Esercizi: Sezioni coniche e luoghi geometrici

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai punti $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$. Quale figura geometrica rappresenta?

Determina le equazioni dei luoghi geometrici dei punti equidistanti dalle rette incidenti $r: 3x - 4y + 5 = 0$ e $s: 4x + 3y - 1 = 0$.

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza dall'origine degli assi è sempre uguale a $5$.

Trova il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui differenza dei quadrati delle distanze dai punti $A(1,0)$ e $B(-1,0)$ è uguale a $8$, cioè $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.

Un cono di rotazione viene sezionato con un piano che non passa per il suo vertice. Se il piano è parallelo a una sola generatrice del cono, quale sezione conica si ottiene? Giustifica la tua risposta basandoti sulla definizione geometrica delle sezioni coniche.

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ tali che la somma dei quadrati delle loro distanze dai punti $A(2,0)$ e $B(-2,0)$ è uguale a $20$.

Trova le equazioni del luogo geometrico dei punti del piano che si trovano a una distanza costante di $3$ unità dalla retta $4x - 3y + 2 = 0$.

Determina il luogo geometrico dei punti equidistanti dalle rette parallele $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: x + 2y + 6 = 0$.

Marco deve trovare l'equazione del luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui differenza dei quadrati delle distanze dai punti $A(-1, 3)$ e $B(3, 3)$ è uguale a $16$, cioè $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 16$.

Senza eseguire alcun calcolo algebrico, Marco scrive nel suo compito:

«Poiché la conica chiamata iperbole si definisce a partire da una differenza di distanze da due punti fissi, questo luogo geometrico è obbligatoriamente un'iperbole centrata nel punto medio $(1, 3)$».

1. a) Spiega in dettaglio l'errore concettuale di Marco: che cosa confonde nella definizione metrica dell'iperbole e perché la presenza delle distanze al quadrato cambia completamente il tipo di luogo geometrico ottenuto?
2. b) Correggi l'esercizio: imposta l'uguaglianza a partire dalle coordinate generiche di $P(x,y)$, sviluppa i quadrati, semplifica l'espressione e descrivi con precisione geometrica la figura risultante (indicandone il tipo e la posizione rispetto al segmento $AB$).

Si vuole determinare l'equazione del luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ tali che la somma dei quadrati delle loro distanze dai punti $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$ è uguale a $50$, cioè $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 50$.

Per risolverlo, due studenti discutono quale strategia seguire:

• Metodo analitico (Lucia): sostituire $P(x,y)$, sviluppare i quattro quadrati di binomio, raggruppare tutti i termini nella forma generale $x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0$ e infine completare i quadrati per identificare gli elementi della conica.

• Metodo sintetico-geometrico (Ugo): basarsi sulla proprietà teorica per cui questo luogo geometrico è una circonferenza il cui centro $C$ coincide con il punto medio di $AB$; calcolare le coordinate di $C$ e determinare il raggio valutando la condizione metrica in un punto ausiliario o applicando il teorema della mediana.

1. a) Sviluppa completamente la risoluzione applicando il metodo analitico di Lucia fino a ottenere l'equazione canonica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. b) Applica il ragionamento geometrico di Ugo per trovare il centro $C$ a partire da $A$ e $B$, e verifica che coincide con quello ottenuto nel punto precedente.
3. c) Confronta i due percorsi: quale risulta più rapido e quale presenta minor rischio di errori di calcolo algebrico? Giustifica quale consiglieresti in una verifica.

In un progetto di telecomunicazioni, due antenne trasmittenti sono collocate nei punti $A(-3,0)$ e $B(3,0)$ di un piano cartesiano (in km). Un ricevitore $R(x,y)$ si muove in modo che la sua distanza dall'antenna $A$ sia sempre il doppio della sua distanza dall'antenna $B$. Trova l'equazione del luogo geometrico descritto dal ricevitore e identifica di quale conica si tratta, indicandone il centro e il raggio.

Il riflettore di un faro marittimo ha un profilo progettato in modo che la distanza di qualsiasi punto della sua superficie dal fuoco emittente di luce, situato in $F(0,2)$, sia esattamente uguale alla sua distanza da una retta di riferimento orizzontale di equazione $y = -2$. Determina l'equazione del luogo geometrico del profilo del riflettore.

Per disegnare un'aiuola ellittica in un parco, un giardiniere pianta due paletti nel terreno nei punti $(-3,0)$ e $(3,0)$ (misure in metri). Poi lega gli estremi di una corda di lunghezza $10\text{ m}$ a entrambi i paletti e, mantenendo la corda tesa con un punteruolo, traccia il contorno sul terreno. Trova l'equazione del luogo geometrico del bordo dell'aiuola.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un sistema di navigazione iperbolica, una nave riceve segnali radio simultanei da due stazioni costiere situate in $A(-5,0)$ e $B(5,0)$ (in decine di km). Il ritardo nella ricezione del segnale indica che la nave si trova sempre $60\text{ km}$ più vicina alla stazione $B$ che alla stazione $A$. Ricava l'equazione del luogo geometrico lungo il quale naviga la nave.

