Esercizi: Scomposizione di polinomi

Raccogli a fattor comune e utilizza i prodotti notevoli per scomporre al massimo il seguente polinomio:

$P(x) = 3x^5 - 12x^3$

Scomponi in fattori il seguente polinomio di terzo grado sapendo che una delle sue radici è $x = 2$:

$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$

Trova le radici intere del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regola di Ruffini ed esprimilo in forma scomposta.

Scrivi in forma scomposta il polinomio $P(x) = x^4 - 81$ applicando successivamente la differenza di quadrati.

Indica quali sono le radici del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ e le rispettive molteplicità. Spiega perché questo polinomio non ha altre radici reali.

Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ risolvendo prima l'equazione di secondo grado associata.

Verifica, utilizzando il teorema del resto, se $x = -1$ è radice del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. In caso affermativo, estrai il fattore corrispondente.

Scomponi completamente il polinomio biquadratico $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

Carlo deve scomporre in fattori il polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x^2 + 12x$. Nel suo compito scrive il seguente procedimento:

1) Raccoglie a fattor comune: $P(x) = x(3x^2 - 12x + 12)$.

2) Risolve l'equazione $3x^2 - 12x + 12 = 0$ applicando la formula risolutiva e ottiene un'unica soluzione doppia: $x = 2$.

3) Conclude che la scomposizione finale è: $P(x) = x(x - 2)^2$.

1. a) Senza sviluppare tutto il polinomio, indica quale proprietà immediata non è soddisfatta dal risultato di Carlo (suggerimento: confronta il coefficiente principale della sua risposta con quello del polinomio originale).
2. b) Spiega con le dovute motivazioni l'errore concettuale commesso nel tradurre le soluzioni dell'equazione di secondo grado in fattori del polinomio.
3. c) Correggi il procedimento e scrivi la scomposizione completa e corretta di $P(x)$.

Per scomporre in fattori irriducibili in $\mathbb{R}$ il polinomio $P(x) = 2x^4 - 32$, due studentesse propongono strategie diverse:

• Alba propone di applicare successivamente la regola di Ruffini provando con i divisori interi di $32$ fino a ridurre il grado.

• Bea propone di raccogliere prima il fattore comune numerico e poi di applicare in sequenza i prodotti notevoli (differenze di quadrati).

1. a) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due è più efficiente, rapido e meno soggetto a errori di calcolo in questo caso.
2. b) Applica passo dopo passo la strategia scelta fino a ottenere la scomposizione completa di $P(x)$ in $\mathbb{R}$.
3. c) Giustifica con le dovute motivazioni perché il fattore quadratico $(x^2 + 4)$ non si può scomporre ulteriormente nei numeri reali.

Determina il valore del parametro $m$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sia divisibile per il binomio $x - 2$. Trovato il valore di $m$, scomponi completamente il polinomio nell'insieme dei numeri reali.

Il volume di una scatola rettangolare in funzione della sua lunghezza $x$ è dato dall'espressione polinomiale $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Scomponi $V(x)$ per trovare le espressioni algebriche più semplici che rappresentano le tre dimensioni della scatola.

Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Tieni presente che alcune delle sue radici possono essere numeri frazionari.

Un biologo modella la crescita e la decrescita di una popolazione di batteri mediante il polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, dove $t$ è il tempo in ore. Scomponi il polinomio per determinare in quali istanti esatti la popolazione si annulla.

Semplifica la seguente frazione algebrica scomponendo prima al massimo numeratore e denominatore:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$

Scomponi in fattori il polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizzando i prodotti notevoli e raccogliendo i fattori comuni, senza dover prima sviluppare tutto il polinomio.

La traiettoria di un drone da corsa in un tratto dimostrativo segue il profilo polinomiale $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, dove $x$ è la distanza orizzontale in metri e $h(x)$ l'altezza in metri. Scomponi $h(x)$ per trovare i punti esatti in cui il drone tocca il suolo ($h(x) = 0$).

Determina un polinomio di quarto grado, $P(x)$, che sia monico (coefficiente principale 1), che abbia $x = -2$ come radice doppia, $x = 3$ come radice semplice e che sia privo di termine noto. Scrivilo in forma scomposta e in forma generale sviluppata.

Considera il polinomio a coefficienti interi $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$.

1. a) Prima di applicare qualsiasi algoritmo di divisione, svolgi una stima ragionata preliminare:

• Elenca tutti i possibili candidati a radice razionale $\frac{p}{q}$ secondo il teorema delle radici razionali.

• Calcola mentalmente o con un rapido tentativo il valore numerico nei valori interi più semplici ($x = 1$, $x = -1$, $x = 0$) e stima quante radici razionali non intere ti aspetti di trovare al massimo.

1. b) Scomponi completamente $P(x)$ in $\mathbb{R}$ utilizzando la regola di Ruffini e l'equazione di secondo grado associata.
2. c) Verifica se le radici ottenute coincidono con la tua lista di candidati razionali e controlla se il prodotto delle tre radici ottenute $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$ è coerente con il valore del quoziente $-\frac{a_0}{a_n} = -1,5$.

Trova un polinomio $P(x)$ di terzo grado a coefficienti interi che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1) Ha una radice doppia in $x = -2$.

