Esercizi: Composizione di funzioni

Date le funzioni $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = x^2 - 1$, calcola il valore numerico della composizione $(g \circ f)(2)$.

Trova l'espressione algebrica della funzione composta $(f \circ g)(x)$ sapendo che $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$.

Utilizzando le funzioni $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$, trova l'espressione di $(g \circ f)(x)$ e verifica analiticamente che la composizione di funzioni non è commutativa.

Date le funzioni razionali $f(x) = \frac{2}{x}$ e $g(x) = x + 3$, determina l'espressione semplificata di $(f \circ g)(x)$ e quella di $(g \circ f)(x)$.

Considera le funzioni $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ e $h(x) = x^2$. Calcola il valore numerico della composizione successiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Data la funzione composta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, esprimila come composizione di due funzioni più semplici $(g \circ f)(x)$, indicando chiaramente qual è l'espressione di $f(x)$ e quale quella di $g(x)$.

Date la funzione costante $f(x) = 7$ e la funzione quadratica $g(x) = 2x^2 - x$, determina le espressioni algebriche di $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Verifica analiticamente che componendo la funzione $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ con la funzione identità $I(x) = x$ si ottiene la stessa funzione originale. Calcola e semplifica sia $(f \circ I)(x)$ sia $(I \circ f)(x)$.

Lucia deve calcolare il valore numerico della composizione $(f \circ g)(2)$ per le funzioni $f(x) = 2x^2 - 1$ e $g(x) = 3x - 5$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

«Poiché mi chiedono $(f \circ g)(2)$, calcolo prima $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 1 = 7$. Poi inserisco questo risultato nella seconda funzione: $g(7) = 3 \cdot 7 - 5 = 16$. Quindi, $(f \circ g)(2) = 16$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia e spiega, ricorrendo alla definizione teorica di composizione di funzioni, perché il suo ragionamento non è corretto.
2. b) Esegui i calcoli nell'ordine corretto per trovare il valore giusto di $(f \circ g)(2)$.
3. c) Quale espressione o valore ha calcolato in realtà Lucia? Giustifica la tua risposta.

Date le funzioni $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ e $g(x) = x^2 - 4$, devi calcolare il valore esatto di $(g \circ f)(5)$. Per risolverlo si propongono due strade diverse:

• Metodo 1: ottenere prima la formula generale semplificata di $(g \circ f)(x)$ sostituendo l'espressione di $f(x)$ in ogni variabile di $g(x)$, ridurre a denominatore comune e, alla fine, sostituire $x = 5$.

• Metodo 2: calcolare direttamente l'immagine della prima funzione nel punto indicato, $f(5)$, e applicare poi la funzione $g$ al numero ottenuto.

1. a) Applica separatamente entrambi i metodi e verifica che si giunge allo stesso risultato numerico.
2. b) Confronta il numero di operazioni e il rischio di errore algebrico che comporta ciascuna alternativa. Giustifica quale dei due metodi è più conveniente quando interessa solo valutare la funzione in un numero concreto e in quale caso pratico sarebbe invece obbligatorio utilizzare il Metodo 1.

Un negozio di elettronica applica uno sconto del $15\%$ a tutti i suoi prodotti, modellizzato con la funzione $d(x) = 0,85x$. Inoltre, un cliente ha un buono fedeltà di $20$ euro di sconto diretto, modellizzato dalla funzione $c(x) = x - 20$. Determina le espressioni di $(c \circ d)(x)$ e $(d \circ c)(x)$. Quale ordine di composizione conviene di più al cliente se vuole comprare un computer il cui prezzo iniziale è di $600$ euro?

Lanciando un sasso in uno stagno, si forma un'onda circolare il cui raggio aumenta nel tempo secondo la funzione $r(t) = 2,5t$ (con $r$ in centimetri e $t$ in secondi). Sapendo che l'area del cerchio è data da $A(r) = \pi r^2$, trova la funzione $(A \circ r)(t)$ che descrive l'area in funzione del tempo e calcola l'area della superficie interessata dopo $4$ secondi.

Determina rigorosamente il dominio della funzione composta $(g \circ f)(x)$ sapendo che $f(x) = x - 4$ e $g(x) = \sqrt{x}$.

