Esercizi: Iperbole

Scrivi l'equazione canonica dell'iperbole i cui fuochi sono $F(5, 0)$ e $F'(-5, 0)$ e il cui asse trasverso misura $8$.

Data l'iperbole di equazione $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina le coordinate dei suoi vertici, dei suoi fuochi e le equazioni dei suoi asintoti.

Verifica analiticamente se i punti $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(6, -3)$ sono interni, esterni o appartengono all'iperbole di equazione $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Determina l'equazione di un'iperbole equilatera centrata nell'origine sapendo che passa per il punto $P(4, 2)$ e che i suoi fuochi sono situati sull'asse delle ascisse.

Calcola l'eccentricità dell'iperbole la cui equazione generale è data dall'espressione $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Trova l'equazione canonica dell'iperbole che ha i vertici nei punti $V(3, 0)$ e $V'(-3, 0)$ e che passa per il punto $P(5, 4)$.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza di distanze dai punti fissi $F(0, 10)$ e $F'(0, -10)$ è, in valore assoluto, uguale a $12$. Scrivi la sua equazione canonica.

Trova le coordinate del centro, le lunghezze dei semiassi e le equazioni degli asintoti dell'iperbole la cui equazione è $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

Luca cerca di calcolare i fuochi, l'eccentricità e gli asintoti dell'iperbole $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

«Individuo $a^2 = 16$ e $b^2 = 9$. Poiché nelle coniche la relazione fondamentale è $a^2 = b^2 + c^2$, ricavo $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Quindi i fuochi sono in $(\pm\sqrt{7}, 0)$ e l'eccentricità è $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Infine, gli asintoti sono le rette $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, cioè $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».

Individua e spiega con ragionamento i due errori concettuali commessi da Luca, giustifica perché il valore ottenuto per l'eccentricità è del tutto privo di senso fisico e geometrico a partire dalla definizione di iperbole, e scrivi la risoluzione corretta con i valori esatti dei fuochi, dell'eccentricità e degli asintoti.

Determina l'equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ di un'iperbole centrata nell'origine sapendo che i suoi asintoti sono le rette di equazioni $y = \pm 1,5x$ e che la distanza tra i suoi due fuochi è esattamente uguale a $2\sqrt{13}$ unità.

1. a) Trova i valori dei semiassi $a$ e $b$, e scrivi le coordinate dei suoi vertici e dei suoi fuochi.
2. b) Calcola l'eccentricità dell'iperbole.
3. c) Giustifica perché l'eccentricità di qualsiasi iperbole dipende unicamente dal coefficiente angolare $m$ dei suoi asintoti mediante la relazione $e = \sqrt{1 + m^2}$, e verifica che essa è soddisfatta con i dati ottenuti.

Nel progetto di una torre di raffreddamento per una centrale termica, la struttura ha forma di iperboloide di rotazione. La sezione trasversale verticale è un'iperbole con centro nell'origine delle coordinate. La torre ha un'altezza totale di $160\text{ m}$. La parte più stretta (la gola) ha un diametro di $60\text{ m}$ e si trova a un'altezza di $120\text{ m}$ sopra la base. Inoltre, il diametro nella parte più alta della torre è di $100\text{ m}$. Determina l'equazione dell'iperbole che delinea la torre e calcola il diametro della base circolare.

Il sistema di navigazione LORAN determina la posizione di una nave misurando la differenza di tempo nella ricezione dei segnali di due stazioni radio. Le stazioni $A$ e $B$ sono situate in un sistema di coordinate cartesiane nei punti $(-60, 0)$ e $(60, 0)$, con le distanze espresse in chilometri. Una nave $P$ riceve il segnale di $A$ un tempo dopo quello di $B$, il che indica che la nave è $100\text{ km}$ più vicina a $B$ che a $A$. Determina l'equazione dell'iperbole su cui naviga la nave e calcola la distanza della nave dalla stazione $B$ sapendo che la sua ordinata è $y = 45\text{ km}$.

Trova l'equazione dell'iperbole centrata nell'origine che ha un fuoco nel punto $F(0, \sqrt{13})$ e in cui uno degli asintoti è la retta di equazione $2x - 3y = 0$.

Calcola i punti di intersezione della retta $x - y - 2 = 0$ e dell'iperbole $x^2 - 2y^2 = 2$. Poi determina la lunghezza esatta della corda che la retta delimita intersecando la conica.