Nella pianta di una città, due strade rettilinee seguono le equazioni $r: 2x + y - 4 = 0$ e $s: x - 2y + 3 = 0$. Si vuole costruire una piazza in un punto equidistante da entrambe le strade e che, per restrizioni urbanistiche, si trovi sulla via pedonale $x + y = 5$. Calcola le coordinate delle possibili posizioni per la piazza.

L'estremo $P(x,y)$ di un braccio robotico industriale è programmato per muoversi in modo che la sua distanza dalla retta di sicurezza $x = -4$ sia sempre il doppio della sua distanza dal punto di ancoraggio $F(-1,0)$. Determina l'equazione della traiettoria descritta dall'estremo del braccio e identifica che tipo di conica rappresenta.

Tre sensori sismici sono collocati nelle coordinate $A(0,0)$, $B(4,0)$ e $C(0,4)$. Un drone di calibrazione vola nello stesso piano in modo che la somma dei quadrati delle sue distanze dai tre sensori si mantenga costante e uguale a $50$. Trova l'equazione del luogo geometrico della traiettoria del drone e descrivi la figura risultante.

Durante uno scavo archeologico viene scoperto un frammento del bordo di un antico piatto circolare. Per ricostruirne la dimensione originale, il frammento viene digitalizzato e si prendono tre punti del suo contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ e $C(4, 1)$. Utilizzando il concetto di luogo geometrico (intersezione degli assi dei segmenti), calcola le coordinate del centro originale del piatto e il suo raggio.

In prossimità dello stretto di Messina, la Guardia Costiera monitora la posizione di un'imbarcazione in avaria $P(x,y)$. La stazione radar costiera si trova nel punto fisso $F(0, 3)$ (coordinate in miglia nautiche) e una retta di segnalamento marittimo segue l'equazione $r: y = 12$. I sistemi di navigazione rilevano che la distanza dell'imbarcazione dalla stazione radar è in ogni istante la metà della sua distanza dalla retta di segnalamento.

1. a) Identifica, motivando, quale tipo di sezione conica descrive l'imbarcazione (ellisse, parabola o iperbole), determinando il valore numerico della sua eccentricità $e$ a partire dalla definizione metrica rispetto a fuoco e direttrice.
2. b) Ricava l'equazione cartesiana della traiettoria sviluppando la condizione metrica $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ con le coordinate di $P(x,y)$.
3. c) Scrivi l'equazione ottenuta nella sua forma canonica ridotta, indica le coordinate del suo centro e calcola la distanza minima alla quale l'imbarcazione passerà dalla retta di segnalamento $y = 12$.

Considera i punti fissi $A(1, 2)$ e $B(7, 2)$ nel piano cartesiano. Si vuole determinare il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui somma dei quadrati delle distanze soddisfa $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 36$.

1. a) Stima: prima di eseguire operazioni algebriche:

• Ragiona su quali coordinate esatte deve trovarsi il centro della conica attesa.

• Calcola la distanza tra $A$ e $B$. Se valuti la condizione sulle distanze direttamente nel punto $A$, quale valore ottieni? Deduci se i punti $A$ e $B$ appartengono alla curva e quale deve essere quindi il valore del raggio.

1. b) Verifica: imposta analiticamente la condizione sostituendo le coordinate di $P(x,y)$, sviluppa i quadrati di binomio e completa i quadrati per ottenere l'equazione canonica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. c) Concludi: confronta il centro e il raggio calcolati in b) con le tue stime di a). Spiega con argomenti geometrici perché il punto medio del segmento $AB$ non appartiene a questo luogo geometrico pur essendo il centro della circonferenza.

Un punto mobile si muove nel piano cartesiano in modo che la sua distanza dalla retta verticale $x = k$ sia uguale alla sua distanza dal punto fisso $F(2,0)$. Determina l'equazione del luogo geometrico in funzione del parametro $k$. Per quale valore esatto di $k$ il luogo geometrico degenera in una retta invece di formare una parabola?

Dimostra analiticamente che il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui distanza dall'origine $O(0,0)$ è uguale a $e$ volte la loro distanza dalla retta $x = d$ (con $e > 0$ e $d > 0$) rappresenta un'ellisse se $e < 1$, una parabola se $e = 1$ e un'iperbole se $e > 1$. Scrivi l'equazione generale ottenuta prima di classificarla.

In uno studio acustico, due sorgenti sonore emettono onde lungo assi perpendicolari che coincidono con gli assi coordinati. Il luogo geometrico dei punti in cui il prodotto delle distanze dai due assi è costante e uguale a $16$ definisce alcune curve isofoniche. Trova l'equazione del luogo geometrico e dimostra che è formato da due iperboli equilatere, calcolando la distanza esatta tra i vertici di ciascuna di esse.

