Esercizi: Teorema del resto

Calcola, senza eseguire la divisione, il resto della divisione del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ per $x - 2$.

Determina se il polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ è divisibile per $x + 4$ applicando il teorema del resto.

Trova il valore del parametro $k$ affinché il resto della divisione di $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ per $x - 1$ sia $4$.

Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ per $x = -1$ e indica quale significato ha questo valore rispetto alla divisione polinomiale di $P(x)$ per $x + 1$.

Trova il valore di $m$ sapendo che la divisione del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ per $x - 2$ è esatta.

Determina il resto della divisione di $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ per $x - 2$ valutando il polinomio.

Verifica mediante il teorema del resto se $x = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

Sapendo che il resto della divisione di $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ per $x + 2$ è $-7$, calcola il valore del coefficiente $a$.

Luca cerca di capire se il binomio $x + 2$ è un fattore del polinomio $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + k$. Per risolverlo, scrive sul quaderno: «Per il teorema del resto, calcolo $P(2) = 2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 + k = 16 + 20 - 2 + k = 34 + k$. Perché sia un fattore, il resto deve essere zero, quindi $34 + k = 0 \implies k = -34$». Individua e spiega con rigore l'errore concettuale commesso da Luca, chiarisci quale valore numerico avrebbe dovuto calcolare in realtà secondo il teorema del resto e trova il valore corretto del parametro $k$ affinché la divisione sia esatta.

Dato il polinomio $P(x) = 3x^4 - 20x^3 + 5x - 12$:

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo dettagliato su carta, stima mentalmente il segno del resto della divisione di $P(x)$ per $x - 4$. Per farlo, analizza i due termini di grado maggiore sostituendo $x = 4$ e spiega se predominerà il contributo positivo o quello negativo.
2. b) Applica il teorema del resto per calcolare il valore esatto di tale resto. Verifica se la tua stima qualitativa era corretta e giustifica perché il termine di grado massimo ($3x^4$) non è riuscito a rendere positivo il valore finale.

La posizione di un mobile su una retta in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dal polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (in metri). Utilizza il teorema del resto per calcolare la posizione del mobile all'istante $t = 3$ e spiega la relazione concettuale tra il valore trovato e la divisione polinomiale di $x(t)$ per $t - 3$.

Trova i valori dei parametri $m$ e $n$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sia divisibile per $x - 2$ e dia resto $-24$ quando viene diviso per $x + 2$.

Il costo di produzione di $q$ migliaia di unità di un componente elettronico segue la legge $C(q) = 0,5q^4 - 3q^3 + 5q^2 + 12$ (in migliaia di euro). Applica il teorema del resto per determinare il costo esatto di fabbricare $4000$ unità ($q=4$).

Determina il valore di $k$ affinché il resto della divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ per $x - 2$ sia identico al resto della divisione del polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ per $x + 1$.

La crescita di una colonia di batteri in un ambiente controllato è modellata dal polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, dove $t$ è il tempo in giorni e $P(t)$ rappresenta lo scostamento rispetto alla popolazione iniziale. Dimostra, utilizzando il teorema di Ruffini (del fattore), che nei giorni $t=1$, $t=2$ e $t=3$ la popolazione torna esattamente al livello iniziale.

Calcola il valore di $a$ e $b$ sapendo che il polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ è divisibile contemporaneamente per $(x - 1)$ e per $(x + 1)$.

L'inflessione di una trave in un punto $x$ (in metri) è data dal polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sapendo che l'inflessione in $x = 2$ è di $20$ mm, trova il valore della costante $k$ basandoti sul teorema del resto e determina quale sarà l'inflessione nella coordinata $x = -1$.

Un polinomio $P(x)$ di terzo grado ha come coefficiente principale $2$. Sapendo che è divisibile per $(x - 1)$ e per $(x + 2)$, e che dividendolo per $(x - 2)$ dà resto $16$, determina l'espressione completa del polinomio $P(x)$ in forma sviluppata.

Per determinare se il polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x - 4$ è divisibile per il binomio $x - 1$, tre studenti del terzo anno di liceo propongono strategie diverse:

• Lucia propone di eseguire la divisione euclidea in colonna tra polinomi per vedere se il resto finale è il polinomio nullo.

• Matteo propone di applicare la regola di Ruffini completando la tabella dei coefficienti e di verificare se l'ultima casella è zero.

• Clara propone di applicare il teorema del resto (del fattore) calcolando direttamente $P(1)$ con un calcolo aritmetico.

1. a) Confronta in modo motivato i tre metodi in base al numero di operazioni, alla probabilità di commettere errori di segno e al tempo di risoluzione.
2. b) Scegli il metodo più efficiente secondo la tua analisi e applicalo per stabilire in modo giustificato se $x - 1$ è un fattore di $P(x)$.