Trova l'equazione della retta tangente e della retta normale all'iperbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ nel punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Una lampada da tavolo proietta luce verso l'alto e verso il basso formando un cono luminoso. Posta vicino a una parete verticale, il bordo della zona illuminata forma un'iperbole. Misurando sulla parete e prendendo il pavimento come asse delle ascisse, si osserva che il centro dell'iperbole si trova a $80\text{ cm}$ di altezza. Il vertice del ramo superiore è a $100\text{ cm}$ dal pavimento. Se a un'altezza di $180\text{ cm}$ dal pavimento la larghezza totale della zona illuminata è di $96\text{ cm}$, determina l'eccentricità dell'iperbole proiettata.

Data l'equazione generale di una conica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, riscrivila completando i quadrati per dimostrare che si tratta di un'iperbole. Calcola le coordinate del suo centro, dei suoi fuochi e dei suoi vertici.

Determina i valori del parametro $k$ per i quali la retta $y = x + k$ è tangente, secante o esterna all'iperbole $x^2 - 2y^2 = 4$.

Data l'iperbole di equazione canonica $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$:

1. a) Prima di calcolare analiticamente qualsiasi punto, stima se l'ordinata positiva del punto $P$ della curva la cui ascissa è $x = 13$ sarà maggiore o minore del valore $32$. Giustifica la tua previsione utilizzando esclusivamente l'equazione dell'asintoto nel primo quadrante e la posizione dell'iperbole rispetto ad esso.
2. b) Ricava e calcola il valore esatto dell'ordinata positiva del punto $P(13, y)$. Verifica se la tua stima precedente era corretta e calcola la distanza verticale che separa la curva dal suo asintoto all'ascissa $x = 13$.
3. c) Determina le coordinate dei fuochi $F_1$ e $F_2$ e verifica rigorosamente che per tale punto $P$ vale esattamente la definizione di luogo geometrico $|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$.

L'Istituto Geografico Nazionale (IGN) dispone di due stazioni di registrazione acustica nel Parco Nazionale dei Picos de Europa, situate nei punti $A(-5, 0)$ e $B(5, 0)$ (coordinate espresse in chilometri rispetto a un punto centrale della valle). Durante un temporale si verifica una frana in un punto $P(x, y)$ del terreno. La stazione $A$ registra il fragore $20\text{ secondi}$ prima della stazione $B$. Supponendo che il suono viaggi in linea retta a una velocità media costante di $300\text{ m/s}$ ($0,3\text{ km/s}$):

1. a) Modellizza la situazione impostando il luogo geometrico in cui può essersi originata la frana. Spiega perché si tratta di un ramo specifico di un'iperbole e deduci la sua equazione canonica, indicando quale restrizione deve soddisfare l'ascissa $x$.
2. b) Una stazione sismica ausiliaria rileva che l'epicentro dell'impatto si è verificato a un'ordinata $y = 4\text{ km}$. Determina le coordinate esatte del punto $P(x, y)$ dell'evento e calcola la distanza diretta in linea retta da tale punto alla stazione ricevente $A$.

Una cometa interstellare si avvicina al sistema solare seguendo una traiettoria iperbolica, con il Sole situato in uno dei fuochi. Nel punto di massimo avvicinamento (perielio), la cometa passa a $2\text{ UA}$ (unità astronomiche) dal Sole. Le osservazioni astronomiche indicano che l'angolo formato dai due asintoti della traiettoria della cometa è di $60^\circ$. Prendendo il Sole nel fuoco di ascissa positiva e l'asse focale sull'asse $X$ (con il vertice a sinistra del Sole), determina l'equazione della traiettoria della cometa e la distanza dal Sole a cui si troverà quando attraverserà la verticale passante per il Sole.

Trova il luogo geometrico dei punti $P(x, y)$ tali che il prodotto dei coefficienti angolari delle rette che li uniscono ai punti fissi $A(4, 0)$ e $B(-4, 0)$ sia uguale a $\frac{9}{16}$. Dimostra analiticamente che si tratta di un'iperbole, trova la sua equazione canonica, le coordinate dei suoi fuochi e la sua eccentricità.

Trova le equazioni delle rette tangenti all'iperbole $x^2 - 4y^2 = 4$ condotte dal punto esterno $P(1, 1)$.

Dimostra analiticamente che l'area del triangolo formato da una qualsiasi retta tangente all'iperbole equilatera di equazione $xy = k$ (con $k > 0$) e dai due assi coordinati è indipendente dal punto di tangenza. Calcola tale valore costante in funzione del parametro $k$.

