Esercizi: Distribuzioni bidimensionali

Classifica le seguenti coppie di variabili statistiche bidimensionali in base al tipo di correlazione lineare (positiva, negativa o nulla) che è lecito aspettarsi tra di esse:

• Il peso di un veicolo e il suo consumo di carburante ogni 100 km.

• Il numero di ore di luce solare diretta e la quantità di energia prodotta da un pannello solare.

• Il numero di scarpe di un adulto e il suo stipendio mensile.

• Il tempo di uso continuato di un computer portatile e la percentuale di batteria residua.

In una fabbrica di componenti elettronici sono stati misurati il numero di difetti riscontrati in un lotto ($X$) e il turno di produzione ($Y$, dove 1 è mattina, 2 è pomeriggio e 3 è notte) nell'arco di 50 giorni. La tabella delle frequenze congiunte è la seguente:

Calcola la distribuzione marginale della variabile $X$ (numero di difetti) e determina la sua media aritmetica.

In una fabbrica di componenti elettronici sono stati misurati il numero di difetti riscontrati in un lotto ($X$) e il turno di produzione ($Y$, dove 1 è mattina, 2 è pomeriggio e 3 è notte) nell'arco di 50 giorni. La tabella delle frequenze congiunte è la seguente:

Ricava la distribuzione della variabile $X$ condizionata al fatto che la produzione sia avvenuta esclusivamente nel turno di notte ($Y=3$).

In uno studio sulle prestazioni di 12 server sono stati registrati la quantità di memoria RAM assegnata in GB ($X$) e il numero di richieste elaborate al secondo ($Y$). Si sa che $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la media della RAM è $\bar{x} = 16$ GB e la media delle richieste è $\bar{y} = 22$. Calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

La covarianza tra la temperatura media giornaliera in gradi Celsius ($X$) e le vendite di gelati in centinaia di euro ($Y$) in una gelateria durante l'estate è $\sigma_{xy} = 18,5$. Se le deviazioni standard marginali sono $\sigma_x = 4,2$ e $\sigma_y = 5,1$, calcola il coefficiente di correlazione lineare $r$ e interpreta il risultato.

In un'analisi della relazione tra la spesa mensile in marketing digitale ($X$, in migliaia di euro) e i ricavi delle vendite ($Y$, in migliaia di euro), sono state ottenute le due rette di regressione. La retta di $Y$ su $X$ è $y = 2,5x + 10$ e la retta di $X$ su $Y$ è $x = 0,36y - 2$. Determina il baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ di questa distribuzione bidimensionale.

L'ufficio risorse umane di un'azienda di software ha stabilito che la retta di regressione che mette in relazione gli anni di esperienza ($X$) con lo stipendio mensile in euro ($Y$) dei suoi programmatori è $y = 85x + 1200$. Stima lo stipendio mensile di un dipendente con 5 anni di esperienza.

Osserva i seguenti diagrammi di dispersione che mettono in relazione diverse variabili in tre esperimenti differenti. Assegna in modo motivato a ciascun grafico uno dei seguenti coefficienti di correlazione lineare: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

In una stazione meteorologica del Piemonte, Luca analizza la relazione tra la temperatura media giornaliera ($X$, in gradi Celsius) e il consumo di gas naturale del riscaldamento centralizzato ($Y$, in metri cubi) durante cinque giornate invernali. Dopo aver elaborato i dati, ottiene una covarianza $\sigma_{xy} = -14,5\text{ }^\circ\text{C}\cdot\text{m}^3$. Per inviare il rapporto a una rivista scientifica internazionale, decide di convertire la temperatura in kelvin ($U = X + 273,15$) e il volume di gas in litri ($V = 1000Y$). Luca conclude nella sua bozza: «Poiché a $X$ sommiamo $273,15$ e $Y$ la moltiplichiamo per $1000$, la nuova covarianza è $\sigma_{uv} = (-14,5 + 273,15) \cdot 1000 = 258\,650\text{ K}\cdot\text{L}$, quindi ora la relazione tra le due grandezze diventa positiva». Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Luca, giustifica quale effetto geometrico e algebrico hanno le traslazioni e i cambiamenti di scala sulla covarianza e calcola il valore numerico corretto di $\sigma_{uv}$ con le sue unità.