Date le funzioni $f(x) = 2x + k$ e $g(x) = 4x - 3$, trova il valore del parametro $k$ affinché valga la proprietà commutativa in questo caso particolare, cioè che $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ per qualsiasi valore di $x$.

La domanda di energia elettrica di una città, in megawatt, dipende dalla temperatura ambiente secondo la funzione $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. A sua volta, la temperatura varia nel tempo, in ore, secondo $T(t) = 1,5t + 10$. Calcola la domanda elettrica esatta dopo $6$ ore.

Osserva il seguente grafico in cui sono rappresentate le funzioni $f(x)$ (in blu) e $g(x)$ (in verde). A partire dall'informazione visiva e senza bisogno di ricavare le loro espressioni algebriche, determina i valori numerici di $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(-1)$.

Sapendo che $f(x) = 3x + 2$ e che la funzione composta è $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determina l'espressione algebrica della funzione esterna $g(x)$.

Il costo giornaliero di produzione di $x$ pezzi in una fabbrica è dato dalla funzione $C(x) = 15x + 500$ euro. Il numero di pezzi che una macchina assembla in $t$ ore di funzionamento continuo è $x(t) = 40t$. Esprimi il costo di produzione in funzione del tempo di funzionamento della macchina e calcola il costo totale dopo una giornata di $8$ ore.

Conosciamo la funzione polinomiale di primo grado $f(x) = 2x - 3$, ma non conosciamo l'espressione di una seconda funzione $g(x)$. Tuttavia, si sa che componendole si ottiene come risultato la funzione quadratica:

1. a) Trova in modo motivato l'espressione algebrica di $g(x)$. A tal fine, effettua il cambio di variabile $u = 2x - 3$, ricava $x$ in funzione di $u$ e sostituiscilo nell'espressione composta $(g \circ f)(x)$.
2. b) Verifica che la tua deduzione è corretta calcolando di nuovo $g(f(x))$ a partire dalla formula che hai trovato per $g(x)$.
3. c) Stabilisci se la funzione $g(x)$ trovata è unica o se potrebbero esistere altre funzioni diverse che producono esattamente la stessa composizione con $f(x)$.

In una stazione sciistica delle Alpi, l'altitudine $h$ (misurata in centinaia di metri sul livello del mare) raggiunta da una seggiovia dipende dal tempo $t$ (in minuti trascorsi dalla stazione a valle) secondo la funzione:

D'altra parte, secondo i rilevamenti meteorologici per quel giorno, la temperatura esterna $T$ (in gradi Celsius) diminuisce linearmente con l'altitudine seguendo la funzione:

1. a) Determina quale delle due composizioni, $(T \circ h)(t)$ o $(h \circ T)(t)$, modellizza la temperatura percepita da uno sciatore lungo il percorso. Giustifica la tua scelta spiegando il ruolo degli ingressi e delle uscite di ciascuna funzione.
2. b) Ottieni l'espressione algebrica semplificata della funzione composta scelta e indica qual è il suo dominio nel contesto reale del problema.
3. c) Interpreta il significato fisico del coefficiente che moltiplica $t$ (il coefficiente angolare) e calcola a quale temperatura esatta si troverà lo sciatore all'arrivo in cima ($t = 10$ minuti).

Date le funzioni $f(x)$ e $g(x)$, dove $f(x) = 2x$ se $x < 1$ e $f(x) = x^2$ se $x \geq 1$, e la funzione $g(x) = x + 3$. Determina l'espressione analitica completa della funzione composta $(f \circ g)(x)$, prestando particolare attenzione agli intervalli di definizione.

Considera le funzioni $f(x) = \sqrt{x + 3}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Esegui uno studio analitico rigoroso per determinare il dominio di definizione della funzione composta $(f \circ g)(x)$.

Una mongolfiera sferica viene gonfiata mediante un compressore che immette aria a ritmo costante, in modo che il suo volume in metri cubi sia dato da $V(t) = 12t$ (con $t$ in minuti). Sapendo che il volume di una sfera è $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e la sua superficie è $S = 4\pi r^2$, trova la funzione composta $S(t)$ che fornisce la superficie della mongolfiera direttamente in funzione del tempo trascorso.

