Esercizi: Suriettività e biiettività

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$, stabilisci se è suriettiva e se è iniettiva, motivando la risposta.

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, spiega perché non è suriettiva. Quale insieme di arrivo la renderebbe suriettiva?

Siano $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{a, b, c\}$ e $f$ definita da $f(1) = b$, $f(2) = c$, $f(3) = a$. Stabilisci se $f$ è biiettiva e scrivi la funzione inversa.

Data $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - x$, stabilisci se è suriettiva e se è iniettiva. Giustifica la risposta con valori espliciti.

Data $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ definita su $\mathbb{R} \setminus \{2\}$:

1. a) trova l'immagine di $f$;

1. b) restringi l'insieme di arrivo in modo che $f$ sia biiettiva;

1. c) determina $f^{-1}$.

Data $f(x) = x^2 - 4x + 3$:

1. a) stabilisci se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è biiettiva;

1. b) restringi dominio e codominio in modo che lo sia, e calcola l'inversa.

Siano $f: A \to B$ e $g: B \to C$ due funzioni. Dimostra che se $g \circ f$ è suriettiva allora $g$ è suriettiva, e che se $g \circ f$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva. Fornisci un esempio in cui $g \circ f$ è biiettiva ma $f$ non è suriettiva.

Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} 2x & x \ge 0 \\ x^2 & x < 0 \end{cases}$.

1. a) Studia iniettività e suriettività.

1. b) Modifica la definizione per $x<0$ in modo che $f$ sia biiettiva e scrivi $f^{-1}$.

Sia $A = \{1, 2, \dots, n\}$. Dimostra che una funzione $f: A \to A$ è iniettiva se e solo se è suriettiva. Spiega poi perché la proprietà non vale per $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ fornendo un controesempio.