2) Il suo termine noto è $-12$ (cioè il grafico della funzione polinomiale associata taglia l'asse delle ordinate nel punto $(0, -12)$).

3) Dividendo $P(x)$ per il binomio $(x - 1)$, il resto ottenuto è $-9$.

1. a) Imposta la struttura del polinomio in funzione delle sue radici e trova con le dovute motivazioni i suoi coefficienti.
2. b) Scrivi l'espressione scomposta di $P(x)$ indicando ciascuna delle sue radici e le rispettive molteplicità.
3. c) Sviluppa il polinomio ottenuto per verificare che tutti i suoi coefficienti sono numeri interi e che soddisfa la condizione sul resto della divisione per $(x - 1)$ mediante il teorema del resto.

Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sia divisibile per il polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. Successivamente, scomponi $P(x)$ al massimo.

Il disegno del profilo di un pezzo meccanico di precisione è definito dalla funzione polinomiale $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Scomponi il polinomio per trovare le coordinate esatte dei punti di ancoraggio del pezzo sull'asse orizzontale.

Dimostra che il polinomio $P(x) = x^4 + 4$ non ha radici reali. Successivamente, scomponilo come prodotto di due polinomi di secondo grado. Suggerimento: Somma e sottrai $4x^2$ all'espressione per far comparire una differenza di quadrati.

Semplifica la seguente espressione algebrica, che rappresenta l'impedenza equivalente in un circuito complesso, scomponendo al massimo ciascun polinomio nei numeratori e nei denominatori:

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$

In uno studio di economia, la curva del profitto marginale di un'azienda tecnologica è approssimata dal polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, dove $x$ rappresenta l'investimento in R&S in milioni di euro. Scomponi il polinomio per trovare i punti di equilibrio esatti (comprese le radici frazionarie).

Un polinomio $P(x)$ di terzo grado soddisfa $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ e, diviso per il binomio $(x-2)$, dà come resto $16$. Inoltre, si sa che il suo termine noto è $4$. Trova l'espressione scomposta di $P(x)$.

Scomponi completamente il polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica chiaramente quali sono le sue radici reali e la molteplicità di ciascuna.

Il contorno della volta di un edificio d'avanguardia è dato dall'intersezione geometrica delle curve $f(x) = x^4 - 2x^3$ e $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Scomponi il polinomio differenza $D(x) = f(x) - g(x)$ per determinare le coordinate $x$ dei pilastri in cui le due strutture si congiungono.

Una cooperativa agricola di Foggia commissiona la fabbricazione di un serbatoio d'acciaio a forma di parallelepipedo rettangolo per conservare olio extravergine d'oliva. Per vincoli di spazio nel frantoio, le misure del serbatoio (in metri) devono rispettare le seguenti relazioni:

• La larghezza misura $x$ metri.

• La lunghezza deve superare la larghezza di $2\text{ m}$.

• L'altezza deve essere uguale alla somma di lunghezza e larghezza, diminuita di $1\text{ m}$.

• La capacità totale richiesta è esattamente $40\text{ m}^3$ ($40.000\text{ litri}$).

1. a) Deduci l'espressione polinomiale del volume $V(x)$ e imposta l'equazione $V(x) - 40 = 0$ che permette di determinare la larghezza $x$.
2. b) Prima di scomporre, delimita il dominio fisico del problema: perché scartiamo a priori qualsiasi radice minore o uguale a zero?
3. c) Scomponi completamente il polinomio $V(x) - 40$ in $\mathbb{R}$ argomentando quali candidati razionali provi mediante la regola di Ruffini.
4. d) Determina le dimensioni reali del serbatoio (larghezza, lunghezza e altezza) e interpreta il ruolo del fattore quadratico rimanente: perché il suo discriminante garantisce che la soluzione trovata è geometricamente e fisicamente unica?

Si vuole scomporre in fattori irriducibili in $\mathbb{R}$ il polinomio di grado sei $P(x) = x^6 - 9x^3 + 8$.

In classe si propongono due strade risolutive:

• Metodo A (Marco): Trattarlo come un polinomio generico di grado 6 e applicare successivamente la regola di Ruffini cercando radici intere tra i divisori di $8$.

• Metodo B (Sara): Trattarlo come un polinomio riducibile al secondo grado mediante il cambio di variabile $t = x^3$, scomporre l'equazione quadratica in $t$ e infine scomporre ciascun fattore cubico risultante usando i prodotti notevoli (in particolare, la differenza di cubi: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$).

1. a) Analizza la proposta di Marco: dimostra in quale punto esatto questo metodo si bloccherebbe se Marco cercasse solo radici intere mediante Ruffini e perché questo algoritmo da solo non è in grado di scomporre fattori quadratici irriducibili su $\mathbb{R}$.
2. b) Sviluppa in modo completo il Metodo B di Sara fino a ottenere la scomposizione di $P(x)$ come prodotto di fattori di grado 1 e grado 2.
3. c) Dimostra formalmente, analizzando il discriminante di ciascun fattore di secondo grado ottenuto, che tali fattori sono irriducibili in $\mathbb{R}$ e che, quindi, la scomposizione non può proseguire oltre.