Esercizi: Coefficiente di correlazione lineare

In uno studio sul rendimento dei pannelli solari si è calcolato che la covarianza tra la radiazione solare ricevuta ($X$) e l'energia prodotta ($Y$) è $\sigma_{xy} = 15,2$. Sapendo che le deviazioni standard sono $\sigma_x = 4,0$ e $\sigma_y = 3,9$, calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson e interpreta il risultato.

Considera le seguenti coppie di variabili statistiche. Indica, con motivazioni, se il coefficiente di correlazione lineare tra di esse sarà positivo, negativo o vicino a zero:

1. a) Il numero di ore di allenamento settimanale di un atleta e il suo tempo sui 100 metri piani.
2. b) La quantità di pioggia caduta in un mese e le vendite di ombrelli nello stesso mese.
3. c) L'ultima cifra del codice fiscale di una persona e la sua altezza in centimetri.

Il coefficiente di correlazione lineare tra la spesa in pubblicità ($X$, in migliaia di euro) e i ricavi delle vendite ($Y$, in migliaia di euro) di un'azienda è $r = 0,88$. Se le deviazioni standard marginali sono $\sigma_x = 2,5$ e $\sigma_y = 12,4$, determina il valore della covarianza $\sigma_{xy}$.

Osserva i tre diagrammi di dispersione indicati con A, B e C. Associa ciascuno di essi al valore del coefficiente di correlazione lineare che meglio lo descrive, scegliendo tra i seguenti valori: $r = -0,92$, $r = 0,05$ e $r = 0,95$.

In una distribuzione bidimensionale si sa che il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ è $m_{yx} = 1,25$ e il coefficiente angolare della retta di regressione di $X$ su $Y$ è $m_{xy} = 0,65$. Sapendo che la dipendenza tra le variabili è diretta, calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$.

Sono stati misurati il tempo di reazione ($X$, in secondi) e il numero di errori commessi ($Y$) in una prova di coordinazione psicomotoria per 3 individui, ottenendo le seguenti coppie di valori: $(1, 2)$, $(2, 4)$ e $(3, 5)$. Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson per questo piccolo insieme di dati.

Il coefficiente di determinazione di un modello matematico che mette in relazione l'età di un veicolo commerciale ($X$, in anni) con il suo valore di mercato ($Y$, in euro) è $R^2 = 0,7225$. Sapendo che al crescere dell'età il valore del veicolo diminuisce, qual è il valore esatto del coefficiente di correlazione lineare $r$?

Classifica la forza (forte, moderata o debole/nulla) e il verso (positiva o negativa) della correlazione lineare per ciascuno dei seguenti coefficienti ottenuti in diversi studi statistici:

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

In una classe del primo anno di liceo, Sergio analizza due materie per scoprire in quale esista una maggiore dipendenza lineare rispetto alle ore di studio settimanali. Dopo aver eseguito i calcoli, ottiene per la materia A un coefficiente di correlazione $r_A = 0,42$ e per la materia B (dove misura il numero di errori in una verifica rispetto alle ore di studio) un coefficiente $r_B = -0,81$. Sergio conclude nel suo rapporto: «La relazione lineare è molto più forte nella materia A che nella B perché $0,42 > -0,81$; inoltre, il segno negativo in B dimostra che il modello lineare non è valido per prevedere gli errori». Individua e formula con precisione i due errori concettuali commessi da Sergio, spiega perché le sue affermazioni sono false e determina in quale delle due materie la retta di regressione spiegherà una maggiore percentuale della variabilità.

Una stazione meteorologica sulle Alpi registra l'altitudine rispetto a un punto base ($X$, in centinaia di metri) e la temperatura media durante una settimana invernale ($Y$, in $^\circ\text{C}$) a cinque quote diverse: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 4)$ e $(5, 3)$. Svolgi le seguenti attività:

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, osserva la tendenza delle coppie di valori: quale segno ti aspetti per la covarianza e per $r$? Stima con motivazioni se il valore di $|r|$ sarà più vicino a $0$, a $0,5$ o a $1$.
2. b) Verifica la tua stima calcolando le medie $\bar{x}$ e $\bar{y}$, le deviazioni standard $\sigma_x$ e $\sigma_y$, la covarianza $\sigma_{xy}$ e il coefficiente di correlazione lineare $r$.
3. c) A partire dal valore ottenuto per $r$, calcola il coefficiente di determinazione $r^2$ e interpreta quale percentuale della variabilità della temperatura è spiegata dall'altitudine.

