Esercizi: Funzione inversa

Trova l'espressione analitica della funzione inversa della funzione lineare $f(x) = 3x - 5$.

Determina la funzione inversa della funzione razionale $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

Calcola la funzione inversa di $h(x) = \sqrt{2x - 1}$, indicando il dominio della nuova funzione ottenuta.

Dato il grafico della funzione esponenziale $f(x) = 2^x$, disegna sul quaderno gli assi cartesiani, la bisettrice del primo quadrante ($y = x$) e traccia il grafico della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Individua le coordinate di almeno tre punti per cui passa $f^{-1}(x)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Verifica, utilizzando la composizione di funzioni, se $f(x) = \frac{x+1}{2}$ e $g(x) = 2x - 1$ sono funzioni inverse. Devi verificare che $(f \circ g)(x) = x$ e che $(g \circ f)(x) = x$.

Ricava la funzione inversa della funzione esponenziale $f(x) = 2^{x-3}$.

Trova la funzione inversa della funzione logaritmica $g(x) = \log_3(x) + 1$.

Sapendo che $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcola il valore numerico di $f^{-1}(4)$ senza dover trovare l'espressione algebrica completa della funzione inversa.

Marco deve trovare la funzione inversa di $f(x) = \frac{3x - 5}{2}$. Nel suo compito scrive la seguente risoluzione:

«Poiché l'inversa si indica con $f^{-1}(x)$, applico la proprietà delle potenze con esponente negativo capovolgendo la frazione:

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Marco, distinguendo con chiarezza tra il reciproco o inverso moltiplicativo di un numero e la funzione inversa rispetto alla composizione.
2. b) Correggi l'esercizio eseguendo passo dopo passo il procedimento corretto per trovare la vera espressione di $f^{-1}(x)$.
3. c) Verifica che il tuo risultato sia corretto controllando che $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

In una stazione meteorologica situata al livello del mare si registra una temperatura di $24\text{ }^\circ\text{C}$. Nella zona montuosa adiacente, la temperatura scende linearmente al ritmo di $0,65\text{ }^\circ\text{C}$ ogni $100\text{ m}$ di altitudine ($h$, espressa in centinaia di metri), secondo il modello $T(h) = 24 - 0,65h$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo analitico, stima se per trovare una temperatura di $11\text{ }^\circ\text{C}$ sarà necessario salire a più o a meno di $1500\text{ m}$ di altitudine ($h = 15$) e giustifica brevemente il tuo ragionamento qualitativo.
2. b) Ricava la variabile $h$ dall'equazione per ottenere la funzione inversa $h(T)$, interpreta quale grandezza calcola tale funzione e trova con essa l'altitudine esatta (in metri) alla quale la temperatura è $11\text{ }^\circ\text{C}$.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima precedente e valuta se il risultato è coerente con il comportamento fisico del modello.

Il costo di produzione mensile in euro di $x$ unità di un componente elettronico è dato dalla funzione $C(x) = \frac{120x + 500}{x + 2}$. Trova la funzione inversa $C^{-1}(x)$ e interpreta che cosa rappresenta questa nuova funzione nel contesto del problema.

La relazione che permette di convertire una temperatura espressa in gradi Celsius ($C$) in gradi Fahrenheit ($F$) è $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Trova la funzione inversa $C(F)$ e utilizzala per calcolare a quanti gradi Celsius corrispondono $68$ gradi Fahrenheit.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, trova la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$. Quindi calcola il dominio di $f(x)$ e il dominio di $f^{-1}(x)$, e spiega la relazione che esiste tra questi domini e i codomini (insiemi immagine) delle due funzioni.

Il numero di utenti di una nuova app di messaggistica cresce secondo il modello $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, dove $t$ si misura in settimane e $U(t)$ in migliaia di utenti. Determina la funzione inversa $t(U)$ e usala per calcolare quanto tempo esatto deve trascorrere perché l'app raggiunga i $3000$ migliaia di utenti (tre milioni).

La funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ non ha funzione inversa su tutto $\mathbb{R}$ perché non è iniettiva. Restringi il suo dominio all'intervallo $[3, +\infty)$ e calcola l'espressione analitica della sua funzione inversa in tale intervallo.

Trova il valore del parametro $k$ affinché la funzione $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sia l'inversa di se stessa, ovvero affinché valga la condizione $f(f(x)) = x$ per ogni valore del suo dominio.

Il deprezzamento annuo di un macchinario industriale è modellizzato dalla funzione $V(t) = 12000 \cdot (0,8)^t$, dove $V$ è il valore attuale in euro e $t$ il tempo trascorso in anni dall'acquisto. Trova la funzione inversa $t(V)$ e indica quanti anni sono trascorsi esattamente se oggi il macchinario è valutato $6144$ euro.

È mostrato il grafico della funzione $f(x) = x^2 - 2$ ristretta al dominio $x \ge 0$. Disegna sul quaderno la retta $y = x$ e il grafico della funzione inversa $f^{-1}(x)$. Determina analiticamente il punto esatto di intersezione tra le due curve.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il consumo di carburante di un'automobile che percorre un'autostrada italiana a velocità costante è modellizzato dalla funzione $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, dove $v$ è la velocità del veicolo in $\text{km/h}$, ristretta all'intervallo regolamentare $[80, 120]$, e $C(v)$ è il consumo in litri ogni $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).

1. a) Giustifica matematicamente, analizzando la monotonia di $C(v)$ nell'intervallo $[80, 120]$, perché la funzione è iniettiva in tale dominio e perché ciò garantisce l'esistenza della sua funzione inversa.
2. b) Ricava l'espressione analitica della funzione inversa $v(C)$ e indica, motivando, il suo dominio di definizione e la sua interpretazione nel contesto della guida.
3. c) Se il computer di bordo indica che il consumo medio in un tratto pianeggiante è stato $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utilizza la funzione $v(C)$ per determinare la velocità esatta a cui viaggiava il veicolo.

Si vogliono determinare i coefficienti di una funzione omografica della forma $f(x) = \frac{ax + 4}{2x - 3}$ (con $x \neq 1,5$) in modo che soddisfi contemporaneamente due condizioni: il suo grafico deve passare per il punto $(1, -7)$ e deve coincidere con la propria funzione inversa, ovvero $f(x) = f^{-1}(x)$ in tutto il suo dominio.

1. a) Imposta e risolvi l'equazione che permette di calcolare il parametro reale $a$ a partire dal punto per cui passa il grafico.
2. b) Con il valore di $a$ trovato, calcola l'espressione algebrica di $f^{-1}(x)$ ricavando la variabile indipendente e verifica se vale effettivamente l'uguaglianza $f(x) = f^{-1}(x)$.
3. c) Ragiona geometricamente su quale simmetria rispetto alla retta $y = x$ deve possedere il grafico di una qualsiasi funzione che coincide con la propria inversa.

Il livello di intensità sonora in decibel (dB) percepito dall'orecchio umano si calcola con la funzione $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, dove $I$ è l'intensità acustica in $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ è l'intensità della soglia di udibilità. Trova la funzione inversa $I(\beta)$ che determina l'intensità in funzione dei decibel. Se la soglia del dolore umano si colloca a $120 \text{ dB}$, qual è l'intensità acustica corrispondente?

Date le funzioni $f(x) = \frac{x}{x-2}$ e $g(x) = \sqrt{x+1}$, ricava passo dopo passo l'espressione analitica della funzione inversa della composizione, cioè $(f \circ g)^{-1}(x)$, e determina il dominio di validità di questa nuova funzione.

Calcola la funzione inversa della seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Verifica analiticamente che il dominio di $f^{-1}$ coincide esattamente con il codominio di $f$.

