Esercizi: Parità di una funzione

Determina analiticamente se la funzione polinomiale $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ è pari, dispari o nessuna delle due.

Studia la parità della funzione razionale $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando se presenta simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.

Osserva il seguente grafico e classifica la funzione rappresentata come pari, dispari o senza simmetria evidente, giustificando la tua risposta a partire dai punti notevoli.

Sapendo che il costo di manutenzione di una macchina segue una funzione pari $C(t)$ rispetto al tempo ottimale $t=0$, e che $C(4) = 150$ euro, qual è il valore di $C(-4)$?

La posizione di un oggetto in un ambiente virtuale tridimensionale è regolata da una funzione dispari $p(t)$. Se all'istante $t=3$ s la sua posizione su uno degli assi è $p(3) = -12$ m, qual era la sua posizione all'istante $t=-3$ s?

Verifica matematicamente se la funzione polinomiale $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta qualche tipo di simmetria rispetto all'asse delle ordinate o rispetto all'origine.

Completa i valori mancanti affinché la funzione $f(x)$ sia dispari in tutto il suo dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Determina analiticamente la parità della funzione trigonometrica $f(x) = 2\sin(x)$, ricordando le proprietà del seno per gli angoli negativi.

Lucia afferma in classe: «Poiché nella funzione $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ gli esponenti delle $x$ sono $3$ e $1$ (entrambi dispari), la funzione deve essere dispari. Per dimostrarlo, calcolo $f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) + 3 = -2x^3 + 5x + 3 = -(2x^3 - 5x - 3)$, e poiché quasi tutti i termini cambiano segno, si può considerare dispari a parte la costante».\na) Individua l'errore concettuale e algebrico commesso da Lucia nell'applicare la definizione di funzione dispari.\nb) Determina analiticamente se $f(x)$ è pari, dispari o nessuna delle due.\nc) Ragiona su quale modifica minima occorrerebbe fare al termine noto affinché la funzione risultante sia effettivamente simmetrica rispetto all'origine degli assi.

Data la funzione $g(x) = x^3 \cdot \sin(x)$:\na) Stima la sua parità prima di calcolare: analizza la simmetria di ciascun fattore separatamente ($x^3$ e $\sin(x)$) e, applicando la regola dei segni per il prodotto di funzioni simmetriche, anticipa se ti aspetti che $g(x)$ sia pari, dispari o nessuna delle due.\nb) Verifica formalmente la tua stima calcolando $g(-x)$ passo dopo passo e utilizzando la proprietà trigonometrica di $\sin(-x)$.\nc) Valuta numericamente $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ e $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. Questi valori coincidono con quanto prevede la parità ottenuta? Giustifica la tua risposta.

Il profilo di un arco architettonico è modellizzato dalla funzione $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dal centro in metri. Dimostra analiticamente se questo profilo è simmetrico rispetto all'asse centrale verticale (funzione pari).

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la funzione dei profitti di un'azienda, data da $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sia una funzione pari e, quindi, simmetrica rispetto a $x=0$.

La forza di attrazione elettromagnetica tra due componenti metallici è modellizzata con una funzione dispari $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, dove $d$ è la distanza. Determina il valore che deve necessariamente avere il parametro $b$ affinché tale simmetria sia soddisfatta.

Date due funzioni, $f(x)$ che è pari e $g(x)$ che è dispari, dimostra analiticamente quale parità ha la funzione prodotto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.

Il grafico mostra la metà destra (per $x \ge 0$) del profilo di un'antenna parabolica. Sapendo che la sua equazione globale corrisponde a una funzione pari, descrivi come sarebbe la metà sinistra e quale valore assumerà $f(-x)$ in funzione di $f(x)$.

Studia la parità della funzione $f(x) = x|x|$, che descrive la forza di resistenza aerodinamica di un veicolo in funzione della sua velocità $x$.

Determina analiticamente se la funzione $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ è pari, dispari o nessuna delle due.

Un'azienda di analisi dei dati utilizza la funzione $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ per misurare l'errore simmetrico di un algoritmo di previsione. Analizza e dimostra la parità di questa funzione.

In una stazione di controllo meteorologico in una zona di forte insolazione, l'escursione termica rispetto alla temperatura media giornaliera durante una giornata serena di equinozio è approssimata dal modello $T(t) = \frac{12 \cdot \cos(0,26 \cdot t)}{1 + 0,01 \cdot t^2}$, dove $t$ è il tempo in ore trascorso dal mezzogiorno solare ($t = 0$, che corrisponde alle 13:30 dell'ora ufficiale), definito per l'intervallo $t \in [-12, 12]$.\na) Dimostra analiticamente se il modello di temperatura $T(t)$ è una funzione pari, dispari o non presenta simmetria.\nb) Interpreta fisicamente il risultato: che cosa prevede questo modello sulla temperatura alle 10:30 ufficiali rispetto alla temperatura alle 16:30 ufficiali?\nc) Se dalle ore pomeridiane il vento abituale introduce un raffreddamento aggiuntivo lineare modellizzato da un termine $-0,4 \cdot t$ in tutta l'espressione, ragiona se la nuova funzione risultante manterrebbe la simmetria rispetto al mezzogiorno solare.

