Esercizi: Ellisse

Data l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina le coordinate dei suoi vertici, quelle dei suoi fuochi e il valore della sua eccentricità.

Scrivi l'equazione canonica di un'ellisse centrata nell'origine delle coordinate, sapendo che uno dei suoi fuochi è il punto $F(4, 0)$ e che la lunghezza del suo asse maggiore è $10$.

Calcola l'eccentricità dell'ellisse la cui equazione è $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Un'ellisse ha il centro nel punto $C(-2, 3)$, il suo asse maggiore è parallelo all'asse delle ascisse e misura $12$ unità, e il suo asse minore misura $8$ unità. Scrivi la sua equazione in forma canonica.

Verifica se i punti $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ e $R(4, 2)$ sono interni, esterni o appartengono all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Trova l'equazione di un'ellisse centrata nell'origine, i cui fuochi sono sull'asse delle ordinate, sapendo che la distanza focale è $8$ unità e l'eccentricità è $0,8$.

A partire dall'equazione dell'ellisse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica le coordinate del suo centro e la lunghezza dei suoi semiassi.

L'eccentricità di un'ellisse è $\frac{1}{3}$ e il suo semiasse minore misura $4\sqrt{2}$. Calcola la misura del suo semiasse maggiore.

Lucia deve determinare gli elementi caratteristici dell'ellisse di equazione $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$. Nel suo compito scrive la seguente risoluzione:

«Poiché il primo denominatore è $9$, il semiasse maggiore è $a = \sqrt{9} = 3$. Poiché il secondo denominatore è $25$, il semiasse minore è $b = \sqrt{25} = 5$. Essendo $x^2$ al primo posto, i fuochi sono situati sull'asse $X$. Applicando il teorema di Pitagora, la semidistanza focale è $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. Quindi i fuochi sono $F_1(-\sqrt{34}, 0)$ e $F_2(\sqrt{34}, 0)$, e l'eccentricità vale $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{34}}{3} \approx 1{,}94$».

1. a) Individua e spiega i tre errori concettuali commessi da Lucia.
2. b) Basandoti sul triangolo rettangolo che lega $a$, $b$ e $c$, giustifica perché è geometricamente impossibile che in un'ellisse l'eccentricità sia maggiore di $1$.
3. c) Correggi l'esercizio determinando i valori corretti dei semiassi, le coordinate esatte dei fuochi e il valore dell'eccentricità.

Si vogliono progettare due ellissi concentriche distinte, entrambe centrate nell'origine delle coordinate e con i fuochi situati sull'asse $X$ negli stessi punti $F_1(-4, 0)$ e $F_2(4, 0)$, ma con diverso grado di schiacciamento:

• L'ellisse $E_1$ deve avere eccentricità $e_1 = 0{,}8$.

• L'ellisse $E_2$ deve avere eccentricità $e_2 = 0{,}5$.

1. a) Deduci algebricamente i valori dei semiassi $a$ e $b$ di ciascuna delle due ellissi e scrivi le rispettive equazioni canoniche.
2. b) Senza bisogno di rappresentarle con una tabella di valori, ragiona su quale delle due ellissi raggiungerà la maggiore ampiezza verticale (cioè la maggiore lunghezza del suo asse minore). Giustifica la risposta analizzando come varia il semiasse minore $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ al diminuire dell'eccentricità quando la distanza tra i fuochi resta costante.

L'orbita di Mercurio attorno al Sole è un'ellisse in cui il Sole occupa uno dei fuochi. La distanza minima di Mercurio dal Sole (perielio) è $46$ milioni di chilometri, e la distanza massima (afelio) è $70$ milioni di chilometri. Calcola l'eccentricità dell'orbita di Mercurio e la lunghezza del suo semiasse minore in milioni di chilometri.

Un ponte di pietra su un fiume ha la forma di un semiarco ellittico. La larghezza del fiume (asse maggiore dell'ellisse) è $20\text{ m}$ e l'altezza massima dell'arco al centro del fiume è $6\text{ m}$. Calcola a che altezza si trova l'arco a una distanza di $4\text{ m}$ dal centro del fiume.

Data l'equazione generale $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, dimostra che corrisponde a un'ellisse. Per farlo, esprimila in forma canonica e determina le coordinate del suo centro, dei suoi vertici e dei suoi fuochi.

Trova l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano $P(x, y)$ per i quali la somma delle distanze dai punti $F_1(-3, 0)$ e $F_2(3, 0)$ è sempre uguale a $10$. Semplifica l'espressione fino a ottenere l'equazione canonica di un'ellisse.

