Esercizi: Retta di regressione di y su x

Noti i parametri statistici di una distribuzione bidimensionale: media di $X$ uguale a $4$, media di $Y$ uguale a $6$, varianza di $X$ uguale a $1,5$ e covarianza uguale a $3$. Determina l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

In uno studio sulla relazione tra la quantità di fertilizzante applicato ($X$, in kg/ha) e la produzione ottenuta ($Y$, in tonnellate/ha), è stata calcolata la retta di regressione di $Y$ su $X$, risultata $y = 0,4x + 2,1$. Stima la produzione che si otterrà se si applicano $15$ kg/ha di fertilizzante.

Data la seguente tabella con tre coppie di valori di una distribuzione bidimensionale:

• $X$: $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$

Calcola il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$.

La retta di regressione di $Y$ su $X$ di una distribuzione bidimensionale è $y = 1,2x - 0,5$. Se sappiamo che la media marginale della variabile $X$ è $\bar{x} = 3$, qual è il valore esatto della media marginale $\bar{y}$?

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra gli anni di esperienza di un gruppo di tecnici e il loro stipendio mensile in centinaia di euro, insieme alla retta di regressione di $Y$ su $X$. A partire dalla rappresentazione grafica, stima visivamente lo stipendio atteso per un tecnico con $6$ anni di esperienza e determina l'ordinata all'origine della retta.

In una distribuzione bidimensionale si sa che le deviazioni standard sono $\sigma_x = 2$ e $\sigma_y = 5$, e il coefficiente di correlazione lineare è $r = -0,8$. Calcola l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ sapendo che il baricentro della distribuzione è il punto $(10, 20)$.

Le variabili $X$ e $Y$ rappresentano, rispettivamente, il numero di ore di allenamento settimanale e il tempo in secondi impiegato a percorrere $100$ metri piani da un gruppo di atleti. Se la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = -0,5x + 14$, interpreta il significato fisico del coefficiente angolare di questa retta nel contesto del problema.

Una distribuzione bidimensionale ha per matrice dei dati le seguenti sommatorie: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, e il numero totale di osservazioni è $N = 10$. Calcola la covarianza e la varianza di $X$, e scrivi l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Marco ha ottenuto i seguenti parametri statistici studiando la relazione tra le ore settimanali di studio di Matematica ($X$) e il voto ottenuto nella materia ($Y$, da $0$ a $10$) nella sua classe di prima liceo: $\bar{x} = 6$, $\bar{y} = 6,5$, $\sigma_x^2 = 4$, $\sigma_y^2 = 2,25$ e covarianza $\sigma_{xy} = 2,4$. Per prevedere che voto otterrà uno studente che studia $8$ ore ($x = 8$), Marco scrive sul quaderno:

Sostituisce $x = 8$ e conclude che il voto stimato sarà $7,6$.

1. a) Individua i due errori concettuali commessi da Marco nel formulare l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$ e spiega perché sono errati.
2. b) Scrivi l'equazione corretta della retta di regressione di $Y$ su $X$ e calcola il voto che il modello prevede realmente per $x = 8$.

Una sede territoriale del servizio meteorologico studia la relazione tra l'altitudine ($X$, in centinaia di metri) e la temperatura media annua ($Y$, in $^\circ\text{C}$) in cinque osservatori dell'Appennino:

• Osservatorio 1: $(4; 14,3)$

• Osservatorio 2: $(6; 13,3)$

• Osservatorio 3: $(8; 12,0)$

• Osservatorio 4: $(10; 10,9)$

• Osservatorio 5: $(12; 9,5)$

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo motivato il segno che devono avere la covarianza e il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$. Stima anche approssimativamente di quanti gradi scende la temperatura per ogni $100\text{ m}$ di salita.
2. b) Verifica la tua stima calcolando le medie $\bar{x}$ e $\bar{y}$, la varianza $\sigma_x^2$ e la covarianza $\sigma_{xy}$, e determina l'equazione esatta della retta di regressione di $Y$ su $X$.
3. c) Usa la retta per prevedere la temperatura attesa a $900\text{ m}$ ($x = 9$) e a $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Valuta se entrambe le previsioni sono ragionevoli distinguendo tra interpolazione ed estrapolazione.

