto. Trova tutti i punti di intersezione esatti e verifica se il numero di soluzioni e le loro posizioni concordano con la stima effettuata nel punto precedente.

Secondo i rilevamenti di una stazione meteorologica sull'altopiano dell'Alta Murgia in una giornata primaverile serena, la temperatura $T(t)$ in gradi Celsius ($^{\circ}\text{C}$) tra le $6:00$ e le $22:00$ ore ($t \in [6, 22]$) segue il modello quadratico:

$T(t) = -0,125(t - 14)^2 + 18$

dove $t$ indica l'ora solare del giorno.

Il giorno seguente arriva un fronte freddo che modifica il regime termico secondo tre effetti simultanei sul grafico:

1. Il momento di massima insolazione e di temperatura di picco viene anticipato di $2$ ore.

2. L'escursione termica diurna (differenza tra temperatura massima e minima) si riduce della metà, il che equivale a comprimere verticalmente il grafico con un fattore di scala $a = 0,5$.

3. Si verifica un ulteriore calo termico uniforme di $3\,^{\circ}\text{C}$ per tutto il giorno a causa della massa d'aria fredda.

1. a) Scrivi la relazione funzionale tra il nuovo modello $N(t)$ e il modello iniziale $T(t)$ nella forma $N(t) = a \cdot T(t - h) + k$, giustificando in dettaglio il valore e il segno di ciascuno dei parametri $a$, $h$ e $k$.
2. b) Sviluppa e semplifica l'espressione analitica finale di $N(t)$ in funzione dell'ora $t$.
3. c) Determina in modo motivato a che ora si raggiungerà la temperatura massima in questo nuovo giorno freddo e quale sarà il suo valore esatto.

Un ingegnere progetta il profilo di un ponte sospeso utilizzando come modello la curva $f(x) = e^{-x^2}$. Per requisiti geologici del terreno, deve proporre un nuovo profilo $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:

• Deve avere larghezza doppia rispetto al progetto originale.

• Il centro di simmetria del ponte deve essere spostato di $4$ unità verso destra.

• Il profilo deve essere capovolto (con la concavità verso l'alto anziché verso il basso), senza modificarne la scala verticale.

• L'altezza minima del nuovo profilo deve trovarsi esattamente a $10$ metri sopra il livello del suolo.

Determina analiticamente i valori precisi dei parametri $a$, $b$, $c$ e $d$.

Sia $f(x)$ una funzione reale dispari e periodica di periodo $T=6$. A partire da essa si definisce la funzione trasformata $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Dimostra analiticamente se la funzione $g(x)$ è pari, dispari o né l'una né l'altra. Determina inoltre se $g(x)$ è periodica e, in caso affermativo, calcola il suo periodo minimo.

Data una funzione arbitraria $f(x)$ il cui dominio è l'intervallo $[-6, 8]$ e il cui codominio è l'intervallo $[-4, 12]$, si definisce una nuova funzione mediante l'espressione $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcola in modo motivato, specificando gli effetti di ciascuna trasformazione applicata, il dominio e il codominio della funzione $h(x)$.

Nella figura è mostrata la curva di luce di una stella variabile, modellizzata dalla funzione $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, dove $t$ è misurato in giorni e $L$ in unità di luminosità. Una densa nube di polvere cosmica oscura la stella in modo tale che la luminosità osservata $O(t)$ dalla Terra sia esattamente il valore assoluto della differenza tra $L(t)$ e la sua luminosità media.

Determina l'espressione analitica di $O(t)$, calcola il suo nuovo periodo e trova in quali istanti $t \in [0, 12]$ la luminosità osservata è massima.

Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il grafico della funzione razionale $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sia simmetrico rispetto al punto $C(4, 2)$.

Una parabola ha il vertice nell'origine del sistema di coordinate e passa per il punto $(2, 4)$. Le si applicano in sequenza le seguenti trasformazioni:

1. Una contrazione orizzontale che moltiplica per $\frac{1}{3}$ le ascisse dei suoi punti.

2. Una traslazione di $5$ unità verso sinistra.

3. Una riflessione rispetto all'asse delle ascisse.

4. Una traslazione di $7$ unità verso l'alto.

Trova l'espressione analitica della funzione finale $g(x)$ e determina le coordinate esatte del suo nuovo vertice e dei suoi punti di intersezione con gli assi.