Una telecamera di sicurezza collocata in un punto mobile $P(x,y)$ deve sorvegliare un corridoio lineare definito dal segmento $AB$, con estremi $A(-4,0)$ e $B(4,0)$. Affinché i sensori della telecamera funzionino in modo ottimale, l'angolo di visione $\angle APB$ deve essere esattamente $90^\circ$. Trova analiticamente il luogo geometrico delle possibili posizioni della telecamera, escludendo i punti $A$ e $B$. Descrivi la figura ottenuta.

Nella progettazione di un sistema di fluidi si deve installare un condotto cilindrico la cui sezione trasversale può variare di dimensione, ma deve essere sempre tangente all'asse delle ascisse e passare obbligatoriamente per un sensore fisso situato in $P(0,2)$. Trova l'equazione del luogo geometrico descritto dai possibili centri $C(x,y)$ di tale sezione trasversale e identifica la conica.

In un meccanismo articolato, due aste ruotano attorno ai perni fissi $A(-a,0)$ e $B(a,0)$. Il meccanismo è progettato in modo che il prodotto dei coefficienti angolari delle due aste nel loro punto di intersezione $P(x,y)$ sia sempre una costante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Dimostra che il luogo geometrico del punto $P$ è un'ellisse e determina la lunghezza dei suoi semiassi in funzione di $a$ e $k$.

Un raggio laser parte dal fuoco $F_1(c,0)$ di un'ellisse riflettente, rimbalza in un punto $P(x,y)$ della sua superficie e arriva direttamente all'altro fuoco $F_2(-c,0)$. Se la distanza totale percorsa dal raggio di luce è $10$ unità e la distanza focale è $6$ unità, deduci l'equazione canonica del luogo geometrico dell'ellisse utilizzando la sua definizione basata sulle distanze.

Una barca a vela naviga in modo che la differenza dei quadrati delle sue distanze da due boe situate in $A(-3, -1)$ e $B(5, 5)$ sia sempre costante e uguale a $32$. Cioè $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Trova l'equazione del luogo geometrico della traiettoria della barca e dimostra analiticamente che tale traiettoria è una retta perpendicolare al segmento che unisce le due boe.

Nel reparto di dinamica dei veicoli di un centro tecnologico si progetta una pista di prova. Il tracciato segue una sezione conica definita come il luogo geometrico dei punti $P(x,y)$ la cui distanza da un sensore posto in $F(4, 0)$ è proporzionale alla distanza da una barriera di sicurezza rettilinea verticale $r: x = x_0$, secondo la relazione focale $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$.

I vincoli topografici impongono che la traiettoria tagli l'asse delle ascisse esattamente in due punti: $V_1(2, 0)$ e $V_2(-10, 0)$.

1. a) Imposta il sistema di due equazioni che lega l'eccentricità $e$ e la posizione della direttrice $x_0$ a partire dai punti $V_1$ e $V_2$. Risolvilo e scarta la soluzione geometricamente non valida (quella in cui la direttrice contiene il fuoco), ottenendo i valori esatti di $e$ e $x_0$.
2. b) Classifica in modo motivato la conica a partire dal valore di $e$. Sviluppa analiticamente la condizione $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ fino a ottenere l'equazione cartesiana della curva in forma canonica.
3. c) A partire dall'equazione canonica, calcola le coordinate del centro di simmetria della conica e le coordinate del suo secondo fuoco $F'$.

Dati i punti fissi $A(0, 0)$ e $B(6, 0)$ nel piano cartesiano e un parametro reale $k$, si definisce la famiglia di luoghi geometrici $\mathcal{L}_k$ mediante la condizione $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = k$.

1. a) Sviluppa l'equazione analitica di $\mathcal{L}_k$ in funzione di $k$ e determina il valore minimo $k_{\min}$ per cui il luogo geometrico non è l'insieme vuoto. Interpreta quale figura geometrica degenere rappresenta il caso $k = k_{\min}$.
2. b) Per $k > k_{\min}$, $\mathcal{L}_k$ è una circonferenza. Esprimi il suo raggio $R(k)$ in funzione del parametro $k$ e trova il valore esatto di $k$ per cui tale circonferenza è tangente all'asse delle ordinate $OY$.
3. c) Per il valore di $k$ ottenuto nel punto b), considera la famiglia di rette $\mathcal{R}_m$ date dal luogo geometrico $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = m$. Senza impostare alcun sistema algebrico tra la retta e la circonferenza, usa esclusivamente le proprietà geometriche dei due luoghi geometrici per dedurre i due unici valori di $m$ per cui $\mathcal{R}_m$ è tangente a $\mathcal{L}_k$, indicando le coordinate dei rispettivi punti di tangenza.