Un'azienda di logistica vuole studiare la relazione tra il peso delle spedizioni ($X$, in kg) e il costo del trasporto ($Y$, in euro). A tal fine seleziona un campione di 5 spedizioni, ottenendo i seguenti dati:

• Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11

• Costo ($Y$): 12, 15, 18, 25, 30

Calcola le medie, le deviazioni standard marginali, la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare. In base al risultato, il peso è un buon predittore lineare del costo del trasporto?

In uno studio di agronomia si è calcolato che il coefficiente di correlazione lineare tra la temperatura media mensile in gradi Celsius ($C$) e la produzione di una coltura in tonnellate ($P$) è $r = 0,82$. Se decidiamo di esprimere la temperatura in gradi Fahrenheit con la formula $F = 1,8C + 32$ e la produzione in chilogrammi mediante $K = 1000P$, qual è il nuovo coefficiente di correlazione tra $F$ e $K$? Giustifica la risposta in base alle proprietà matematiche di questo coefficiente.

I dati di una sperimentazione clinica sulla dose di un farmaco ($X$, in mg) e sul tempo di guarigione ($Y$, in giorni) per $N=10$ pazienti sono riassunti nelle seguenti sommatorie:

$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.

Calcola il coefficiente di correlazione lineare e interpreta il risultato nel contesto del problema medico.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra le ore di studio settimanali ($X$) e il voto ottenuto in una verifica ($Y$) per un gruppo di studenti.

Analizza visivamente la nuvola di punti e rispondi in modo giustificato:

1. a) Se non tenessimo conto del punto anomalo (outlier) situato in basso a destra, come sarebbe il coefficiente di correlazione lineare?
2. b) Quale effetto produce l'inclusione di questo punto anomalo sul valore del coefficiente di correlazione di Pearson rispetto al caso precedente?

In una ricerca di mercato sono state ottenute le due rette di regressione lineare che mettono in relazione il prezzo di un prodotto ($X$) e la sua domanda mensile ($Y$). Le equazioni di tali rette sono:

Retta 1: $y = -1,5x + 120$

Retta 2: $x = -0,6y + 75$

Calcola il coefficiente di correlazione lineare e indica il grado di relazione tra il prezzo e la domanda.

In una distribuzione statistica bidimensionale si sa che la varianza della prima variabile è $\sigma_x^2 = 25$, la covarianza congiunta è $\sigma_{xy} = 18$ e il coefficiente di correlazione lineare è $r = 0,6$. A partire da questi dati, determina il valore esatto della varianza della seconda variabile, $\sigma_y^2$.

Un allenatore di pallacanestro analizza i minuti giocati ($X$) e i punti segnati ($Y$) da 6 dei suoi giocatori in una partita, ottenendo le seguenti coppie di dati: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcola il coefficiente di determinazione $R^2$ e spiega quale percentuale della variabilità dei punti segnati è spiegata linearmente dai minuti giocati.

Date le rette di regressione $y = 0,8x + 2,5$ e $x = 1,1y - 1,2$, calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$. Successivamente, determina la media della variabile $Y$.

A partire da un campione di 5 comprensori, uno studio sul parco auto analizza la relazione tra l'anzianità media delle autovetture ($X$, in anni) e la spesa media annua per riparazioni per veicolo ($Y$, in centinaia di euro), ottenendo le seguenti osservazioni: $(4; 2,5)$, $(6; 3,5)$, $(8; 5,0)$, $(10; 6,0)$ e $(12; 8,0)$.

