Esercizi: Fasci propri e impropri

Data l'equazione $y = kx + 3$ con $k$ parametro reale, stabilisci se rappresenta un fascio proprio o improprio, indicandone il centro o la direzione. Quale retta del fascio non è rappresentata dall'equazione?

Scrivi l'equazione del fascio di rette di centro $C(2, -1)$ e determina la retta del fascio che passa per l'origine.

Scrivi l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta $3x - 2y + 5 = 0$ e individua la retta del fascio passante per $P(4, 1)$.

Date le rette $r: x + y - 3 = 0$ e $s: 2x - y = 0$, scrivi l'equazione del fascio da esse generato e determina la retta del fascio che passa per $A(1, 5)$.

Considera il fascio di equazione $(k+1)x + (k-2)y + 3 - k = 0$.

1. a) Determina il centro del fascio.

1. b) Trova per quale valore di $k$ la retta è parallela all'asse $x$.

1. c) Trova per quale valore di $k$ la retta è perpendicolare alla retta $y = 2x$.

Nel fascio di rette di equazione $(2k-1)x + (k+1)y - 3k = 0$ determina la retta che ha distanza massima dall'origine e quella che ha distanza nulla dall'origine.

Dato il fascio $(k-1)x + (k+2)y - 2k - 1 = 0$:

1. a) dimostra che è un fascio proprio e trova il centro $C$;

1. b) determina le rette del fascio che formano con gli assi cartesiani, nel primo quadrante, un triangolo di area 4;

1. c) spiega se esiste una retta del fascio con distanza dall'origine uguale a $\sqrt{10}$, giustificando la risposta.

Il fascio di rette $y - 2 = m(x + 1)$ interseca la parabola $y = x^2 - 2x + 5$.

1. a) Per quali valori di $m$ la retta è tangente alla parabola?

1. b) Per quali valori di $m$ la retta è secante in due punti distinti?

1. c) Scrivi le equazioni delle rette tangenti e i punti di tangenza.

Il fascio di rette $(k+2)x - (k-1)y + 3k + 3 = 0$ contiene una retta parallela all'asse $y$ e una retta parallela all'asse $x$.

1. a) Individua i valori di $k$ corrispondenti.

1. b) Determina il centro $C$ del fascio.

1. c) Calcola l'area del triangolo formato dagli assi cartesiani e dalla retta del fascio con $k = 0$.