Nel progetto di un telescopio riflettore di tipo Cassegrain, lo specchio primario è parabolico e lo specchio secondario ha la forma di un ramo di iperbole. Il fuoco dello specchio parabolico coincide con uno dei fuochi dell'iperbole, situato a $120\text{ cm}$ davanti al vertice dello specchio secondario. L'immagine finale si forma nell'altro fuoco dell'iperbole, situato a $30\text{ cm}$ dietro tale vertice (cioè la distanza totale tra i due fuochi è $150\text{ cm}$). Calcola l'equazione dell'iperbole che definisce lo specchio secondario e la sua eccentricità, ponendo il centro dell'iperbole nell'origine delle coordinate e l'asse focale sull'asse delle ascisse.

Studia, in funzione del parametro $m$, la posizione reciproca della famiglia di rette $y = mx - 1$ rispetto all'iperbole equilatera $x^2 - y^2 = 1$. Specifica per quali valori di $m$ la retta interseca un solo ramo, entrambi i rami, è tangente o non interseca la curva.

Determina l'equazione di un'iperbole con centro nell'origine e assi coincidenti con gli assi coordinati, sapendo che passa per i punti $A(4, \sqrt{3})$ e $B(2\sqrt{3}, 1)$. Dall'equazione ottenuta, calcola la distanza esatta tra i suoi fuochi.

Sia data l'iperbole di equazione $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Trova, in funzione di $a$, $b$ e $c$, le coordinate dei punti $P$ appartenenti alla curva dai quali il segmento che unisce i due fuochi $F$ e $F'$ è visto sotto un angolo retto (cioè i raggi vettori $PF$ e $PF'$ sono perpendicolari). Dimostra analiticamente che tali punti esistono sempre per qualsiasi iperbole, indipendentemente dalla sua eccentricità.

Si vuole dimostrare una proprietà geometrica fondamentale dell'iperbole: «La distanza euclidea da uno qualsiasi dei fuochi di un'iperbole a uno qualsiasi dei suoi due asintoti è sempre uguale alla lunghezza del semiasse non trasverso $b$». Per l'iperbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, con fuoco in $F(c, 0)$ e asintoto $y = \dfrac{b}{a}x$, due studenti propongono percorsi diversi:

• Metodo 1 (Geometria analitica): Scrivere la retta asintoto in forma implicita $bx - ay = 0$, applicare la formula della distanza di un punto da una retta a partire dal fuoco $F(c, 0)$ e semplificare l'espressione mediante la relazione metrica fondamentale $c^2 = a^2 + b^2$.

• Metodo 2 (Geometria metrica e trigonometria): Tracciare il segmento perpendicolare da $F(c, 0)$ all'asintoto, considerare il triangolo rettangolo formato dall'origine, dal fuoco e dal piede della perpendicolare, e dedurre la distanza dal seno dell'angolo $\alpha$ che l'asintoto forma con il semiasse positivo delle ascisse.

1. a) Sviluppa completamente la dimostrazione seguendo entrambi i metodi.
2. b) Confronta criticamente le due alternative analizzando quale è più diretta algebricamente e quale offre una comprensione visiva più chiara. A partire dal risultato, descrivi come costruire con riga e compasso la posizione esatta dei fuochi se si conoscono solo i vertici $(\pm a, 0)$ e gli asintoti.

Un'iperbole si dice equilatera quando la lunghezza del suo semiasse trasverso coincide con quella del suo semiasse non trasverso ($a = b$).

1. a) Dimostra formalmente che l'eccentricità di qualsiasi iperbole equilatera è una costante universale indipendente dal valore di $a$, e determina l'angolo formato tra loro dai suoi asintoti.
2. b) Ruotando $45^\circ$ gli assi cartesiani, gli asintoti diventano gli assi coordinati stessi e l'equazione assume la forma $xy = k$. Sapendo che i vertici $(\pm a, 0)$ dell'iperbole originale si trasformano dopo la rotazione nei punti $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, deduci l'espressione esatta della costante $k$ in funzione del semiasse $a$.
3. c) Considera la particolare iperbole equilatera $x^2 - y^2 = 32$. Si tracciano rette passanti per l'origine delle coordinate, di equazione $y = mx$. Discuti con ragionamento il numero di punti di intersezione tra la retta e l'iperbole in funzione del parametro reale $m$, e interpreta cosa rappresentano geometricamente quei valori di $m$ per i quali non esiste alcun punto di intersezione.