1. a) Modella la relazione calcolando le deviazioni standard, la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare $r$. Come qualificheresti l'intensità dell'adattamento lineare?
2. b) Calcola il coefficiente di determinazione $r^2$ e interpreta, nel contesto del problema, quale percentuale della variabilità della spesa per riparazioni costituisce dispersione residua (non spiegata dall'anzianità del veicolo).
3. c) Se una compagnia assicurativa decide di esprimere l'anzianità in mesi ($X' = 12X$) e il costo in euro ($Y' = 100Y$), giustifica algebricamente, mediante le proprietà della covarianza e della deviazione standard, quale sarà il nuovo coefficiente di correlazione $r'$ senza operare di nuovo sui singoli dati numerici.

Sono note quattro osservazioni di una distribuzione bidimensionale: $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$ e $(4, 8)$. Si aggiunge una quinta osservazione della forma $(5, y_5)$.

1. a) Determina quale valore deve assumere $y_5$ affinché il coefficiente di correlazione lineare sia esattamente $r = 1$. Giustifica la risposta a partire dalla relazione funzionale esistente tra i primi quattro punti, senza calcolare varianze.
2. b) Imposta l'equazione della covarianza $\sigma_{xy}$ in funzione di $y_5$ e calcola quale valore deve assumere $y_5$ affinché la covarianza sia esattamente $0$. Verifica che, con tale valore, le deviazioni standard sono strettamente positive e concludi il valore di $r$.
3. c) Con il valore di $y_5$ trovato al punto b si ottiene $r = 0$. Significa questo che non esiste alcuna relazione tra le due variabili in quel campione di cinque punti? Spiega la differenza tra «assenza di correlazione lineare» e «assenza di relazione» osservando l'insieme di punti risultante.

Si studia la relazione tra due variabili $X$ e $Y$ a partire da tre osservazioni sperimentali: $(0, 2)$, $(3, 8)$ e $(5, k)$. Sappiamo in anticipo che esiste una dipendenza funzionale lineare perfetta e positiva tra le due variabili, cioè il coefficiente di correlazione è $r = 1$. Senza calcolare le deviazioni standard, determina il valore del parametro $k$.

Sia data una distribuzione bidimensionale $(X, Y)$ in cui la variabile $Y$ si ottiene dalla variabile $X$ mediante la trasformazione affine $Y = -4X + 7$, con $X$ non costante ($\sigma_x > 0$). Dimostra analiticamente, usando le definizioni algebriche di covarianza e deviazione standard, che il coefficiente di correlazione lineare tra $X$ e $Y$ è esattamente $-1$.

Date due variabili statistiche $X$ e $Y$, si definiscono le corrispondenti variabili standardizzate $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ e $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Dimostra passo dopo passo che la covarianza tra le variabili standardizzate, $\sigma_{z_x z_y}$, è esattamente uguale al coefficiente di correlazione lineare $r_{xy}$ delle variabili originali.

In uno studio di ingegneria sulla resistenza di alcuni materiali polimerici sono state ottenute due rette di regressione le cui equazioni in forma implicita sono $3x - 2y - 8 = 0$ e $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Individua, motivando, qual è la retta di regressione di $Y$ su $X$ e qual è la retta di regressione di $X$ su $Y$.
2. b) Calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$ tra le due variabili.

Il seguente diagramma di dispersione rappresenta la relazione tra la temperatura di un reattore chimico ($X$, centrata in 0) e la resa della reazione ($Y$). I punti registrati sono $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ e $(2, 4)$.

1. a) Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson per questi dati.
2. b) Alla luce del risultato matematico e del grafico allegato, spiega in dettaglio perché il coefficiente di correlazione assume quel valore nonostante esista una dipendenza funzionale esatta ($y = x^2$) tra le variabili.

Le variabili aleatorie $X$ e $Y$ hanno varianze $\sigma_x^2 = 16$ e $\sigma_y^2 = 25$, e il loro coefficiente di correlazione lineare è $r_{xy} = 0,4$. Si definisce una nuova variabile $W = X + kY$, dove $k$ è una costante reale. Determina il valore esatto di $k$ affinché le variabili $X$ e $W$ siano incorrelate (cioè $r_{xw} = 0$).

