Esercizi: Statistica di base

Un ingegnere agronomo sta tarando un sensore di umidità del suolo. Le ultime 5 letture, in percentuale, sono: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcola la media aritmetica e la deviazione standard della popolazione di queste misurazioni.

In uno studio sociologico sulle abitudini di lettura, sono state intervistate 50 persone sul loro sesso ($X$: $1$ per Uomo, $2$ per Donna) e se leggono più di un libro al mese ($Y$: $1$ per Sì, $2$ per No). La tabella delle frequenze assolute congiunte $n_{ij}$ è la seguente: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Costruisci la tabella della distribuzione marginale della variabile $Y$ e calcola le sue frequenze relative.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva il seguente diagramma di dispersione che mette in relazione le ore di allenamento settimanali ($X$) e il tempo in secondi in una gara dei 100 metri piani ($Y$) di un gruppo di atleti. Indica se la correlazione tra le due variabili è diretta (positiva) o inversa (negativa) e stabilisci in modo visivo se la dipendenza lineare sembra forte o debole.

L'ufficio risorse umane di un'azienda di ingegneria ha raccolto dati sugli anni di esperienza ($X$) e sullo stipendio mensile in migliaia di euro ($Y$) dei suoi dipendenti. Sapendo che la media dell'esperienza è $\bar{x} = 5$ anni, lo stipendio medio è $\bar{y} = 2,5$ migliaia di euro, la dimensione del campione è $N = 20$ e la somma dei prodotti incrociati è $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcola la covarianza $\sigma_{xy}$.

In un reparto maternità sono stati misurati il peso in kg ($X$) e la lunghezza in cm ($Y$) di 6 neonati, ottenendo le seguenti coppie di valori $(x_i, y_i)$: $(3,2; 50)$, $(3,5; 52)$, $(3,2; 51)$, $(3,8; 52)$, $(3,5; 50)$ e $(3,2; 50)$. Costruisci la tabella a doppia entrata (frequenze assolute congiunte) per queste due variabili.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Da una tabella di frequenze congiunte di due variabili $X$ (numero di fratelli) e $Y$ (numero di animali domestici), si sa che la frequenza marginale assoluta di $X=1$ è $n_{1\bullet} = 40$. Di queste 40 persone, 15 hanno $Y=0$ animali, 20 hanno $Y=1$ animale e 5 hanno $Y=2$ animali. Calcola la distribuzione delle frequenze relative della variabile $Y$ condizionata a $X=1$.

Un biologo marino confronta la lunghezza di due specie di pesci. La specie Alpha ha una lunghezza media di $40$ cm con una deviazione standard di $4$ cm. La specie Beta ha una lunghezza media di $150$ cm con una deviazione standard di $12$ cm. Calcola il coefficiente di variazione per entrambe le specie e indica quale presenta maggiore dispersione relativa.

I punteggi ottenuti dai 9 componenti di una squadra di ginnastica ritmica in una prova di flessibilità sono: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana e il primo quartile ($Q_1$) di questo insieme di dati.

In uno studio sul rendimento in Matematica nel primo anno di liceo, si analizza la relazione tra l'uso abituale della calcolatrice grafica ($X$: Sì, No) e il risultato della valutazione finale ($Y$: Promosso, Respinto) su un campione di $50$ studenti di un liceo. I dati congiunti sono:

• Studenti che usano la calcolatrice e sono promossi: $18$

• Studenti che usano la calcolatrice e sono respinti: $2$

• Studenti che non usano la calcolatrice e sono promossi: $15$

• Studenti che non usano la calcolatrice e sono respinti: $15$

Carlo, un compagno di classe, afferma: «La percentuale di studenti promossi grazie all'uso della calcolatrice è del $36\,\%$, dato che $18/50 = 0{,}36$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale di Carlo nell'interpretare una frequenza relativa congiunta $f_{11}$ come se fosse una frequenza condizionata.
2. b) Imposta e calcola la frequenza relativa condizionata che risponde in modo rigoroso alla domanda: «Tra gli studenti che usano la calcolatrice grafica, qual è la percentuale di promossi?». Confronta questo valore con la percentuale globale di promossi nel campione e interpreta la differenza.

In una stazione meteorologica di montagna sono state registrate le seguenti temperature massime (in °C) durante cinque giorni consecutivi d'inverno: $-2, 1, 3, 4, 9$.