Sapendo che la funzione razionale $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ è l'inversa di se stessa (cioè $f^{-1}(x) = f(x)$) e che il suo grafico passa per i punti $(2, 5)$ e $(0, -3)$, imposta un sistema di equazioni e determina i valori numerici dei parametri $a$, $b$ e $c$.

La concentrazione $C(t)$ di un reagente in una reazione chimica del secondo ordine evolve secondo la legge $C(t) = \frac{C_0}{1 + k \cdot C_0 \cdot t}$, dove $C_0$ è la concentrazione iniziale e $k$ è la costante di velocità. Ricava il tempo $t$ per trovare la funzione inversa $t(C)$. Utilizzala per dimostrare che il tempo di dimezzamento (il tempo necessario perché la concentrazione si riduca alla metà, $C = \frac{C_0}{2}$) è inversamente proporzionale alla concentrazione iniziale $C_0$.

Sia data la funzione radicale $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcola la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ indicando chiaramente il suo dominio. Determina analiticamente i punti di intersezione tra i grafici di $f(x)$ e $f^{-1}(x)$, sapendo che per simmetria tali punti devono trovarsi sulla retta $y = x$.

La propagazione di un virus informatico in una rete chiusa è modellizzata dalla funzione logistica $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0,5t}}$, dove $N(t)$ è il numero di computer infetti e $t$ rappresenta i giorni trascorsi dal rilevamento iniziale. Determina la funzione inversa $t(N)$. Che significato ha il dominio di questa funzione inversa nel contesto del limite di propagazione del virus?

Dimostra algebricamente che se $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, allora la sua funzione inversa è data dall'espressione $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. Quindi, giustifica risolvendo un'equazione se il grafico di $f(x)$ interseca il grafico della sua funzione inversa.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{2x + 15}$, definita per $x \in [-7,5, +\infty)$, si vogliono determinare i punti di intersezione tra il suo grafico e quello della sua funzione inversa $f^{-1}$. Due studenti propongono strade diverse:

• Metodo 1 (Ricavare direttamente): Calcolare l'espressione di $f^{-1}(x)$, impostare l'equazione $f(x) = f^{-1}(x)$ e risolverla elevando al quadrato.

• Metodo 2 (Simmetria): Utilizzare la proprietà per cui, se una funzione strettamente crescente interseca la sua inversa, i punti di intersezione devono necessariamente trovarsi sulla bisettrice $y = x$, risolvendo direttamente l'equazione $f(x) = x$.

1. a) Confronta i due metodi e giustifica perché il Metodo 1 risulta notevolmente più complesso e inefficiente (analizza il grado del polinomio a cui dà luogo e il rischio di soluzioni estranee rispetto al Metodo 2).
2. b) Applica il Metodo 2 per risolvere l'equazione, verifica motivando la validità delle soluzioni ottenute nel dominio di entrambe le funzioni e dai le coordinate esatte $(x, y)$ del punto o dei punti di intersezione.
3. c) Verifica che il punto trovato appartenga effettivamente al grafico di $f^{-1}$.

Considera la funzione reale definita a tratti:

dove $b$ è un parametro reale.

1. a) Trova il vertice della parabola corrispondente al secondo tratto e determina il suo codominio per $x > 2$. Basandoti sul criterio della retta orizzontale, deduci motivando quale condizione deve soddisfare il valore massimo del primo tratto affinché $f$ sia iniettiva su tutto $\mathbb{R}$, e scrivi la disuguaglianza che deve soddisfare il parametro $b$.
2. b) Nel caso limite in cui la funzione risulta continua ($b = -1$), giustifica perché $f$ è biiettiva da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ e deduci l'espressione analitica della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$, indicando con precisione il dominio di ciascuno dei suoi tratti.
3. c) Senza dover calcolare previamente $f(x)$, utilizza le proprietà della composizione e la funzione ottenuta nel punto precedente per risolvere l'equazione $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(7)$.