Esercizi: Binomio di Newton

Calcola il valore della seguente espressione utilizzando le proprietà dei fattoriali e dei coefficienti binomiali: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Sviluppa completamente il binomio $(x + 3)^4$ utilizzando la formula del binomio di Newton.

Sviluppa l'espressione $(2a - b)^5$ e indica quanti termini ha lo sviluppo finale.

Scrivi direttamente il quarto termine dello sviluppo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, senza calcolare l'intero sviluppo.

Utilizza il triangolo di Tartaglia (o di Pascal) per ottenere i coefficienti della sesta riga e sviluppa l'espressione $(m + 2n)^6$.

Calcola il coefficiente del termine che contiene $x^3$ nello sviluppo del binomio $(x - 4)^5$.

Semplifica al massimo la seguente espressione algebrica con fattoriali: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Trova il valore del numero naturale $x$ che verifica la seguente equazione con coefficienti binomiali: $\binom{x}{2} = 21$.

Sviluppa il binomio con frazioni $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ e semplifica ciascuno dei termini risultanti.

Sofia sta calcolando il termine che occupa la quarta posizione ($T_4$) nello sviluppo del binomio $(x^2 - 2)^6$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Poiché chiedono il quarto termine, utilizzo $k = 4$:

$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».

1. a) Individua e spiega con le dovute motivazioni l'errore concettuale che commette Sofia associando il numero del termine all'indice $k$ della formula generale $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. b) Correggi la risoluzione calcolando passo dopo passo il vero quarto termine dello sviluppo, indicando con chiarezza il suo segno, il suo coefficiente numerico e il suo grado.
3. c) Quale termine dello sviluppo ha calcolato realmente Sofia nel suo procedimento?

Una compagnia di telecomunicazioni in Italia applica a una tariffa flat in fibra ottica un adeguamento per inflazione del $3\,\%$ annuo ($0,03$) per $4$ anni consecutivi. Il costo al termine di tale periodo risulta moltiplicato per il fattore $(1 + 0,03)^4$.

1. a) Stima mentalmente il valore di tale fattore moltiplicativo utilizzando soltanto i primi due addendi del binomio di Newton, $(1 + 0,03)^4 \approx \binom{4}{0} \cdot 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot 0,03$, e indica quale percentuale di aumento totale rappresenta la tua stima.
2. b) Sviluppa completamente la potenza $(1 + 0,03)^4$ mediante il binomio di Newton e calcola il valore esatto del fattore moltiplicativo con quattro cifre decimali.
3. c) Verifica se la stima del punto a) è stata per eccesso o per difetto. Giustifica perché in ambito economico è spesso sufficiente fermarsi ai primi due termini quando l'incremento annuo è piccolo.

In uno studio di genetica delle popolazioni, la distribuzione teorica di certi genotipi in una generazione è data dallo sviluppo del binomio $(p + q)^4$, dove $p$ e $q$ sono le frequenze alleliche. Se $p = 0,6$ e $q = 0,4$, calcola il valore numerico del termine che contiene l'espressione $p^2q^2$ e interpreta il suo significato matematico all'interno dello sviluppo.

Trova il termine indipendente da $x$ (cioè il termine che non contiene la variabile $x$) nello sviluppo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

In economia, il capitale finale accumulato dopo $5$ anni a un interesse composto annuo $r$ si calcola mediante la formula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilizza il binomio di Newton per sviluppare $(1 + r)^5$. Se il tasso di interesse è $r = 0,03$, calcola un'approssimazione del capitale finale per un capitale iniziale di $1000$ € utilizzando soltanto i primi tre termini dello sviluppo.

Trova il coefficiente numerico che accompagna $x^4$ nello sviluppo del binomio $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Dimostra che la somma di tutti i coefficienti binomiali di una stessa riga $n$ verifica $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizzando lo sviluppo del binomio di Newton per $(1+1)^n$. Applica questo risultato per determinare quanti gruppi distinti (di qualsiasi dimensione, compreso il gruppo vuoto) si possono formare con i $8$ dipendenti di un ufficio.

Risolvi la seguente equazione in cui compaiono coefficienti binomiali, trovando il valore del numero naturale $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

Il volume di un cubo metallico di spigolo $L$ a una certa temperatura è $V = L^3$. Riscaldandosi, il suo spigolo si dilata linearmente e passa a misurare $L(1 + \alpha \Delta T)$. Sviluppa l'espressione del nuovo volume utilizzando il binomio di Newton e, sapendo che il prodotto $\alpha \Delta T$ è un valore molto piccolo (dell'ordine di $10^{-5}$), giustifica matematicamente perché l'incremento di volume $\Delta V$ si può approssimare con l'espressione $3 L^3 \alpha \Delta T$.

Determina il termine centrale nello sviluppo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ e semplifica l'espressione risultante.