Considera la famiglia di funzioni razionali $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, dove $a$ e $b$ sono parametri reali.\na) Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia dispari e il suo grafico passi per il punto $(1, 3)$.\nb) È possibile scegliere valori per $a$ e $b$ in modo che $f(x)$ sia una funzione pari? Se ritieni che sia possibile, calcolali; se non lo è, giustifica algebricamente perché nessuna coppia di valori reali può ottenerlo.

Dimostra che qualsiasi funzione $f(x)$ definita in $\mathbb{R}$ può essere espressa come somma di una funzione pari $P(x)$ e di una funzione dispari $I(x)$ utilizzando le espressioni $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

Sapendo che qualsiasi funzione $f(x)$ definita in $\mathbb{R}$ può essere espressa come somma di una funzione pari $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e di una funzione dispari $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, scomponi la funzione esponenziale $f(x) = e^x$ nella somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Studia la parità della funzione $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizzata in fisica per modellizzare certi potenziali elettrici nell'intervallo $(-1, 1)$.

Se $f(x)$ è una funzione pari e $g(x)$ è una funzione dispari, determina e dimostra rigorosamente la parità della funzione composta $h(x) = f(g(x))$.

Un ingegnere progetta un pezzo meccanico il cui contorno superiore è dato da $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sapendo che il contorno è una funzione dispari, passa per i punti $(2, \frac{10}{3})$ e $(3, \frac{15}{4})$, e ha un asintoto verticale in $x=1$ (per $x>0$), calcola i valori esatti dei parametri $a, b$ e $c$.

Analizza la parità della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, che rappresenta la differenza delle distanze di un punto $P(x, 0)$ dell'asse delle ascisse da due fuochi emettitori di calore posti in $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ e $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Sia $f(x)$ una funzione polinomiale di grado 4. Se $f(x)$ è una funzione pari, $f(0)=3$, $f(1)=4$ e $f(2)=11$, determina l'espressione analitica completa di $f(x)$.

La derivata di una funzione ci dà il coefficiente angolare della sua retta tangente in ogni punto. Se $f(x)$ è una funzione dispari e derivabile in tutto $\mathbb{R}$, dimostra matematicamente che la sua funzione derivata $f'(x)$ deve essere necessariamente una funzione pari.

Per studiare la parità della funzione $h(x) = \frac{x^3 \cdot \sin(x^2)}{1 + \cos(x)}$, si propongono due strade diverse:\n- Metodo 1 (Valutazione diretta): Sostituire sistematicamente $x$ con $-x$ in tutta l'espressione, operare applicando le identità trigonometriche di parità e confrontare $h(-x)$ con $h(x)$ e $-h(x)$.\n- Metodo 2 (Algebra delle simmetrie): Scomporre $h(x)$ nel prodotto e quoziente dei blocchi elementari $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = \sin(x^2)$ e $f_3(x) = 1 + \cos(x)$, analizzare la parità di ciascun blocco mediante le regole di composizione e somma, e dedurre la simmetria globale.\na) Applica entrambi i metodi indicando tutti i passaggi analitici.\nb) Confronta le due strade: quale risulta più sicura ed efficiente per evitare errori con i segni in funzioni annidate complesse? Giustifica la tua posizione.\nc) Utilizzando il metodo che hai giustificato come più efficiente nel punto precedente, deduci direttamente la parità della funzione modificata $k(x) = \frac{x^3 \cdot \sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ senza sviluppare il calcolo diretto completo.

Progetta l'espressione algebrica di una funzione razionale $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi a coefficienti reali, privi di fattori comuni e del grado minimo possibile) che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:\n1. Il suo dominio è esattamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.\n2. $f(x)$ è una funzione dispari in tutto il suo dominio.\n3. Il suo grafico taglia l'asse delle ascisse nel punto $x = 1$.\n4. Il grafico passa per il punto $(3; -4,8)$.\n\nPer costruirla, rispondi in modo motivato ai seguenti passi:\na) Deduci il polinomio del denominatore $Q(x)$ e giustifica che parità ha.\nb) Dimostra quale parità deve avere necessariamente il numeratore $P(x)$ affinché il quoziente sia dispari.\nc) Deduci tutti gli zeri obbligatori che deve avere $P(x)$ basandoti sulla simmetria e scrivi l'espressione scomposta in fattori di $P(x)$ in funzione di una costante $a$.\nd) Determina il valore esatto della costante $a$ usando il punto dato e scrivi la formula finale semplificata di $f(x)$.