Esercizi: Altre equazioni

Risolvi la seguente equazione biquadratica trovando tutte le sue soluzioni reali:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Trova il valore di $x$ che verifica la seguente equazione con l'incognita al denominatore:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Trova le soluzioni reali dell'equazione irrazionale, verificandone la validità:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Determina il valore di $x$ che soddisfa la seguente equazione esponenziale:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Applica le proprietà dei logaritmi per risolvere l'equazione:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Trova i valori di $x$ che soddisfano l'equazione con valore assoluto:

$|2x - 5| = 7$

Scomponi in fattori il polinomio e risolvi l'equazione di terzo grado:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Risolvi la seguente equazione razionale riducendola a un'equazione polinomiale:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

Carlo deve risolvere in un compito l'equazione logaritmica $\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (dove il logaritmo è in base 10). Sul suo foglio scrive il seguente svolgimento:

1. Applico la proprietà della somma di logaritmi: $\log[x(x - 3)] = 1$.

2. Per definizione di logaritmo: $x(x - 3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

3. Risolvo l'equazione di secondo grado: $(x - 5)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 5$ e $x_2 = -2$.

4. Verifica: sostituendo $x = -2$, si ha $(-2)\cdot(-2 - 3) = (-2)\cdot(-5) = 10 > 0$; poiché l'argomento risultante è positivo, entrambe le soluzioni sono valide.

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Carlo e spiega perché il suo ragionamento al passo 4 è scorretto se applicato all'equazione originale.
2. b) Determina il dominio di validità dell'equazione di partenza e scrivi l'insieme finale delle soluzioni reali valide.

Costruisci un'equazione biquadratica della forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ (con coefficienti interi $b, c \in \mathbb{Z}$) che soddisfi contemporaneamente due condizioni:

1. Le sue uniche soluzioni reali devono essere $x = 2$ e $x = -2$.

2. L'equazione di secondo grado ausiliaria in $t$ ($t = x^2$) deve avere due soluzioni reali distinte (cioè discriminante strettamente positivo, $\Delta > 0$).

Mostra passo per passo come deduci i valori di $b$ e $c$, giustificando quale segno deve avere ciascuna radice della variabile ausiliaria $t$ e perché tale scelta garantisce che l'equazione originale non abbia quattro soluzioni reali.

La diagonale di un rettangolo misura $10$ cm e la sua area è $48\text{ cm}^2$. Imposta un'equazione biquadratica per trovare la lunghezza dei suoi lati e risolvila.

Due tubi riempiono una vasca in $6$ ore lavorando insieme. Se il primo tubo impiega $5$ ore in meno del secondo a riempire la vasca da solo, quanto impiega ciascuno? Imposta e risolvi l'equazione razionale corrispondente.

Risolvi la seguente equazione irrazionale con due radicali e verifica la soluzione ottenuta:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Una coltura di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Per determinare l'istante critico di un esperimento, un biologo deve risolvere l'equazione $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Trova i valori di $x$ applicando un cambio di variabile.

Applica le proprietà dei logaritmi per raggruppare i termini e risolvi l'equazione:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Trova tutti i valori reali di $x$ che verificano la seguente equazione con valore assoluto quadratico:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un cartoncino rettangolare di $20 \times 15$ cm, ritagliando quadrati uguali di lato $x$ agli angoli e piegando i bordi. Se il volume della scatola deve essere $378\text{ cm}^3$, imposta l'equazione polinomiale di terzo grado corrispondente e trova il valore di $x$, sapendo che è un numero intero.

Un campione di materiale radioattivo si disintegra in modo che la quantità rimanente $M(t)$ in grammi dopo $t$ anni obbedisce all'espressione $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. Quanti anni devono trascorrere perché rimangano esattamente $50$ grammi di materiale? Esprimi il risultato esatto usando i logaritmi naturali.

Considera l'equazione esponenziale $4^x + 2^{x+1} = 80$.

1. a) Prima di risolverla algebricamente, determina con ragionamento fra quali due numeri interi si trova la soluzione reale. Per farlo, calcola mentalmente il primo membro per $x = 2$ e per $x = 4$, e giustifica tale limitazione a partire dalla stretta crescenza delle funzioni esponenziali.
2. b) Risolvi formalmente l'equazione effettuando il cambio di variabile $u = 2^x$. Giustifica con precisione quale radice dell'equazione di secondo grado ausiliaria viene scartata e per quale motivo teorico.
3. c) Verifica se il valore esatto ottenuto coincide con la tua stima precedente e controlla l'uguaglianza numerica nell'equazione originale.

Per risolvere l'equazione polinomiale $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$, due compagni di classe propongono strade diverse:

• Lucia propone di cercare una radice intera per tentativi tra i divisori di 12 e di scomporre in fattori applicando la regola di Ruffini.

• Marco suggerisce di raggruppare i termini a coppie: $(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$, ed effettuare raccoglimenti successivi senza dover tentare con i divisori.

1. a) Risolvi l'equazione seguendo il metodo di Lucia, mostrando la tabella di Ruffini e l'equazione di secondo grado risultante.
2. b) Risolvi l'equazione seguendo il metodo di Marco, specificando ogni raccoglimento.
3. c) Confronta i due procedimenti: stabilisci quale sia più efficiente in questo caso specifico e spiega se il metodo di Marco sarebbe applicabile a qualsiasi equazione di terzo grado o se richiede una particolare relazione tra i coefficienti (sostieni la risposta con un controesempio).

Determina per quali valori del parametro $k$ l'equazione biquadratica $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ ha esattamente due soluzioni reali distinte. Giustifica la risposta.