In uno studio di genetica, la combinazione di certi alleli è modellata dall'espressione matematica $(p + q)^5$. Sviluppa questa espressione sapendo che le probabilità sono date da $p = 2x$ e $q = y^2$.

Trova il quinto termine nello sviluppo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Semplifica il risultato combinando le potenze di $x$.

Determina il coefficiente del termine che contiene $x^4$ sviluppando l'espressione $(x - \sqrt{2})^6$. Esprimi il risultato come numero intero.

L'intensità della luce che attraversa una serie di $4$ filtri fotografici con un fattore di attenuazione variabile $x$ si può approssimare con il binomio $(1 - 0,2x)^4$. Sviluppa questa espressione ordinando i termini dal grado minore al maggiore.

Nello sviluppo del binomio $(x + k)^4$, si sa che il coefficiente del termine in $x^2$ è uguale a $54$. Calcola il valore positivo del parametro $k$.

Calcola la somma di tutti i coefficienti del polinomio che si ottiene sviluppando $(3x - 2y)^5$. Suggerimento: Pensa a quali valori numerici puoi assegnare alle variabili $x$ e $y$ affinché l'espressione valutata coincida esattamente con la somma dei suoi coefficienti.

Sviluppa e semplifica al massimo l'espressione con radicali $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Raggruppa i termini simili e lascia il risultato senza esponenti negativi.

Una tavola di Galton (o quincunx) si utilizza per mostrare la distribuzione binomiale. Una pallina che cade ha la stessa probabilità di andare a destra ($D$) o a sinistra ($I$) a ogni chiodo. L'apparecchio della figura ha $4$ file di chiodi, quindi la pallina compie $4$ movimenti e può cadere in $5$ scomparti. Ogni scomparto porta scritto il numero di movimenti a destra compiuti dalla pallina. I percorsi possibili sono modellati dallo sviluppo di $(I + D)^4$.

Osserva la figura: la linea blu tratteggiata mostra un percorso possibile fino allo scomparto evidenziato in rosso, che corrisponde a $1$ movimento a sinistra e $3$ a destra.

1. a) Sviluppa il binomio $(I + D)^4$.

1. b) Indica algebricamente quanti percorsi distinti portano allo scomparto evidenziato in rosso.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) effettua un'indagine sul servizio di spedizioni urgenti in una regione analizzando un campione di $7$ spedizioni indipendenti. Ogni pacco può arrivare in tempo ($P$) o in ritardo ($R$). Tutti i possibili risultati campionari si modellizzano algebricamente mediante lo sviluppo del binomio $(P + R)^7$.

1. a) Scrivi lo sviluppo completo del binomio mediante la formula di Newton e interpreta il significato di ogni termine della forma $\binom{7}{k} P^{7-k} R^k$ in questo contesto.
2. b) Quante configurazioni campionarie distinte contengono almeno $5$ consegne puntuali?
3. c) La normativa regionale stabilisce che la qualità è accettabile se il numero di configurazioni con più consegne puntuali che in ritardo supera strettamente il $50\,\%$ del totale dei casi possibili ($2^7 = 128$). Utilizzando la simmetria dei coefficienti binomiali nel triangolo di Tartaglia, determina la percentuale esatta di configurazioni favorevoli e concludi con ragionamento se il criterio della normativa è soddisfatto.

Nello sviluppo algebrico del binomio $\left(2x^3 - \frac{k}{x}\right)^8$, dove $k$ rappresenta una costante reale positiva:

1. a) Scrivi l'espressione semplificata del termine generale $T_{m+1} = \binom{8}{m} a^{8-m} b^m$ e imposta l'equazione sull'esponente di $x$ per determinare quale posizione occupa il termine indipendente da $x$.
2. b) Sapendo che il valore numerico di tale termine indipendente è $7\,168$, calcola con ragionamento il valore esatto della costante $k$.
3. c) Verifica algebricamente se in questo sviluppo esiste un termine di grado $5$ nella variabile $x$, giustificando la tua conclusione a partire dall'insieme dei valori ammissibili per l'indice $m$.

Trova il valore del parametro reale $k$ affinché il coefficiente del termine in $x^3$ nello sviluppo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sia esattamente uguale a $-160$.

Nel controllo di qualità di una fabbrica di componenti elettronici, la probabilità che un lotto di $n$ componenti abbia esattamente $k$ pezzi difettosi è data dal termine generale $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, dove $p$ è la probabilità che un singolo componente sia difettoso. Se in un lotto di $10$ componenti la probabilità di trovare esattamente $4$ pezzi difettosi è il doppio di quella di trovarne $3$, imposta l'equazione corrispondente e trova il valore esatto di $p$.