Un'azienda di marketing digitale ha raccolto dati sull'investimento in campagne sui social network ($X$, in migliaia di euro) e sui ricavi generati dalle vendite ($Y$, in decine di migliaia di euro) durante $5$ mesi consecutivi:

• $X$: $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$: $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Calcola la retta di regressione dei ricavi in funzione dell'investimento e stima i ricavi attesi se si investono $5000$ euro.

In uno studio di biomeccanica si analizza la relazione tra la lunghezza del femore ($X$, in cm) e l'altezza di un individuo ($Y$, in cm). Si dispone dei seguenti riepiloghi statistici per un campione di $50$ persone:

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Trova la retta di regressione di $Y$ su $X$ e stima l'altezza di una persona il cui femore misura $48$ cm. Giustifica brevemente l'affidabilità di questa stima.

Le rette di regressione di una distribuzione bidimensionale sono date dalle equazioni $y = 0,5x + 4$ e $x = 1,6y - 2$. Determina le coordinate del baricentro della distribuzione e il coefficiente di correlazione lineare $r$, indicando con una motivazione il suo segno.

In un esperimento di termodinamica si misura la temperatura di un liquido ($Y$, in °C) in funzione del tempo trascorso ($X$, in minuti). La retta di regressione ottenuta è $y = -1,5x + 85$. Sapendo che il coefficiente di determinazione è $R^2 = 0,95$ e che l'esperimento è durato in totale $30$ minuti, è affidabile stimare la temperatura dopo $45$ minuti usando questa retta? Giustifica la risposta basandoti sui concetti di interpolazione ed estrapolazione.

È stata studiata la relazione tra la quantità di impurità in una lega metallica ($X$, in $\%$ ) e la sua resistenza a trazione ($Y$, in MPa). Dopo aver analizzato $20$ campioni, si è ottenuto $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, e una retta di regressione di $Y$ su $X$ data da $y = -15x + 481,5$. Calcola la covarianza della distribuzione sapendo che la varianza delle impurità è $\sigma_x^2 = 0,8$.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra la profondità a cui si trova un filone di minerale ($X$, in metri) e il costo di estrazione per tonnellata ($Y$, in migliaia di euro). La retta tracciata è quella di regressione di $Y$ su $X$. A partire dal grafico, ricava le coordinate dei due punti segnati sulla retta, calcola la sua equazione esatta e stima il costo di estrazione per una profondità di $120$ metri.

La retta di regressione di $Y$ su $X$ di una distribuzione bivariata è $y = 3x - 2$. Se a tutti i valori osservati della variabile $X$ si sommano $4$ unità e tutti i valori della variabile $Y$ si moltiplicano per $2$, quale sarà la nuova equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$?

In un centro meteorologico si mette in relazione la pressione atmosferica ($X$, in hPa) con la probabilità di precipitazione ($Y$, in $\%$). Sapendo che il baricentro della distribuzione è il punto $(1013, 40)$, la deviazione standard della pressione è $5$ hPa, quella della probabilità è $20\%$, e il coefficiente di correlazione lineare è $-0,85$, trova l'equazione della retta di regressione che permette di stimare la probabilità di pioggia conoscendo la pressione atmosferica.

A partire dai microdati dell'indagine sui consumi delle famiglie dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), si estrae un campione di $5$ famiglie per analizzare la spesa mensile per l'alimentazione ($Y$, in centinaia di euro) in funzione del reddito netto mensile della famiglia ($X$, in migliaia di euro):

• Famiglia A: $(1,5; 3,0)$

• Famiglia B: $(2,0; 3,8)$

• Famiglia C: $(2,5; 4,5)$

• Famiglia D: $(3,0; 5,1)$

• Famiglia E: $(3,5; 6,1)$

1. a) Modella la relazione lineare tra le due variabili calcolando la retta di regressione di $Y$ su $X$ (illustra il calcolo di $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$ e $\sigma_{xy}$).
2. b) Interpreta il significato socioeconomico del coefficiente angolare $m_{yx} = 1,5$ e dell'ordinata all'origine $n = 0,75$ nel contesto reale, prestando particolare attenzione alle unità di misura di ciascuna variabile.
3. c) Stima la spesa per l'alimentazione per una famiglia con un reddito di $2800$ euro mensili e per un'altra con un reddito di $8500$ euro mensili. Giustifica quale delle due stime offre maggiori garanzie statistiche in base all'intervallo dei dati osservati.