Sia data la funzione razionale $f(x) = \frac{x}{x - 1}$. Calcola le composizioni successive $(f \circ f)(x)$ e $(f \circ f \circ f)(x)$. A partire dai risultati ottenuti, deduci in modo motivato quale sarà l'espressione di $f^{[n]}(x)$ (la composizione di $f$ con se stessa $n$ volte) a seconda che $n$ sia un numero pari o dispari.

Dimostra algebricamente che, se $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ (con la condizione $a^2 + bc \neq 0$), la funzione è l'inversa di se stessa verificando che $(f \circ f)(x) = x$ per ogni $x$ appartenente al suo dominio.

Un fascio di luce attraversa una serie di filtri ottici. Un filtro di tipo A riduce l'intensità luminosa del $20\%$, modellizzato da $f_A(I) = 0,8I$. Un filtro di tipo B riduce l'intensità di una quantità fissa di $15 \text{ W/m}^2$, modellizzato da $f_B(I) = I - 15$. Se l'intensità iniziale è $I_0$, trova l'espressione dell'intensità finale dopo aver attraversato $3$ filtri di tipo A seguiti da $2$ filtri di tipo B. Il risultato è equivalente ad attraversare prima i $2$ di tipo B e poi i $3$ di tipo A?

Osserva il grafico della funzione $f(x)$. A partire da esso, ricava l'espressione analitica di $f(x)$ definita a tratti e calcola l'espressione algebrica dettagliata di $(f \circ f)(x)$.

Scomponi la funzione composta $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ come composizione successiva di quattro funzioni elementari $f_1, f_2, f_3, f_4$ in modo che $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indica chiaramente l'espressione algebrica di ciascuna delle quattro funzioni.

Date le funzioni $f(x) = x^2 - 4$ e $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, si definisce la funzione composta $h(x) = (g \circ f)(x)$.

1. a) Stima: Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico formale, rifletti sulla catena di processi: quali valori reali ammette la funzione $g$ come ingresso per non generare indeterminazioni nei numeri reali? Tenendo conto di ciò, deduci qualitativamente quale segno deve avere l'uscita di $f(x)$ e stima quali tratti della retta reale formeranno il dominio di $h(x)$. In particolare, ragiona senza fare calcoli se i valori $x = 0$ e $x = 2$ possono far parte di tale dominio.
2. b) Calcola: Scrivi la formula analitica di $h(x)$ e determina in modo rigoroso il suo dominio applicando le due condizioni teoriche: $x \in \operatorname{Dom}(f)$ e $f(x) \in \operatorname{Dom}(g)$. Esprimi il risultato mediante intervalli.
3. c) Verifica: Confronta il dominio ottenuto analiticamente con le tue stime del punto a). Spiega in dettaglio perché, pur appartenendo $x = 0$ al dominio di $f$, viene infine escluso dalla composizione.

Si considerano la funzione razionale $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ e una funzione incognita $g(x)$. Si sa che la composizione tra le due produce il risultato:

1. a) Determina, motivando, l'espressione algebrica della funzione $g(x)$.
2. b) Trova il dominio della funzione composta $(f \circ g)(x)$ applicando rigorosamente la definizione formale di catena di funzioni: $x \in \operatorname{Dom}(g)$ e $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$.
3. c) Uno studente osserva l'espressione finale $\frac{x + 1}{2 - 3x}$ e afferma: «Il dominio di $(f \circ g)$ è l'insieme di tutti i numeri reali tranne $x = \frac{2}{3}$, poiché per $x = -1$ la formula dà $\frac{-1+1}{2-3(-1)} = \frac{0}{5} = 0$, che è un valore reale perfettamente valido». Pensa alla composizione come a due macchine collegate in serie: la prima è $g$, che riceve il numero $x$ e restituisce $g(x)$; questa uscita entra direttamente nella seconda macchina, $f$, che restituisce $f(g(x))$. Ogni macchina funziona solo con gli ingressi del proprio dominio, e se la prima non restituisce alcun risultato, la seconda non riceve nulla. Utilizzando questa idea delle due macchine collegate, confuta l'argomento dello studente e spiega che cosa accade esattamente nel processo di calcolo quando si tenta di valutare la composizione in $x = -1$.