1. a) Senza eseguire ancora operazioni formali, stima in modo giustificato tra quali due numeri interi deve trovarsi la media aritmetica $\bar{x}$ e stabilisci se ti aspetti che la deviazione standard sia minore o maggiore di $5$ °C, considerando il campo di variazione dei dati.
2. b) Verifica la tua stima calcolando il valore esatto della media aritmetica $\bar{x}$, della varianza $\sigma^2$ e della deviazione standard $\sigma$.
3. c) Valuta la funzione errore quadratico $f(c) = \sum_{i=1}^5 (x_i - c)^2$ per i valori $c = 2$, $c = \bar{x}$ e $c = 4$. Verifica numericamente se vale la proprietà teorica secondo cui tale funzione raggiunge il suo valore minimo esattamente nella media aritmetica.

Una clinica veterinaria classifica i cani visitati in un mese in base alla taglia ($X$: $1$ = Piccola, $2$ = Media, $3$ = Grande) e al numero di visite dal veterinario nell'ultimo anno ($Y$: $1, 2, 3$). La tabella delle frequenze congiunte $n_{ij}$ è:

• Per $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$

• Per $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$

• Per $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$

Calcola la media aritmetica e la varianza della distribuzione marginale del numero di visite ($Y$).

Il seguente diagramma di dispersione rappresenta il prezzo in migliaia di euro ($Y$) in funzione dell'età in anni ($X$) di un modello specifico di furgone usato. A partire dai punti situati esattamente sulle intersezioni della griglia nel grafico, costruisci la tabella dei dati bidimensionale e calcola la media marginale dell'età $\bar{x}$ e la media marginale del prezzo $\bar{y}$.

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In uno studio di agronomia si analizzano la quantità di fertilizzante applicato in kg/ha ($X$) e la resa del raccolto in tonnellate/ha ($Y$). Si dispone della seguente tabella a doppia entrata per le frequenze congiunte $n_{ij}$:

Calcola la media e la deviazione standard della resa del raccolto condizionata all'applicazione di $20$ kg/ha di fertilizzante (cioè della distribuzione $Y | X=20$).

Due fabbriche di componenti aeronautici producono pezzi il cui tempo di vita utile è una variabile statistica. La fabbrica Alpha produce componenti con una vita utile media di $1200$ ore e una varianza di $14400$ ore$^2$. La fabbrica Beta produce componenti con una vita utile media di $800$ ore e una varianza di $10000$ ore$^2$. Giustifica, calcolando un'adeguata misura di dispersione relativa, quale fabbrica ha una produzione più omogenea.

Si analizzano due variabili qualitative su un campione di $200$ turisti: continente di provenienza ($X$: Europeo, Americano, Asiatico) e tipo di alloggio ($Y$: Hotel, Appartamento). Le frequenze relative marginali sono: Europei $50\%$, Americani $30\%$, Asiatici $20\%$. Per l'alloggio: Hotel $60\%$, Appartamento $40\%$. Se si assume che le due variabili siano statisticamente indipendenti, quanti turisti del campione ci si aspetta che siano americani e alloggino contemporaneamente in un appartamento?

In una stazione meteorologica la velocità massima giornaliera del vento ($X$, in km/h) è stata raggruppata nei seguenti intervalli: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, con frequenze assolute $5, 12, 8, 5$ rispettivamente. Utilizzando i valori centrali di ciascun intervallo, calcola la media aritmetica e la varianza della velocità del vento.

Una squadra di ciclisti ha registrato le distanze percorse nei suoi ultimi 4 allenamenti: $45, 50, x, 60$ chilometri. Sapendo che la distanza media dei 4 allenamenti è esattamente $52,5$ km, determina prima il valore dell'allenamento mancante ($x$) e poi calcola la deviazione standard della popolazione dei 4 allenamenti.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra la forza applicata a una molla in Newton ($X$) e la sua lunghezza in centimetri ($Y$). Sapendo che le coppie di valori esatte sono $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ e $(4, 9)$, calcola la covarianza $\sigma_{xy}$ e verifica analiticamente se esiste una relazione funzionale esatta tra le due variabili.

A partire da dati ispirati all'indagine ISTAT sull'equipaggiamento e l'uso delle tecnologie dell'informazione nelle famiglie, si analizza la relazione tra l'età degli utenti ($X$, con tre fasce rappresentate dal loro valore centrale: $20$ anni per i giovani da 16 a 24, $40$ anni per gli adulti da 25 a 54 e $65$ anni per gli over 55) e il numero medio di ore giornaliere dedicate allo svago digitale davanti a schermi ($Y \in \{1, 3, 5\}$ ore). La distribuzione delle frequenze assolute congiunte in un campione rappresentativo di $N = 200$ residenti è:

1. a) Ricava le tabelle delle distribuzioni marginali di $X$ e di $Y$ e calcola l'età media del campione e la media globale delle ore giornaliere davanti agli schermi.
2. b) Costruisci il modello della distribuzione condizionata del tempo di svago digitale per il gruppo dei giovani ($Y \,|\, X = 20$ anni) e calcola la sua media condizionata e la sua deviazione standard condizionata.
3. c) Verifica se l'uso intensivo di schermi ($Y = 5$ ore) è statisticamente indipendente dall'appartenenza al gruppo dei giovani ($X = 20$ anni), confrontando formalmente la frequenza relativa congiunta con il prodotto delle corrispondenti frequenze relative marginali.