Sia data la funzione $f(x) = \ln(x)$. Si effettua un cambio di sistema di riferimento nel piano cartesiano in modo che la nuova origine si trovi nel punto $(-3, 2)$ del vecchio sistema, il verso positivo dell'asse delle ascisse venga invertito e l'unità di misura dell'asse delle ordinate si riduca della metà. Scrivi l'equazione della curva nel nuovo sistema di coordinate.

Una traiettoria programmata per un braccio robotico è data dalla funzione $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, che descrive una semicirconferenza di raggio $R$ centrata nell'origine. Il team di progettazione vuole programmare una nuova traiettoria ellittica $E(x)$ con centro nel punto $(h, k)$, semiasse orizzontale di lunghezza $a$ e semiasse verticale di lunghezza $b$ (rappresentando soltanto la metà superiore dell'ellisse).

Esprimi la funzione finale $E(x)$ indicando chiaramente la composizione di trasformazioni geometriche applicate alla funzione di base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicirconferenza di raggio $1$).

Si vuole studiare la funzione trasformata $g(x) = f(2x - 8)$ a partire da una funzione di base $f(x)$ il cui grafico è noto. Due studenti discutono su quale sia il procedimento corretto per costruire il grafico di $g(x)$ mediante trasformazioni elementari sulla variabile $x$:

• Metodo di Alba (scomporre la scala orizzontale): scrive $g(x) = f(2(x - 4))$ e afferma che si deve applicare prima una compressione orizzontale di fattore $\frac{1}{2}$ rispetto all'asse $Y$ e poi una traslazione orizzontale di $4$ unità verso destra.

• Metodo di Bruno (traslazione preventiva senza fattore): afferma che si deve applicare prima una traslazione orizzontale di $8$ unità verso destra per ottenere $f(x - 8)$ e, su questo grafico, applicare una compressione orizzontale sostituendo $x$ con $2x$, il che comprime l'intero grafico della metà rispetto all'asse $Y$.

1. a) Verifica analiticamente se i due metodi portano allo stesso risultato. A tal fine, prendi un punto generico $(x_0, y_0)$ appartenente al grafico di $f$ (cioè $y_0 = f(x_0)$) e determina quale coordinata $x$ gli corrisponde in $g(x)$ secondo ciascun metodo affinché valga $g(x) = y_0$.
2. b) Analizza criticamente i due metodi: perché il metodo di Alba è quello abitualmente raccomandato in matematica e qual è l'errore tipico in cui cadono gli studenti che cercano di applicare il metodo di Bruno senza prestare sufficiente attenzione al centro di compressione?
3. c) Sapendo che la funzione di base $f(x)$ ha un minimo relativo nel punto $(6, -3)$ e interseca l'asse $X$ in $x = 2$ e in $x = 10$, scegli il metodo che ritieni più affidabile per calcolare le coordinate del nuovo minimo relativo di $g(x)$ e i suoi nuovi punti di intersezione con l'asse $X$, giustificando ogni passaggio.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Esegui la divisione algebrica per esprimere $f(x)$ nella forma canonica $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$. A partire da tale espressione, descrivi con precisione la sequenza di trasformazioni geometriche elementari (traslazioni, dilatazioni e riflessioni) che permettono di trasformare l'iperbole di base $y = \frac{1}{x}$ nel grafico di $f(x)$.
2. b) Si definisce la famiglia di funzioni trasformate $g_m(x) = |f(x) + m|$, dove $m \in \mathbb{R}$ è una costante. Sapendo che $f(x)$ possiede un asintoto orizzontale, deduci in modo motivato per quali valori del parametro $m$ il grafico di $g_m(x)$ avrà l'asintoto orizzontale situato strettamente al di sopra della retta orizzontale $y = 3$.
3. c) Per il valore particolare $m = -1$, ottieni l'espressione semplificata all'interno del valore assoluto di $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, calcola le coordinate del punto di intersezione del suo grafico con l'asse delle ascisse e determina l'intervallo esatto della retta reale in cui il grafico di $f(x) - 1$ ha subito una riflessione rispetto all'asse $X$ a causa del valore assoluto.