Un ciclista va da un paese A a un paese B, distanti $60$ km, a velocità costante. Nel viaggio di ritorno, a causa del vento contrario, la sua velocità diminuisce di $5$ km/h, perciò impiega $1$ ora in più per compiere lo stesso percorso. Imposta l'equazione razionale che modellizza la situazione e determina la velocità all'andata.

Una torre per telecomunicazioni si trova sulla riva rettilinea di un fiume. Si vuole stendere un cavo in linea retta da un punto $P$ della riva fino alla torre, e un altro cavo da $P$ fino a una capanna situata a $5$ km a valle della torre e a $1$ km all'interno. Se la lunghezza totale del cavo utilizzato è $6$ km, imposta un'equazione irrazionale e determina a quale distanza dalla torre si trova il punto $P$.

Risolvi la seguente equazione esponenziale con basi diverse, effettuando un raccoglimento a fattor comune in ciascun membro:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

L'energia $E$ (in erg) liberata da un terremoto è legata alla sua magnitudo $M$ nella scala Richter dall'equazione $\log E = 11,8 + 1,5M$. Se un terremoto libera $1000$ volte più energia di un altro la cui magnitudo è $4,2$, qual è la magnitudo del primo terremoto nella scala Richter?

Trova tutte le soluzioni reali dell'equazione con valore assoluto annidato:

$||x - 2| - 3| = 1$

Il PIN di una carta è formato da quattro cifre intere positive, consecutive e in ordine crescente. Se formiamo un polinomio monico $P(x)$ di grado $4$ le cui radici sono esattamente quelle quattro cifre, risulta che il suo termine noto è uguale a $24$. Determina il polinomio $P(x)$ sviluppato e il PIN di quattro cifre.

Risolvi il seguente sistema non lineare che modellizza l'incrocio di due traiettorie nel piano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina algebricamente i punti di intersezione.

In un'azienda agricola della pianura padana si progetta di costruire una vasca di irrigazione rettangolare a cielo aperto per ottimizzare l'immagazzinamento dell'acqua nei periodi di siccità.

Il progetto tecnico stabilisce che la base abbia una lunghezza che supera di $8\text{ metri}$ la sua larghezza $x$. Per motivi geotecnici di stabilità delle scarpate, la profondità (altezza) della vasca deve essere esattamente uguale alla metà della sua larghezza.

1. a) Sapendo che il volume netto richiesto è $96\text{ m}^3$, imposta l'equazione polinomiale in forma generale $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ che modellizza la capacità della vasca in funzione della sua larghezza $x$.
2. b) Risolvi l'equazione scomponendo in fattori il polinomio mediante il teorema del resto e la regola di Ruffini. Dimostra, analizzando il discriminante del polinomio quoziente, che non esistono altre dimensioni reali possibili.
3. c) Indica le dimensioni finali della vasca (larghezza, lunghezza e profondità).
4. d) Se una successiva normativa tecnica limitasse la profondità massima a $1,5\text{ metri}$ mantenendo le stesse relazioni del progetto (lunghezza $x+8$ e profondità uguale alla metà della larghezza), spiega algebricamente (senza dover risolvere una nuova equazione completa) perché sarebbe impossibile raggiungere il volume richiesto di $96\text{ m}^3$.

Considera la famiglia di equazioni esponenziali dipendenti dal parametro reale $k$:

1. a) Applica il cambio di variabile $u = 2^x$ per trasformare l'equazione in una di secondo grado e formula esplicitamente la restrizione algebrica che deve soddisfare ogni soluzione di $u$ per generare una soluzione reale di $x$.
2. b) Discuti con ragionamento il numero di soluzioni reali dell'equazione originale al variare del parametro $k$. Determina con precisione per quali valori o intervalli di $k$ l'equazione:

1. Ha esattamente due soluzioni reali distinte.

2. Ha un'unica soluzione reale.

3. Non ha alcuna soluzione reale.

(Giustifica la tua classificazione analizzando il discriminante dell'equazione in $u$ e i segni delle sue radici mediante somma e prodotto delle radici).

1. c) Per il caso particolare $k = 3$, calcola tutte le soluzioni esatte dell'equazione (usando i logaritmi quando non si tratta di una potenza intera della base).

Sfida del tema. Come influisce il clima sul consumo energetico della tua casa? Progetta un modello matematico per ottimizzare l'uso della climatizzazione in base alla temperatura esterna.

Fase 1. Dati reali. Consulta sul sito dell'Aeronautica Militare o di un servizio meteorologico le temperature massima e minima del tuo comune negli ultimi tre giorni. Calcola la media ($T_m$) e imposta un'equazione con valore assoluto, $|T - T_m| = k$ con $k = 3$ °C, per trovare le due soglie critiche di comfort termico.

Fase 2. Risoluzione algebrica.

1) Modellizza il costo medio orario in base alle ore di utilizzo $t$ mediante un'equazione razionale: $\frac{12t + 35}{t} = 14,5$. Ricava l'incognita e analizza la sua fattibilità.

2) Modellizza il flusso termico con un'equazione irrazionale che conduca a una di secondo grado: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$. Risolvi analiticamente sul quaderno, verificando e scartando le eventuali soluzioni false.

Fase 3. GeoGebra e conclusioni. Rappresenta con GeoGebra le funzioni associate (valore assoluto, razionale e la parabola derivata dal radicale) per visualizzare i punti di intersezione. Scrivi una breve relazione con i tuoi grafici e una raccomandazione motivata sul consumo domestico.

Verrà valutato:

• Precisione nella risoluzione analitica delle equazioni e nello scarto delle soluzioni non valide.

• Uso corretto di GeoGebra per confrontare geometricamente i risultati algebrici.

• Coerenza e rigore della relazione nel collegare i dati meteorologici con la proposta finale.