Una cooperativa di trasporto urbano dispone di una flotta di $50$ furgoni elettrici e monitora il consumo di energia in kWh ogni $100$ km. I veicoli operano in due turni indipendenti: Mattina ($30$ furgoni) e Pomeriggio ($20$ furgoni). A causa di un errore nel trasferimento dei dati, i registri individuali sono andati persi, ma il sistema conserva i seguenti indicatori aggregati:

• Il consumo medio globale dell'intera flotta è stato di $8{,}2$ kWh/100 km con una varianza globale $\sigma^2 = 0{,}96$.

• Nel turno della Mattina, il consumo medio è stato di $8{,}0$ kWh/100 km con una deviazione standard di $0{,}8$ kWh/100 km.

1. a) Imposta l'equazione della media ponderata e determina il consumo medio registrato nel turno del Pomeriggio.
2. b) Utilizzando la relazione tra varianza campionaria, somma dei quadrati e media (proprietà $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$), ricostruisci la somma totale dei quadrati di ciascun turno e deduci la varianza e la deviazione standard del consumo nel turno del Pomeriggio.
3. c) Calcola il coefficiente di variazione ($CV$) di ciascun turno e spiega quale dei due gruppi ha presentato un andamento dei consumi relativamente più omogeneo.

In una ricerca sulla relazione tra il numero di ore settimanali dedicate allo sport ($X$) e il livello di stress lavorativo ($Y$), si ottiene la seguente tabella di frequenze assolute congiunte, dove $k$ è un valore incognito:

Determina matematicamente il valore di $k$ affinché le variabili $X$ e $Y$ siano rigorosamente indipendenti dal punto di vista statistico.

Siano $X$ e $Y$ due variabili statistiche bidimensionali con medie $\bar{x}, \bar{y}$, deviazioni standard $\sigma_x, \sigma_y$ e covarianza $\sigma_{xy}$. Se si applica a entrambe le variabili una trasformazione lineare della forma $U = 3X - 2$ e $V = -2Y + 5$, dimostra analiticamente quale sarà il valore della nuova covarianza $\sigma_{uv}$ espressa in funzione di $\sigma_{xy}$.

In un'azienda tecnologica, lo stipendio base mensile ($X$, in euro) ha media $1500$ e deviazione standard $200$. Le commissioni per i progetti consegnati ($Y$, in euro) hanno media $300$ e deviazione standard $100$. Sapendo che la covarianza tra stipendio base e commissioni è $\sigma_{xy} = 15000$, calcola la media e la varianza dello stipendio totale mensile $Z = X + Y$.

(Nota: ricorda la proprietà della varianza della somma di due variabili correlate: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$).

Si dispone di una tabella bidimensionale di due variabili $X$ e $Y$ che assumono i valori $X \in \{1, 2\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Sono noti i seguenti dati statistici globali: la dimensione del campione è $N=100$, la media marginale di $X$ è $\bar{x} = 1,4$, la media marginale di $Y$ è $\bar{y} = 0,6$ e la covarianza è $\sigma_{xy} = 0,06$. Utilizzando le definizioni di questi parametri, ricostruisci completamente la tabella delle frequenze assolute congiunte $n_{ij}$.

Un analista del controllo qualità osserva gli errori di fabbricazione di 10 lotti di produzione. La media degli errori è $6,5$ e la varianza è $2,25$. In seguito, durante un controllo, si accorge che un errore di battitura ha registrato $2$ errori al posto di $8$ per uno dei lotti. Calcola la nuova media e la nuova varianza corrette senza dover conoscere i dati individuali degli altri 9 lotti.

Il seguente diagramma di dispersione mostra la relazione tra gli anni di esperienza ($X$) e il reddito annuo in migliaia di euro ($Y$) di un gruppo di professionisti, suddivisi in due reparti distinti (Reparto A in blu e Reparto B in verde). Spiega il concetto di paradosso di Simpson basandoti su ciò che osserveresti calcolando la correlazione globale di tutti i punti insieme, rispetto alle correlazioni locali di ciascun reparto separatamente.