Calcola il coefficiente di $x^5$ nello sviluppo completo del prodotto di polinomi $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Dimostra la proprietà fondamentale dei coefficienti binomiali $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizzando la definizione algebrica con i fattoriali. Successivamente, utilizza le proprietà dei coefficienti binomiali per risolvere il seguente sistema di equazioni nelle incognite naturali $x$ e $y$:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Trova il termine indipendente da $x$ nello sviluppo del binomio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ e determina quale posizione occupa tale termine nello sviluppo ordinato secondo le potenze decrescenti del primo addendo.

In un esperimento di ottica, l'intensità della luce in una figura di interferenza multipla richiede di calcolare lo sviluppo del binomio $(1 + \cos \theta)^n$. Per un sistema di $6$ fenditure ($n=6$), sviluppa l'espressione indicando i coefficienti binomiali e determina il coefficiente del termine che contiene $\cos^4 \theta$. Se in un punto dello schermo si verifica che $\cos \theta = \frac{1}{2}$, qual è il valore esatto della somma degli ultimi tre termini di tale sviluppo?

Risolvi la seguente equazione algebrica in cui compaiono coefficienti binomiali e fattoriali, determinando il valore del numero naturale $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

Determina i valori reali positivi dei parametri $a$ e $b$ nel binomio $(ax + b)^5$ sapendo che il secondo termine del suo sviluppo è $240x^4$ e il terzo termine del suo sviluppo è $720x^3$.

Trova il termine indipendente da $x$ nello sviluppo dell'espressione $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Mostra l'impostazione generale del termine di posto $k$ prima di risolverlo.

Sviluppa la somma dei binomi $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4$. Dimostra che, pur contenendo numeri irrazionali nella formulazione iniziale, il risultato finale è un numero intero.

In ingegneria, la tolleranza di volume di un contenitore cubico di lato $L$ con un errore di fabbricazione $\Delta L$ è data dall'espressione $(L \pm \Delta L)^3$. Sviluppa questo binomio. Se $L = 10\ \text{cm}$ e l'errore massimo è $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcola il termine di errore lineare, quello quadratico e quello cubico. Quale percentuale dell'errore totale rappresenta il termine lineare $3L^2\Delta L$?

Si vuole semplificare l'espressione combinatoria $E = \binom{n}{k} + 2\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+2}$, dove $n, k \in \mathbb{N}$ con $n \ge k+2$. Si propongono due procedimenti risolutivi:

• Metodo A (sviluppo con i fattoriali): esprimere ogni coefficiente binomiale secondo la formula $\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$, cercare il minimo comune denominatore tra i fattoriali e semplificare la frazione ottenuta.

• Metodo B (proprietà del triangolo di Tartaglia): scomporre l'addendo centrale come $\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+1}$ e applicare ripetutamente l'identità $\binom{m}{p} + \binom{m}{p+1} = \binom{m+1}{p+1}$.

1. a) Applica il Metodo B giustificando in dettaglio ogni passaggio per condensare l'espressione $E$ in un unico coefficiente binomiale.
2. b) Spiega perché il Metodo B è notevolmente più efficiente e meno soggetto a errori algebrici del Metodo A in questo tipo di semplificazioni.
3. c) Generalizza il ragionamento: determina, senza ricorrere ai fattoriali, a quale unico coefficiente binomiale equivale la somma $\binom{n}{k} + 3\binom{n}{k+1} + 3\binom{n}{k+2} + \binom{n}{k+3}$, spiegando il legame esistente tra i coefficienti $(1, 3, 3, 1)$ e le righe successive del triangolo di Tartaglia.

La società RFI gestisce il tracciato delle linee ad alta velocità in Italia. Durante le ondate di calore registrate dal servizio meteorologico, alcuni componenti cubici in acciaio delle catenarie, con volume iniziale $V_0$, subiscono una dilatazione lineare relativa $\varepsilon = \alpha \cdot \Delta T = 4 \cdot 10^{-4}$ (adimensionale). Il nuovo volume dopo la dilatazione è dato da $V = V_0(1 + \varepsilon)^3$.

1. a) Sviluppa $(1 + \varepsilon)^3$ mediante il binomio di Newton ed esprimi l'incremento relativo esatto del volume, $\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V - V_0}{V_0}$, in funzione delle potenze di $\varepsilon$.
2. b) Nei manuali tecnici si usa di solito l'approssimazione lineare $\frac{\Delta V}{V_0} \approx 3\varepsilon$. Stima la limitazione dell'errore assoluto che si commette con tale approssimazione sommando i termini omessi ($3\varepsilon^2 + \varepsilon^3$) e calcola la percentuale che tale errore rappresenta rispetto al valore approssimato $3\varepsilon$.
3. c) Una relazione tecnica preliminare sostiene che «se un'ondata di calore più severa raddoppia l'incremento di temperatura ($\Delta T' = 2\Delta T$), anche l'errore assoluto dell'approssimazione lineare raddoppierà». Dimostra analiticamente, mediante lo sviluppo del binomio, perché tale affermazione è falsa e determina per quale fattore si moltiplica approssimativamente l'errore commesso.