Un gruppo di orientamento scolastico di una scuola secondaria ha registrato, in un campione di 30 studenti del primo anno di liceo, il tempo giornaliero di uso ricreativo del cellulare ($X$, in ore) e le ore di sonno notturno ($Y$, in ore). Dopo aver tabulato i dati individuali, si dispongono le medie $\bar{x} = 3,5\text{ h}$, $\bar{y} = 7,0\text{ h}$ e la covarianza $\sigma_{xy} = -1,8\text{ h}^2$. Per coordinarsi con uno studio regionale sulla salute giovanile, occorre esprimere entrambe le variabili in minuti ($U = 60X$, $V = 60Y$). Per trovare la nuova covarianza $\sigma_{uv}$ si propongono due strade:

• Metodo 1: Moltiplicare per 60 ciascuna delle 30 coppie di valori originali $(x_i, y_i)$, costruire una nuova tabella con le coppie $(u_i, v_i)$, trovare le nuove medie $\bar{u}$ e $\bar{v}$ e calcolare $\sigma_{uv} = \frac{\sum u_i v_i}{30} - \bar{u}\bar{v}$.

• Metodo 2: Applicare la proprietà algebrica di conservazione della covarianza rispetto alle trasformazioni lineari $\sigma_{uv} = ac\cdot\sigma_{xy}$.

Confronta i due metodi valutando il tempo di calcolo e il rischio di propagazione degli errori di arrotondamento e indica con motivazioni quale sia preferibile. Infine, applica il metodo scelto per calcolare il valore esatto di $\sigma_{uv}$ e interpreta il suo segno.

In una cooperativa agricola sono stati registrati la quantità di fertilizzante applicato in kg/ha ($X$) e la resa del raccolto in tonnellate/ha ($Y$) in 5 appezzamenti sperimentali:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcola le medie marginali, le varianze marginali e la covarianza di questa distribuzione bidimensionale.

In una sperimentazione clinica, 100 pazienti sono stati classificati in base alla fascia di età ($X$, in anni) e al livello di colesterolo nel sangue ($Y$, in mg/dL), raggruppati in classi.

Calcola la media e la deviazione standard del livello di colesterolo esclusivamente per i pazienti della fascia di età $[40, 50)$. Usa i valori centrali delle classi per i tuoi calcoli.

L'analisi dei dati macroeconomici di 20 paesi mostra che la media del prodotto interno lordo pro capite ($X$, in migliaia di euro) è $\bar{x} = 25$, con deviazione standard $\sigma_x = 8$. Il consumo medio di energia pro capite ($Y$, in MWh) è $\bar{y} = 12$, con deviazione standard $\sigma_y = 4$. Se il coefficiente di correlazione lineare è $r = 0,85$, determina l'equazione della retta di regressione di $Y$ su $X$.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra la temperatura applicata a una lega metallica ($X$, in $^\circ\text{C}$) e la sua dilatazione termica ($Y$, in mm). A partire dalla rappresentazione visiva della nuvola di punti e della retta di regressione, stima il valore dell'ordinata all'origine e del coefficiente angolare della retta. Poi prevedi la dilatazione per una temperatura di $80^\circ\text{C}$.

Sia data una distribuzione bidimensionale $(X, Y)$ con covarianza $\sigma_{xy} = 15$ e coefficiente di correlazione $r = 0,6$. Se si esegue una trasformazione lineare sulle variabili per adattarle a una nuova scala di misura, in modo che $U = 2X - 3$ e $V = -0,5Y + 1$, calcola la nuova covarianza $\sigma_{uv}$ e il nuovo coefficiente di correlazione $r_{uv}$ tra $U$ e $V$.

In un sondaggio su 200 studenti universitari è stata studiata la relazione tra il numero di ore settimanali dedicate allo sport ($X$) e il livello di stress dichiarato ($Y$, misurato da 1 a 3). Alcuni dati della tabella di contingenza sono stati cancellati:

Completa la tabella sapendo che il $30\%$ del totale degli intervistati dedica 2 ore allo sport e ha un livello di stress 2. Una volta completata, giustifica matematicamente se le variabili sono statisticamente indipendenti.

Una piattaforma di commercio elettronico ha modellizzato la relazione tra il numero di visite giornaliere alla pagina di un prodotto ($X$) e il numero di unità vendute ($Y$) mediante la retta di regressione $y = 0,04x + 2,5$. Il coefficiente di correlazione è $r = 0,91$ e l'intervallo di visite nel campione studiato va da 100 a 500.

1. a) Stima le vendite se un prodotto riceve 350 visite.
2. b) Stima le vendite se un prodotto riceve 2000 visite.
3. c) Discuti l'affidabilità di entrambe le previsioni in base ai dati forniti.

In uno studio sulla relazione tra la precipitazione annua ($X$, in mm) e la produzione di grano ($Y$, in tonnellate per ettaro), si sa che la retta di regressione di $Y$ su $X$ è $y = 0,15x - 12$. Se la media delle precipitazioni è $\bar{x} = 400$ mm e il coefficiente di correlazione è $r = 0,75$, trova l'equazione della retta di regressione di $X$ su $Y$.

A partire dai dati climatici dell'ARPA in una stessa zona dell'entroterra durante una giornata autunnale serena, si registrano l'altitudine sul livello del mare ($X$, in centinaia di metri) e la temperatura massima raggiunta ($Y$, in $^\circ\text{C}$) in 5 località:

$A(4; 21)$, $B(6; 19)$, $C(8; 18)$, $D(10; 15)$ e $E(12; 12)$.

1. Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo giustificato il segno che deve avere la covarianza basandoti sul gradiente termico verticale della troposfera e spiega se ci si può aspettare una dipendenza funzionale esatta o puramente statistica.

2. Calcola le coordinate del baricentro $(\bar{x}, \bar{y})$ della distribuzione e la covarianza esatta $\sigma_{xy}$ applicando la formula $\sigma_{xy} = \frac{1}{N}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$.

3. Verifica se il valore numerico ottenuto conferma la tua stima precedente e spiega il significato del segno della covarianza in termini di variazione simultanea delle due variabili.

In un impianto di confezionamento di olio extravergine di oliva a Bari si analizza la relazione tra il tempo di riempimento ($X$, in secondi) e il volume netto introdotto ($Y$, in centilitri) per $N = 4$ confezioni selezionate nel controllo di qualità. A causa di un guasto informatico due coordinate sono andate perdute e si dispone soltanto delle coppie $(2; 98)$, $(3; y_2)$, $(x_3; 100)$ e $(7; 102)$. Tuttavia, il registro generale conserva due parametri: il baricentro è $(\bar{x}, \bar{y}) = (4; 100)$ e la covarianza campionaria è $\sigma_{xy} = 2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$.

1. Deduci i valori perduti $x_3$ e $y_2$ utilizzando esclusivamente le proprietà delle medie marginali.

2. Con la serie completa dei quattro punti, verifica numericamente che la covarianza coincide con il dato del rapporto ($2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$).

3. Determina quale valore dovrebbe assumere l'ordinata del quarto punto (sostituendo $102$ con un nuovo valore $y_4$, mantenendo fissi $x_1, x_2, x_3, x_4$ e riaggiustando $y_2$ affinché la media $\bar{y} = 100$ non cambi) affinché la covarianza risulti esattamente uguale a $0\text{ s}\cdot\text{cl}$.

In un'analisi sociodemografica sono state ottenute le due rette di regressione che mettono in relazione il tasso di natalità ($X$, per mille) e la speranza di vita ($Y$, in anni) di una regione. Le equazioni delle rette sono:

$3x + y - 105 = 0$

$x + 2y - 160 = 0$

Individua con motivazioni quale sia la retta di regressione di $Y$ su $X$ e quale quella di $X$ su $Y$. Poi calcola le medie marginali $\bar{x}$ e $\bar{y}$ e il coefficiente di correlazione lineare $r$.

Dimostra matematicamente che, se le equazioni delle rette di regressione di $Y$ su $X$ e di $X$ su $Y$ si esprimono nella forma $y = mx + n$ e $x = m'y + n'$ rispettivamente, allora il coefficiente di correlazione lineare soddisfa $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Spiega inoltre da che cosa dipende il segno assunto da $r$.

È stata analizzata la relazione tra il tempo di essiccazione di una vernice industriale ($X$, in ore) e la sua resistenza all'abrasione ($Y$, in un indice da 0 a 100) in 4 prove, ottenendo le seguenti coppie di valori: $(2, 40)$, $(3, 55)$, $(5, k)$, $(6, 85)$.

Se si sa che la media marginale della resistenza è $\bar{y} = 62,5$, determina prima il valore del parametro $k$. Poi calcola la covarianza $\sigma_{xy}$ e il coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$.

La crescita di una colonia di batteri in funzione del tempo ($X$, in ore) non segue un modello lineare, ma esponenziale della forma $Y = A \cdot e^{BX}$, dove $Y$ è il numero di batteri (in migliaia). Per applicare tecniche di regressione lineare si effettua il cambio di variabile $Z = \ln Y$.

I dati trasformati $(X, Z)$ forniscono i seguenti risultati marginali e congiunti per 5 osservazioni: $\bar{x} = 4$, $\bar{z} = 2,1$, $\sigma_x^2 = 2,5$, $\sigma_{xz} = 1,2$.

Calcola i valori dei parametri $A$ e $B$ del modello esponenziale originale.

Il seguente grafico di dispersione mette in relazione la concentrazione di un inquinante chimico in un fiume ($X$, in ppm) con il tasso di mortalità di una specie di pesce ($Y$, in %). Osserva la presenza di un valore anomalo chiaramente distinto dal resto della nuvola di punti.

Spiega con motivazioni come influirebbe l'eliminazione di questo valore anomalo sulla covarianza $\sigma_{xy}$, sul coefficiente angolare della retta di regressione di $Y$ su $X$ e sul coefficiente di correlazione lineare $r$.