Sono stati condotti due studi epidemiologici indipendenti sull'indice di massa corporea (IMC) in una regione. Il primo studio, con un campione di $40$ persone, ha ottenuto una media di $22$ e una varianza di $4$. Il secondo studio, con un campione di $60$ persone, ha ottenuto una media di $25$ e una varianza di $5$. Se i due studi si combinano in un unico campione aggregato di $100$ persone, calcola la media e la varianza di questo campione complessivo.

Dato un insieme di dati unidimensionale $x_1, x_2, \dots, x_n$, si definisce la funzione errore quadratico $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, che misura la somma dei quadrati delle distanze da ciascun dato a un valore costante $c$. Dimostra analiticamente (usando le derivate o completando il quadrato) che il valore di $c$ che minimizza questa funzione è esattamente la media aritmetica $\bar{x}$.

Per verificare se esiste una relazione di dipendenza tra due variabili statistiche $X$ e $Y$ tabulate in una tabella a doppia entrata, due membri di un gruppo di analisti discutono quale metodo utilizzare:

• Metodo A: Verificare se le medie condizionate di $Y$ per ciascun valore di $X$ coincidono tra loro e con la media marginale di $Y$ (cioè verificare se $\bar{y}_{X=x_1} = \bar{y}_{X=x_2} = \dots = \bar{y}$).

• Metodo B: Verificare se le distribuzioni delle frequenze relative condizionate di ciascuna riga coincidono con la distribuzione marginale di $Y$ (cioè verificare se $n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ per ogni $i, j$).

Considera la seguente tabella di frequenze congiunte che riassume una prova pilota su due metodi di formazione ($X \in \{1, 2\}$) e il livello raggiunto su una scala discreta ($Y \in \{1, 2, 3\}$):

1. a) Applica il Metodo A calcolando la media condizionata di $Y$ per $X=1$, la media condizionata di $Y$ per $X=2$ e la media marginale $\bar{y}$. A quale conclusione sulla relazione tra $X$ e $Y$ porterebbe erroneamente questo metodo?
2. b) Applica il Metodo B alla cella $(X=1, Y=1)$ e giustifica rigorosamente perché il Metodo B è l'unico valido per diagnosticare in generale l'indipendenza statistica.
3. c) Dimostra formalmente che la condizione del Metodo B ($n_{ij}/n_{i\bullet} = n_{\bullet j}/N$ per ogni $i, j$) è algebricamente equivalente alla definizione simmetrica $f_{ij} = f_{i\bullet} \cdot f_{\bullet j}$. Spiega perché basta trovare una sola cella che non soddisfi l'uguaglianza per escludere l'indipendenza, senza dover verificare l'intera tabella.

Un consorzio comprensoriale di trasporti progetta di collocare una stazione centrale di interscambio lungo una strada provinciale rettilinea, le cui posizioni si misurano in chilometri ($x$) rispetto a un nodo di origine. Quattro comuni con diverse richieste di viaggiatori giornalieri si trovano ai punti chilometrici $x_1 = 10$, $x_2 = 20$, $x_3 = 35$ e $x_4 = 40$, con richieste di $f_1 = 40$, $f_2 = 60$, $f_3 = 120$ e $f_4 = 80$ viaggiatori giornalieri, rispettivamente ($N = 300$).

Si propongono due criteri per determinare la posizione chilometrica $c$ in cui costruire la stazione:

• Criterio quadratico: Minimizzare la funzione di costo $E(c) = \sum_{i=1}^4 f_i(x_i - c)^2$, che penalizza fortemente i comuni più lontani.

• Criterio lineare: Minimizzare il percorso totale assoluto dei viaggiatori $L(c) = \sum_{i=1}^4 f_i|x_i - c|$.

1. a) Dimostra mediante derivazione rispetto a $c$ che il valore ottimale $c^*$ che minimizza $E(c)$ è esattamente la media aritmetica ponderata delle posizioni. Calcola il valore esatto di tale punto chilometrico $c^*$ e la varianza delle distanze rispetto ad esso.
2. b) Determina la mediana della distribuzione dei viaggiatori a partire dalle frequenze cumulate e verifica se coincide con la media aritmetica ottenuta.
3. c) Valuta e confronta il costo lineare $L(c)$ collocando la stazione nella media aritmetica ($c = c^*$) rispetto al collocarla nella mediana ($c = M$). Interpreta il risultato ottenuto spiegando perché la media minimizza la somma ponderata degli scarti al quadrato ma non la somma delle distanze in valore assoluto.