Nota: Puoi usare la proprietà di linearità della covarianza: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

In un esperimento di termodinamica si misura la pressione ($P$) di un gas a diversi volumi ($V$) mantenendo costante la temperatura. La teoria fisica prevede una relazione del tipo $P = \frac{k}{V}$. Per linearizzare il modello e applicare la regressione lineare, si definisce una nuova variabile ausiliaria $X = \frac{1}{V}$. Sono state ottenute le seguenti coppie sperimentali $(V, P)$: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.

Calcola il coefficiente di correlazione lineare tra $X$ e $P$. Il risultato ottenuto conferma la teoria fisica sottostante?

La varianza residua (o errore quadratico medio) della regressione di $Y$ su $X$ fornisce una misura della dispersione dei punti attorno alla retta di regressione e può essere calcolata mediante l'espressione $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. In uno studio socioeconomico si sa che la varianza della variabile dipendente $Y$ è $36$ e che la retta di regressione di $Y$ su $X$ lascia una varianza residua di $6,25$. Se si sa che il coefficiente angolare di tale retta di regressione è negativo, trova il coefficiente di correlazione lineare $r$ e interpreta statisticamente il suo significato.

Un laboratorio di astrofisica registra cinque misure congiunte di due grandezze con valori molto elevati:

$(10\,002; 50\,010),\ (10\,004; 50\,016),\ (10\,006; 50\,022),\ (10\,008; 50\,028),\ (10\,010; 50\,034)$.

Per trovare il coefficiente di correlazione lineare $r$, il gruppo discute tra tre strategie:

• Metodo 1 (Diretto): Calcolare $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$, $\sigma_y^2$ e $\sigma_{xy}$ applicando le formule ai dati originali.

• Metodo 2 (Cambio di scala e origine): Standardizzare o centrare definendo $U = \frac{X - 10\,006}{2}$ e $V = \frac{Y - 50\,022}{6}$, calcolare $r_{uv}$ sui valori ridotti $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ e dedurre $r_{xy}$.

• Metodo 3 (Deduzione funzionale): Cercare se esiste una relazione esatta $Y = aX + b$ tra i punti e applicare il risultato teorico sulle variabili collineari.

1. a) Risolvi il problema applicando il Metodo 2 e il Metodo 3, spiegando in dettaglio i passaggi seguiti in ciascuno.
2. b) Confronta criticamente i tre metodi: motiva quale sia il più efficiente e argomenta quali svantaggi numerici presenta il Metodo 1 operando a mano o con calcolatrici standard.
3. c) Se l'ultima misura fosse stata $(10\,010; 50\,030)$ invece di $(10\,010; 50\,034)$, i tre metodi sarebbero ancora validi? Giustifica quale resterebbe invalidato e quale tra i rimanenti sarebbe il più conveniente per calcolare il nuovo $r$.

Uno studio sulle condizioni lavorative analizza in due settori professionali diversi (Settore A e Settore B) la relazione tra gli anni di esperienza nella posizione ($X$) e un indice di soddisfazione lavorativa ($Y$, da 1 a 10 punti). Si raccolgono tre osservazioni per ciascun settore:

• Settore A: $(1, 5)$, $(2, 6)$ e $(3, 7)$.

• Settore B: $(7, 1)$, $(8, 2)$ e $(9, 3)$.

1. a) Deduci, senza calcolare varianze, il coefficiente di correlazione lineare del Settore A ($r_A$) e del Settore B ($r_B$), giustificando la deduzione a partire dalla relazione funzionale osservata in ciascun gruppo.
2. b) Un analista decide di unire i due gruppi in un unico campione globale di 6 osservazioni. Calcola in dettaglio le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$, le deviazioni standard $\sigma_x$ e $\sigma_y$, la covarianza globale $\sigma_{xy}$ e il coefficiente di correlazione globale $r_{\text{globale}}$.
3. c) Interpreta il risultato ottenuto: come è possibile che all'interno di ciascun settore la correlazione lineare sia perfetta e positiva ($r = 1$), ma unendo i due settori il coefficiente globale risulti fortemente negativo? Spiega quale ruolo svolge la variabile qualitativa nascosta «settore» in questa apparente contraddizione (nota come paradosso di Simpson).