Di una distribuzione statistica bidimensionale $(X, Y)$ di dimensione $N = 10$ si conoscono le seguenti somme:

$\sum x_i = 50$, $\sum y_i = 70$, $\sum x_i^2 = 286$, $\sum y_i^2 = 540$, $\sum x_i y_i = 385$.

Calcola il coefficiente di determinazione $R^2$ e la varianza residua $\sigma_e^2$. Interpreta il significato di entrambi i valori nel contesto della bontà dell'adattamento lineare.

In uno studio, le variabili $X$ e $Y$ assumono i valori $X \in \{2, 4, 6\}$ e $Y \in \{4, 6, 8\}$. Le distribuzioni marginali sono identiche e uniformi (frequenza assoluta pari a 10 per ogni singolo valore, con dimensione del campione $N=30$). Inoltre, si sa che la distribuzione congiunta è perfettamente simmetrica ($f_{ij} = f_{ji}$) e che la frequenza congiunta per $X=2$ e $Y=4$ è 8, per $X=2$ e $Y=6$ è 2 e per $X=4$ e $Y=6$ è 2.

Calcola le restanti frequenze congiunte della tabella e dimostra che la covarianza di questa distribuzione è $\sigma_{xy} = 1,6$.

Sia data una distribuzione bidimensionale di variabili $(X, Y)$ con deviazioni standard marginali strettamente positive ($\sigma_x > 0$ e $\sigma_y > 0$). Dimostra analiticamente che, se esiste una relazione funzionale lineare esatta tra le due variabili della forma $Y = aX + b$ (con $a \neq 0$), allora il coefficiente di correlazione lineare è $r = 1$ se $a > 0$, oppure $r = -1$ se $a < 0$. (Suggerimento: usa le proprietà della media e della varianza rispetto alle trasformazioni lineari).

Un rapporto socio-lavorativo in un parco tecnologico del Piemonte analizza la relazione tra gli anni di esperienza lavorativa ($X$) e lo stipendio mensile netto ($Y$, in centinaia di euro) in un campione di 6 lavoratori classificati in due reparti professionali:

• Reparto A (Supporto e Operazioni): composto dai dipendenti $A_1(6; 15)$, $A_2(8; 17)$ e $A_3(10; 19)$.

• Reparto B (Sviluppo e Architettura del software): composto dai dipendenti $B_1(1; 26)$, $B_2(3; 28)$ e $B_3(5; 30)$.

• Analizza ciascun reparto separatamente: calcola il baricentro e la covarianza di ciascun sottogruppo ($\sigma_{xy}^A$ e $\sigma_{xy}^B$). Descrivi la tendenza osservata all'interno di ciascun settore.

• Modellizza il campione complessivo riunendo i 6 lavoratori in un'unica distribuzione bidimensionale. Calcola il baricentro globale $(\bar{x}, \bar{y})$ e la covarianza complessiva $\sigma_{xy}$.

• Confronta il segno della covarianza globale con i segni ottenuti in ciascun reparto separatamente. Come si chiama questo paradosso statistico? Spiega qual è la variabile nascosta o di confondimento che agisce nell'insieme e perché aggregare sottogruppi eterogenei senza disaggregare può distorcere completamente le conclusioni sociologiche.

Uno studente sostiene la seguente affermazione: «Poiché la covarianza misura la tendenza congiunta tra due variabili, quanto maggiore è il suo valore assoluto, tanto maggiore è la forza o intensità della loro dipendenza lineare; perciò una distribuzione con $\sigma_{xy} = 1500$ presenta una relazione lineare molto più forte e deterministica di un'altra con $\sigma_{uv} = 0,02$». Dimostra con motivazioni che questa conclusione è falsa mediante i seguenti passi:

1. Considera la distribuzione $D_1$ formata dai quattro punti $(1; 10)$, $(2; 2)$, $(3; 11)$ e $(4; 3)$. Calcola il suo baricentro, la sua covarianza $\sigma_{xy}$ e giustifica perché la sua dipendenza lineare è debole. Quindi definisci due fattori di scala $a$ e $c$ tali che, trasformando le variabili secondo $U = aX$ e $V = cY$, la nuova covarianza $\sigma_{uv}$ superi il valore di $1\,000\,000$, senza che la disposizione relativa della nuvola di punti sia cambiata minimamente.

2. Progetta con motivazioni una distribuzione $D_2$ formata da quattro punti che verifichino una dipendenza funzionale lineare stretta e decrescente ($y = -0,5x + 10$, in modo che tutti i punti siano perfettamente allineati), ma le cui ascisse siano scelte in modo tale che la sua covarianza soddisfi $|\sigma_{xy}| < 0,02$.

3. A partire dai risultati precedenti, giustifica perché la covarianza non permette di confrontare il grado di associazione lineare tra distribuzioni diverse con unità o scale diverse, argomentando quale proprietà manca a questo parametro per servire da indicatore universale di correlazione.