Il servizio meteorologico registra l'andamento della temperatura $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) in una stazione delle Alpi durante una giornata invernale mediante la funzione polinomiale $T(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 - 1,1t - 2$, dove $t$ rappresenta il tempo in ore trascorso dalle 08:00 ($t = 0$), con $t \in [0, 12]$.

1. a) Interpreta il significato fisico del resto della divisione di $T(t)$ per il binomio $t - 6$ e calcolalo applicando il teorema del resto per conoscere la temperatura esatta alle 14:00.
2. b) Il servizio di viabilità invernale ha bisogno di sapere a che ora la temperatura ha attraversato per la prima volta esattamente il punto di congelamento ($0\ ^{\circ}\text{C}$). Utilizza il teorema del resto (del fattore) per verificare se $t - 4$ è un divisore esatto di $T(t)$ e interpreta il risultato ottenuto nel contesto del disgelo sulla strada.

Determina i coefficienti $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sapendo che è divisibile per il binomio $x^2 - 4$, che dividendolo per $x - 1$ dà resto $15$, e che il suo termine noto è $-12$.

In un sistema di sicurezza crittografico, una chiave viene generata valutando un polinomio di grado molto alto. La chiave corrisponde esattamente al resto della divisione del polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ per il binomio $x - 3$. Calcola il valore numerico di tale chiave di sicurezza giustificando la tua risposta.

Dimostra, applicando il teorema del resto, che il polinomio $P(x) = x^n - a^n$ è sempre divisibile per $x - a$ per qualsiasi numero naturale $n$. Utilizza questo risultato per dedurre, con le dovute motivazioni, il resto della divisione di $x^5 - 32$ per $x - 2$.

La capacità termica di un materiale sperimentale è approssimata dal polinomio di terzo grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sappiamo che $C(T)$ è divisibile per $T$, che a $T=1$ il suo valore è $4$, a $T=-1$ il suo valore è $0$ e a $T=2$ il suo valore è $18$. Scrivi il sistema di equazioni corrispondente utilizzando il teorema del resto e trova l'espressione analitica del polinomio $C(T)$.

Trova il resto della divisione del polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ per il polinomio di secondo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Ricorda che il resto della divisione per un polinomio di grado 2 è, al massimo, della forma $mx + n$. Applica il teorema del resto valutando in modo strategico nelle radici del divisore.

Il profilo di un canale di drenaggio in un progetto architettonico segue l'equazione $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, dove $y = 0$ rappresenta il livello del suolo. Si sa che il profilo interseca il livello del suolo nei punti $x = 5$ e $x = -2$. Trova i valori esatti di $k$ e $c$ utilizzando il teorema del fattore e determina la quota del profilo (altezza rispetto al suolo, negativa se si trova al di sotto) nel punto $x = 1$.

Sia il polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sapendo che è divisibile per $x - 2$ e che la somma dei resti della divisione per $x - 1$ e per $x + 1$ è uguale a $-10$, imposta il sistema di equazioni opportuno e determina i coefficienti $a$ e $b$.

Trova l'espressione sviluppata di un polinomio $P(x)$ di terzo grado tale che, diviso per $x+1$, $x-2$ e $x+3$, dia in tutti i casi lo stesso resto uguale a $5$, e che diviso per $x-1$ dia resto $-7$.

Nota: Pensa alla relazione tra il polinomio ausiliario $P(x) - 5$ e il teorema del fattore.

Un polinomio $P(x)$ a coefficienti reali, di cui non conosciamo l'espressione completa né il grado, soddisfa contemporaneamente due condizioni: diviso per $x - 2$ dà resto $7$, e diviso per $x + 3$ dà resto $-8$.

1. a) Senza conoscere il quoziente della divisione, deduci con le dovute motivazioni l'espressione algebrica del resto $R(x)$ che si ottiene dividendo $P(x)$ per il polinomio di secondo grado $D(x) = x^2 + x - 6$, giustificando il grado massimo che tale resto può avere.
2. b) Costruisci e scrivi l'espressione di un polinomio monico concreto di grado $3$ che soddisfi contemporaneamente entrambe le proprietà e verifica algebricamente che, diviso per $x^2 + x - 6$, riproduce il resto $R(x)$ dedotto nel punto precedente.

Considera la famiglia di polinomi di grado elevato $P(x) = x^{2026} + ax^{2025} + b$, dove $a$ e $b$ sono costanti reali incognite.

1. a) Utilizza il teorema del resto e del fattore per impostare e risolvere un sistema lineare che determini i valori esatti di $a$ e $b$ sapendo che $P(x)$ è divisibile per $x + 1$ e che, diviso per $x - 1$, dà resto $4$.
2. b) Con i valori ottenuti nel punto precedente, stabilisci formalmente se il polinomio risultante è o non è divisibile per il binomio quadratico $x^2 - 1$.
3. c) Spiega analiticamente, senza ricorrere a derivate né a rappresentazioni grafiche, perché questo specifico polinomio non può avere alcuna radice reale strettamente positiva, analizzando la struttura e il segno dei suoi termini per qualsiasi $x > 0$.