In una ricerca sulla convivenza scolastica in prima liceo si analizzano il numero di assenze ingiustificate ($X$) e il voto nella valutazione finale ($Y$) di un campione di studenti. Si ottengono le seguenti statistiche: $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 6$, $\sigma_x^2 = 5$, $\sigma_y^2 = 3,2$ e $\sigma_{xy} = -3,6$.

Si propongono due compiti di previsione:

• Compito 1: Stimare il voto atteso ($Y$) per uno studente con $x = 6$ assenze.

• Compito 2: Stimare il numero probabile di assenze ($X$) di uno studente il cui voto finale è stato $y = 3,3$.

Per risolvere il Compito 2, due docenti propongono metodi diversi:

• Il docente A calcola la retta di $Y$ su $X$, sostituisce $y = 3,3$ e ricava algebricamente il valore di $x$.

• Il docente B sostiene che ricavare l'incognita sia scorretto e che si debba trovare la retta di $X$ su $Y$ per sostituire direttamente $y = 3,3$.

1. a) Giustifica quale dei due metodi sia statisticamente rigoroso in base al criterio dei minimi quadrati che definisce le rette di regressione.
2. b) Trova le equazioni di entrambe le rette di regressione ($Y$ su $X$, e $X$ su $Y$).
3. c) Applica i due metodi al Compito 2, confronta i risultati numerici ottenuti e spiega a cosa è dovuta la discrepanza tra i due usando il coefficiente di determinazione lineare $r^2$.

Dimostra analiticamente che se le variabili $X$ e $Y$ hanno una correlazione lineare perfetta ($r = 1$ o $r = -1$), allora la retta di regressione di $Y$ su $X$ coincide esattamente con la retta di regressione di $X$ su $Y$. Spiega brevemente quale implicazione geometrica ha ciò sull'angolo formato dalle due rette nel piano.

In uno studio sul rendimento dei pannelli solari, la variabile $X$ rappresenta l'irradianza solare ($W/m^2$) e la variabile $Y$ la potenza elettrica generata ($W$). Si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è data da $y = 0,18x + 5$, e la retta di regressione di $X$ su $Y$ da $x = 5y - 10$. Calcola le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$, e trova la percentuale esatta della variabilità della potenza elettrica spiegata dall'irradianza solare.

Si dispone di un insieme di dati bivariati $(x_i, y_i)$ in cui la variabile $X$ assume i valori $1, 2, 3, 4$ e la variabile $Y$ assume i valori $2, k, 5, 8$. Sapendo che il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ è $m_{yx} = 1,9$, imposta un'equazione e determina il valore esatto del parametro $k$.

In un'analisi macroeconomica si mette in relazione il tasso di inflazione ($X$, in $\%$ ) con il tasso di disoccupazione ($Y$, in $\%$). La retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = -0,6x + 8$. Se la varianza marginale dell'inflazione è $\sigma_x^2 = 4$ e la varianza marginale della disoccupazione è $\sigma_y^2 = 2,25$, determina il coefficiente di correlazione lineare $r$ e la percentuale della variabilità della disoccupazione spiegata dal modello di regressione lineare.

Un ingegnere civile studia la relazione tra il carico sopportato da una trave ($X$, in tonnellate) e la sua deformazione massima ($Y$, in millimetri). Alcuni dati del rapporto originale sono andati persi, ma si sa che la media del carico è $\bar{x} = 15$, la varianza del carico è $\sigma_x^2 = 16$, la covarianza è $\sigma_{xy} = 18$, il coefficiente di correlazione è $r = 0,9$ e l'ordinata all'origine della retta di regressione di $Y$ su $X$ è $b = 2$. Calcola la media della deformazione $\bar{y}$, la deviazione standard $\sigma_y$ e l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Il seguente grafico mostra una nuvola di punti che mette in relazione la velocità di un veicolo ($X$, in km/h) con la distanza di frenata ($Y$, in metri). Sono state tracciate le due rette di regressione: la Retta A (in blu) e la Retta B (in verde). Individua, motivando in base alle proprietà dei coefficienti angolari, quale delle due rette è quella di regressione di $Y$ su $X$ e trova la sua equazione sapendo che le due rette si intersecano nel punto $(80, 40)$ e che quella blu passa per $(100, 56)$.