In una galleria dei sussurri a forma di ellisse, due persone poste nei fuochi possono sentirsi perfettamente anche se parlano sottovoce. Se la galleria ha una lunghezza totale di $34\text{ m}$ e una larghezza massima di $16\text{ m}$, a che distanza dal centro della sala deve porsi ciascuna persona per sfruttare questo fenomeno acustico?

Studia la posizione reciproca della retta di equazione $2x + y - 5 = 0$ e dell'ellisse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Se si intersecano, trova le coordinate dei punti di intersezione.

Determina il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza dal punto $F(4, 0)$ è uguale alla metà della loro distanza dalla retta di equazione $x - 16 = 0$. Individua la conica ottenuta e calcola il suo centro e la lunghezza dei suoi semiassi.

In un meccanismo di orologeria un ingranaggio ha forma ellittica. Si sa che l'equazione del suo contorno è $x^2 + 4y^2 = 16$. Si vuole collocare un piccolo perno in un punto dell'ellisse la cui ascissa sia il doppio della sua ordinata. Calcola le coordinate di tale punto (supponendo che entrambe siano positive) e la distanza esatta di questo punto dal centro dell'ingranaggio.

La pista perimetrale di un palazzetto dello sport ha forma ellittica con l'asse maggiore appoggiato sull'asse $X$. La lunghezza massima del recinto (asse maggiore) è di $100\text{ m}$ ($a = 50\text{ m}$) e la larghezza massima (asse minore) è di $96\text{ m}$ ($b = 48\text{ m}$).

1. a) Stima: Osserva che i semiassi differiscono solo del $4\,\%$ ($48\text{ m}$ contro $50\text{ m}$). Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima intuitivamente a che distanza dal centro pensi che si trovino i fuochi (a meno di $5\text{ m}$, o a più di $10\text{ m}$?) e se l'eccentricità sarà inferiore a $0{,}1$ o notevolmente superiore. Giustifica brevemente la tua intuizione.
2. b) Calcola: Trova il valore esatto della semidistanza focale $c$, le coordinate dei fuochi e l'eccentricità $e$.
3. c) Verifica e rifletti: Confronta il risultato esatto ottenuto con la tua stima iniziale. I fuochi sono vicini al centro quanto sembrava suggerire la scarsa differenza tra i semiassi? Spiega perché la relazione pitagorica $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ fa sì che piccole variazioni percentuali tra $a$ e $b$ provochino spostamenti focali e valori di eccentricità sorprendentemente grandi a occhio umano.

Su una strada regionale si progetta una galleria la cui sezione trasversale ha forma di semiellisse (tagliata lungo l'asse maggiore sulla pavimentazione orizzontale). La larghezza totale utilizzabile della carreggiata alla base è di $10\text{ m}$ e l'altezza massima nel punto centrale della volta è di $4\text{ m}$. La carreggiata dispone di due corsie di marcia larghe $3\text{ m}$ ciascuna (una per senso), poste simmetricamente rispetto al centro e affiancate da due banchine larghe $1\text{ m}$ agli estremi esterni.

1. a) Colloca l'origine del sistema di coordinate al centro della carreggiata a livello del suolo e scrivi l'equazione che descrive il profilo della volta della galleria, indicando l'intervallo di validità delle variabili.
2. b) Un veicolo da trasporto speciale a sezione rettangolare è alto $3{,}10\text{ m}$ e circola rigorosamente all'interno della sua corsia (in modo che il suo punto più lontano dal centro si trovi sul bordo esterno della corsia, a $x = 3\text{ m}$). Determina algebricamente l'altezza libera offerta dalla volta su quella verticale.
3. c) Stabilisci se il veicolo può transitare nella corsia senza sfiorare la struttura e calcola il margine di sicurezza verticale esistente nel punto più sfavorevole.

Trova le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ passanti per il punto esterno $P(0, 5)$.

Determina le equazioni delle rette tangenti all'ellisse $x^2 + 2y^2 = 18$ che sono parallele alla retta di equazione $x - y + 4 = 0$.

Calcola i valori del parametro $k$ affinché la retta $x + 2y + k = 0$ sia tangente all'ellisse di equazione $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considera la circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 100$. A ogni punto $A(x, y)$ della circonferenza si associa un punto $P(x, y')$ che ha la stessa ascissa, ma la cui ordinata è il $60\%$ dell'ordinata di $A$. Dimostra che il luogo geometrico dei punti $P$ è un'ellisse e determina la sua equazione, il suo centro e i suoi fuochi.

Si vuole progettare una finestra rettangolare inscritta in un vano ellittico di equazione $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. I lati del rettangolo devono essere paralleli agli assi dell'ellisse. Se si vuole che il rettangolo abbia un'area totale di $24\text{ m}^2$, quali devono essere le sue dimensioni esatte?

Una piazza ha forma di ellisse. Si vuole pavimentare un percorso rettilineo che unisca il fuoco situato più a sinistra, $F_1$, con un punto $P$ dell'ellisse situato nel secondo quadrante. Si sa che l'asse maggiore della piazza misura $100\text{ m}$ e l'asse minore $60\text{ m}$. Se l'angolo che il segmento $F_1P$ forma con il semiasse positivo delle ascisse è di $60^\circ$, calcola la lunghezza esatta del percorso pavimentato.

Un'ellisse è centrata nell'origine e i suoi assi di simmetria coincidono con gli assi cartesiani. Se si sa che l'ellisse passa per i punti $A(2, \sqrt{3})$ e $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, trova l'equazione dell'ellisse e calcola la distanza esatta tra i suoi fuochi.

Trova il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti internamente alla circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 100$ e passanti per il punto fisso $A(6, 0)$. Dimostra che tale luogo geometrico è un'ellisse, trova la sua equazione canonica e determina le coordinate dei suoi fuochi.

Per classificare la posizione di un punto $P(x_0, y_0)$ rispetto a un'ellisse (determinare se è interno, esterno o appartiene alla curva) i cui fuochi sono $F_1(-3, 0)$ e $F_2(3, 0)$ e con costante di definizione $2a = 10$, due studenti propongono procedimenti diversi:

• Metodo di Sofia (algebrico): Calcolare $b$ dalla relazione fondamentale, costruire l'equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ e confrontare il valore numerico di $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}$ con $1$.

• Metodo di Carlo (metrico): Ricorrere alla definizione come luogo geometrico calcolando la somma delle distanze euclidee $d(P, F_1) + d(P, F_2)$ e confrontarla direttamente con $2a = 10$.

1. a) Applica in dettaglio entrambi i metodi al punto $P\left(3, \dfrac{16}{5}\right)$, determina la sua posizione secondo ciascuno e verifica che entrambi i percorsi portano alla stessa conclusione.
2. b) Analizza vantaggi e svantaggi di ciascun metodo per questo caso concreto e argomenta quale risulta più rapido e pulito lavorando senza calcolatrice.
3. c) Supponi che i fuochi fossero nei punti non allineati con gli assi $F_1(1, 2)$ e $F_2(5, 5)$, mantenendo la costante $2a = 10$. Giustifica con ragionamento quale dei due metodi è chiaramente preferibile in questo nuovo scenario e spiega la grande complicazione algebrica che sorgerebbe cercando di applicare l'altro al liceo.

Una rete di monitoraggio ambientale marino dispone di due boe acustiche di riferimento ancorate nei punti $F_1(-6, 0)$ e $F_2(6, 0)$ (coordinate in chilometri). Un drone sottomarino di sorveglianza percorre in modo continuo una traiettoria ellittica fissa centrata nell'origine con semiasse maggiore $a = 10\text{ km}$ e fuochi nelle due boe.

Per calibrare un sensore di interferenze, il drone deve collocarsi in un punto $P(x, y)$ della sua rotta ellittica tale che la distanza dalla boa $F_1$ sia esattamente il triplo della distanza dalla boa $F_2$; cioè $d(P, F_1) = 3\cdot d(P, F_2)$.

1. a) Senza usare ancora le coordinate analitiche di $P$, deduci i valori numerici esatti delle distanze $d(P, F_1)$ e $d(P, F_2)$ basandoti esclusivamente sulla definizione di ellisse come luogo geometrico.
2. b) Scrivi l'equazione canonica della traiettoria ellittica e imposta un sistema di equazioni per calcolare le coordinate esatte di tutti i punti $P$ del piano che soddisfano contemporaneamente l'equazione dell'ellisse e la condizione di calibrazione.
3. c) Sarebbe possibile calibrare il sensore in un punto di questa stessa traiettoria se la condizione richiesta fosse $d(P, F_1) = 5\cdot d(P, F_2)$? Giustifica la risposta con due argomenti geometrici indipendenti: uno basato sulla disuguaglianza triangolare nel triangolo di vertici $P$, $F_1$ e $F_2$, e l'altro basato sulla distanza minima possibile di qualsiasi punto dell'ellisse dal fuoco $F_2$.