In una ricerca farmaceutica, si modellizza la concentrazione di un principio attivo nel sangue ($Y$, in mg/L) in funzione della dose somministrata ($X$, in mg). Se effettuiamo un cambio di variabile standardizzando entrambe le variabili, cioè definiamo $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ e $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, dimostra algebricamente che la retta di regressione di $Z_y$ su $Z_x$ passa per l'origine degli assi e che il suo coefficiente angolare è esattamente il coefficiente di correlazione lineare $r$.

È stata studiata una distribuzione bidimensionale di $100$ coppie di valori. Si sa che la somma dei quadrati dei residui (la somma delle differenze al quadrato tra i valori reali osservati $y_i$ e quelli stimati dalla retta $\hat{y}_i$) è uguale a $150$. Se la varianza marginale della variabile $Y$ è $\sigma_y^2 = 4$, trova il coefficiente di determinazione $R^2$ utilizzando la relazione $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, e calcola il valore assoluto del coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ sapendo che la varianza marginale di $X$ è $\sigma_x^2 = 9$.

Un laboratorio universitario analizza la relazione tra due variabili fisiche continue, $X$ e $Y$, e ottiene le equazioni generali delle sue due rette di regressione lineare ai minimi quadrati. A causa di un errore di etichettatura nel software, non è stato salvato quale retta corrisponda a ciascuna regressione:

• Retta 1 ($r_1$): $2x - 5y + 11 = 0$

• Retta 2 ($r_2$): $8x - 5y - 7 = 0$

1. a) Deduci in modo argomentato quale delle due è la retta di regressione di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. A tal fine, analizza le due possibili assegnazioni e dimostra analiticamente che una delle due è matematicamente impossibile, basandoti sulla proprietà del prodotto dei loro coefficienti angolari $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$ e sull'intervallo ammissibile del coefficiente di correlazione lineare.
2. b) Trova le coordinate esatte del baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ della distribuzione bidimensionale e calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.
3. c) Sapendo inoltre che la deviazione standard di $X$ è $\sigma_x = 2,5$, ricostruisci analiticamente il valore della covarianza $\sigma_{xy}$ e della varianza $\sigma_y^2$.

Un analista sportivo di una squadra di calcio analizza la relazione tra i chilometri percorsi ad alta intensità per partita ($X$, in km) e i recuperi palla nella metà campo avversaria ($Y$) dei giocatori. Dopo aver inserito i dati in un programma, presenta un rapporto con i seguenti risultati:

• Retta di regressione di $Y$ su $X$: $y = 0,8x - 1,2$

• Retta di regressione di $X$ su $Y$: $x = 1,5y + 2,1$

Il rapporto contiene tre affermazioni fatte dall'analista:

1. «Poiché entrambi i coefficienti angolari sono positivi, esiste una correlazione lineare positiva e molto intensa tra le due variabili».

2. «Per stimare la distanza che dovrebbe percorrere un giocatore per ottenere $y = 5$ recuperi, basta ricavare la variabile $x$ dalla prima retta, ottenendo $x = 7,75\text{ km}$».

3. «Se cambiamo l'unità di misura della distanza $X$ da chilometri a metri ($X' = 1000X$), sia la covarianza $\sigma_{x'y}$ sia il coefficiente angolare $m_{yx}'$ della retta di regressione di $Y$ su $X$ risulteranno moltiplicati per $1000$».

Valuta criticamente il rapporto:

1. a) Dimostra analiticamente che le due equazioni fornite contengono una contraddizione statistica insanabile che invalida il modello.
2. b) Spiega l'errore di fondamento che commette l'analista nell'affermazione 2.
3. c) Analizza algebricamente l'affermazione 3 a partire dalle definizioni di covarianza e varianza: deduci come variano in realtà $\sigma_{x'y}$ e il coefficiente angolare $m_{yx}'$ a seguito del cambio di scala $X' = k\cdot X$ e stabilisci se l'affermazione è vera o falsa.